Dekompozimi i Helmholcit

Në matematikë, në degën e analizës vektoriale, Teorema e Helmholcit, e njohur gjithashtu si teorema themelore e analizës vektoriale, pohon se një fushe vektoriale e lëmuar mjaftueshëm, qe zvogëlohet eksponencialisht mund te ndahet ne komponente të fushës vektoriale irrotacionale dhe solenoidale (pa divergjence).

Kjo implikon që çdo fushe vektoriale $\mathbf{F}$ mund të konsiderohet si e përberë nga një çift potencialesh : një potencial skalar $\phi$ dhe një potenciali vektorial $\mathbf{A}$.

Dekompozimi rezultues i Helmholcit i një fushe vektoriale, e cila është dy herë e diferencueshme dhe kaq e shpejte sa të veje në zero në infinit, e ndan fushën vektoriale në një shumë të një gradienti dhe të rrotacioni si më poshtë :

$\mathbf{F} = - \nabla\,\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F}) + \nabla \times \mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F})$

ku $\mathcal{G}$ tregon operatorin e potencialit Njutonian.

Nëqoftese $\nabla\cdot\mathbf{F}=0$, në themi së $\mathbf{F}$ është një fushe solenoidale pa divergjence dhe dekompozimi i Helmholcit i $\mathbf{F}$ bie në

$\mathbf{F} = \nabla \times \mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{A}$

Në këtë rast, $\mathbf{A}$ njihet si potenciali vektorial për $\mathbf{F}$.

Njësoj, nëqoftese $\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}$ atëherë $\mathbf{F}$ thuhet se është pa rrotacion ose irrotacionale kështu që dekompozimi i Helmholcit i $\mathbf{F}$ shndërrohet në

$\mathbf{F} = - \nabla\,\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F}) = - \nabla \phi.$

Në këtë rast, $\phi$ njihet si potenciali skalar për $\mathbf{F}$.

Në përgjithësi gradienti negativ i potencialit skalar barazohet me komponentin irrotacional, dhe rrotacioni i potencialit vektorial barazohet me komponentin solenoidal :

$\mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}$.

Aplikimi tek format diferenciale

Dekompozimi i Hodge përgjithësohet në dekompozimin e Helmholcit nga fushat vektoriale në format diferenciale.

Referenca

Referenca te përgjithshme

• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92-93
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95-101

Referenca për formulimin e dobët

• C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
• R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
• V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Lidhje te jashtme

• Helmholtz theorem on MathWorld