0.999...

Në matematikë, numri dhjetor periodik 0.999… i cili mund të shkruhet ndryshe si $0.\bar{9}$, $0.\dot{9}$ or $0.(9)\,\!$, tregon një numër real i cili mesa duket është numri 1. Shprehur ndryshe, simbolet numerike 0.999... dhe 1 përfaqësojnë të njejtin numër.

Barazimi 0.999...=1 është pranuar për një kohë të gjatë nga matematikanët dhe është mësuar në librat shkollorë. Dekadat e fundit kërkuesit e matematikës kanë studiuar reagimin e këtij barazimi mes studentëve.

Prova algjebrike

Pjestimi dhe shumëzimi

Një arsye pse numrat periodikë janë një zgjatje e numrave joperiodikë është përfaqësimi i pjestimeve. Duke bërë një pjestim të thjeshtë del që, 1⁄9 = 0.111..., ku 1 përsëritet pambarimisht. Ky numër dhjetor na jep një provë të rëndësishme për barazimin e 0.999... me 1. Duke shumëzuar 9 me 0.111... kemi 0.999... dhe 9 × 1⁄9 është e barabartë me 1, kështu që 0.999…= 1:

$\begin{align} \frac{1}{9} & = 0.111\dots \\ 9 \times \frac{1}{9} & = 9 \times 0.111\dots \\ 1 & = 0.999\dots \end{align}$

Një tjetër mënyrë është shumëzimi i 1⁄3 me 3.

Manipulimi i numrave

Kur një numër dhjëtor periodik shumëzohet me 10, numrat nuk ndryshojnë, por numri i parë pas presjes zhvendoset një herë në të djathtë. Ndaj 10 × 0.999… është e barabartë me 9.999…, e cila është 9 më e madhe se numri i mëparshëm.

$\begin{align} x &= 0.999\ldots \\ 10 x &= 9.999\ldots \\ 10 x - x &= 9.999\ldots - 0.999\ldots \\ 9 x &= 9 \\ x &= 1 \end{align}$

Lidhje të jashtme

Wikimedia Commons ka materiale multimediale në lidhje me: 0.999...

• .999999… = 1?
• Why does 0.9999… = 1 ?
• Ask A Scientist: Repeating Decimals
• Proof of the equality based on arithmetic
• Repeating Nines
• Point nine recurring equals one
• David Tall's research on mathematics cognition
• What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals?
• Theorem 0.999… on Metamath
• Hackenstrings, and the 0.999… ?= 1 FAQ
• A Friendly Chat About Whether 0.999… = 1