Ekuacionet e Hamilton-Jakobit

Në fizikë, ekuacioni i Hamilton–Jakobit (EHJ) është një riformulim i mekanikës klasike dhe, kjo do të thotë që, ai është ekuivalent me formulimet e tjera si ligjet e Njutonit, mekanikën e Lagranzhit dhe mekanikën e Hamiltonit. Ekuacioni i Hamilton–Jakobi është shumë i vlefshëm në identifikimin e madhësive të konservuara për sistemet mekanike, të cilat janë të mundura edhe në rastet kur problemi mekanik nuk mund të zgjidhet plotësisht.

EHJ gjithashtu është i vetmi formulim i mekanikës në të cilën lëvizja e një thërrmije mund të përshkruhet si një valë. Në këtë kuptim, EHJ plotësoi një synim shumë të gjatë të fizikës teorike (që nga koha e Johan Bernulit në shekullin e 18-te) për të gjetur një analogji mes propagimit të valës dhe lëvizjes të një thërrmije. Ekuacioni i valës për sistemet mekanike është i ngjashëm por jo identik me, ekuacionin e Shrodingerit, siç jepet më poshtë ; për këtë arsye, EHJ konsiderohet si "përafrimi më i afërt" i mekanikës klasike me mekaniken kuantike.

Formulimi matematik

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është një ekuacion differencial pjesor jolinear i rendit të parë , për një funksion $S(q_{1},\dots ,q_{N};t)$ i quajtur funksioni principal i Hamiltonit

$H\left(q_{1},\dots ,q_{N};{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{N}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$

Siç përshkruhet më lart, ky ekuacion mund të derivohet nga mekanika e Hamiltonit duke trajtuar $S$ (veprimin) si funksionin gjenerues për një transformim kanonik të funksionit Hamiltonian klasik $H(q_{1},\dots ,q_{N};p_{1},\dots ,p_{N};t)$. Impulsi i konjuguar i korrespondon derivateve të para të $S$ në lidhje me koordinata e përgjithshme

$p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.$

të cilat mund të merren si më poshtë.
Ndryshimi i veprimit nga një shteg tek një shteg fqinj jepet nga

$\delta S=\sum _{k=1}^{N}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\delta q_{k}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\sum _{k=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)\delta q_{k}\,dt.$

Meqenëse shtegjet e lëvizjes aktuale kënaqin ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, integrali në $\delta S$ është zero. Tek termi i parë vendosim $\delta q_{k}(t_{1})=0$, dhe e quajmë vlerën e $\delta q_{k}(t_{2})$ me $\delta q_{k}$. Duke zëvendësuar $\partial L/\partial {\dot {q}}_{k}$ me $p_{k}$, marrim

$\delta S=\sum _{k=1}^{N}p_{k}\delta q_{k}$.

Nga ky relacion del se derivatet pjesore të veprimit në lidhje me koordinatat janë të barabarta me sasinë e lëvizjes (impulset) korrespondues.

Notacioni

Për thjeshtësi përdorim variabla me tekst të trashë si $\mathbf {q}$ për të paraqitur listën e $N$ koordinatave të përgjithshme

$\mathbf {q} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})$

që nuk transformohen si një vektor përgjatë një rrotullimi. Prodhimi skalar këtu është i përcaktuar si shuma e produkteve të komponenëve korrespondues , pra,

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.$

Derivimi

Çdo transformim kanonik që përfshin një funksion gjenerues të tipit të dytë $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ na çon tek relacionet

$\qquad {\partial G_{2} \over \partial \mathbf {q} }=\mathbf {p} ,\qquad {\partial G_{2} \over \partial \mathbf {P} }=\mathbf {Q} ,\qquad K=H+{\partial G_{2} \over \partial t}$

(Shikoni artikullin mbi transformimet kanonike për detaje të mëtejshme.)

