Dekompozimi i Helmholcit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

matematikë, në degën e analizës vektoriale, Teorema e Helmholcit, e njohur gjithashtu si teorema themelore e analizës vektoriale, pohon se një fushe vektoriale e lëmuar mjaftueshëm, qe zvogëlohet eksponencialisht mund te ndahet ne komponente të fushës vektoriale irrotacionale dhe solenoidale (pa divergjence).

Kjo implikon që çdo fushe vektoriale \mathbf{F} mund të konsiderohet si e përberë nga një çift potencialesh : një potencial skalar \phi dhe një potenciali vektorial \mathbf{A}.

Dekompozimi rezultues i Helmholcit i një fushe vektoriale, e cila është dy herë e diferencueshme dhe kaq e shpejte sa të veje në zero në infinit, e ndan fushën vektoriale në një shumë të një gradienti dhe të rrotacioni si më poshtë :

\mathbf{F} = - \nabla\,\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F}) + \nabla \times \mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F})

ku \mathcal{G} tregon operatorin e potencialit Njutonian.

Nëqoftese \nabla\cdot\mathbf{F}=0, në themi së \mathbf{F} është një fushe solenoidale pa divergjence dhe dekompozimi i Helmholcit i \mathbf{F} bie në

\mathbf{F} = \nabla \times \mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{A}

Në këtë rast, \mathbf{A} njihet si potenciali vektorial për \mathbf{F}.

Njësoj, nëqoftese \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} atëherë \mathbf{F} thuhet se është pa rrotacion ose irrotacionale kështu që dekompozimi i Helmholcit i \mathbf{F} shndërrohet në

\mathbf{F} =  - \nabla\,\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F}) = - \nabla \phi.

Në këtë rast, \phi njihet si potenciali skalar për \mathbf{F}.

Në përgjithësi gradienti negativ i potencialit skalar barazohet me komponentin irrotacional, dhe rrotacioni i potencialit vektorial barazohet me komponentin solenoidal :

 \mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} .

Aplikimi tek format diferenciale[redakto | redakto tekstin burimor]

Dekompozimi i Hodge përgjithësohet në dekompozimin e Helmholcit nga fushat vektoriale në format diferenciale.

Formulimi i dobët[redakto | redakto tekstin burimor]

Fushat gjatësore dhe transverse[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca te përgjithshme[redakto | redakto tekstin burimor]

  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92-93
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95-101

Referenca për formulimin e dobët[redakto | redakto tekstin burimor]

  • C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
  • R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
  • V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Lidhje te jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]