Në mënyre që të derivojmë HJE, në zgjedhim një funksion gjenerues $S(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ që prodhon funksion e ri Hamiltonian $K$ i cili është identikisht zero. Pra, të gjitha derivatet e tija janë zero gjithashtu, dhe ekuacionet e Hamiltonit bëhen shumë të lehta

${d\mathbf {P} \over dt}={d\mathbf {Q} \over dt}=0$

pra, koordinatat dhe vrullet (vektorët e impulseve) të reja të përgjithshme janë konstantet e lëvizjes. Vrullet e reja të përgjithshme $\mathbf {P}$ shpesh jepen nga $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{N-1},\alpha _{N}$, pra, $P_{m}=\alpha _{m}$.

HJE është një rezultat i transformimit të funksionit Hamiltonian $K$

$K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial S \over \partial t}=0.$

i cili është ekuivalent me EHJ

$H\left(\mathbf {q} ,{\partial S \over \partial \mathbf {q} },t\right)+{\partial S \over \partial t}=0,$

meqense $\mathbf {p} =\partial S/\partial \mathbf {q}$.

Koordinatat e reja të përgjithshme $\mathbf {Q}$ janë gjithashtu konstante, ato tipikisht jepën nga $\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{N-1},\beta _{N}$. Pasi zgjedhim për $S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)$, marrim disa ekuacione shumë të dobishme

$\mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}}$

të cilat i shkruajmë nëpërmjet komponentëve për më shumë qartësi

$Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}$

Idealisht, këto $N$ ekuacione mund të invertohen për të gjetur koordinatat e përgjithshme origjinale $\mathbf {q}$ si një funksion i konstanteve ${\boldsymbol {\alpha }}$ dhe ${\boldsymbol {\beta }}$, kështu që në këtë mënyre i japim fund zgjidhjes së problemit.

Shembuj në koordinatave sferike

Hamiltoniani në koordinata sferike mund të shkruhet si

$H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi )$

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është komplet i ndashëm në këto koordinata nqs $U$ merr formën

$U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}$

ku $U_{r}(r)$, $U_{\theta }(\theta )$ dhe $U_{\phi }(\phi )$ janë funksione arbitrare . Zëvendësimi i zgjedhjeve $S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et$ tek ekuacioni i HJ jep

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E$

Ky ekuacion mund të zgjidhet me integrime të njëpas njëshme të ekuacioneve diferenciale ordinere duke filluar me ekuacionin $\phi$

$\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }$

ku $\Gamma _{\phi }$ është konstantja e lëvizjes e cila eliminon $\phi$ varësinë nga ekuacioni i Hamilton–Jakobit

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=E$

Ekuacioni tjetër diferencial përfshin koordinatat e përgjithshme $\theta$

$\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }$

ku $\Gamma _{\theta }$ është prapë një konstante e lëvizjes e cila eliminon varësinë nga $\theta$ dhe e redukton ekuacionin në ekuacionin diferencial ordiner final.

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E$

integrimi i së cilit kompleton zgjidhjen e problemit për $S$.

Ekuacioni i Hamilton-Jakobit në një fushe gravitacionale

$g^{ik}{\frac {\partial {S}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {S}}{\partial {x^{k}}}}-m^{2}c^{2}=0$

ku $g^{ik}$ janë komponentët kontravariant të tensorit të metrikës, m është masa e prehjes e thërrmijës dhe c është shpejtësia e dritës.

Shiko gjithashtu

• Ekuacionet e Hamiltonit
• Transformimet kanonike
• Konstantja e lëvizjes
• Fusha vektoriale Hamiltoniane
• Në teorinë e kontrollit, shikoni ekuacioni i Hamilton-Jakobi-Bellmanit.
• Përafrimi WKB

Referime

• Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826.

• Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518.

• H. Goldstein (2002). Classical Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

• A. Fetter and J. Walecka (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 0-486-43261-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

• Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam ... Tokyo, 1975.