Ekuacionet kuadratike

Ekuacioni kuadratik ose barazimi i shkallës së dytë në trajtën e përgjithshme shënohet me

$ax^2+bx+c=0,\,\!$

ku a ≠ 0. Sepse nëse a = 0, atëherë ai është ekuacion linear.

Numrat real a, b, dhe c quhen koeficientë, ndërsa x është e panjohura.

Zgjidhjet

Ç'do vlerë e të panjohurës x e cila ekuacionin kuadratik e shndërron në gjykim të saktë quhet zgjidhje e ekuacionit. Në përgjithësi ekuacioni kuadratik ka dy zgjidhje të cilat quhen edhe rrënjë, në bashkësinë e numrave kompleks të cilat lehtë gjinden sipas të ashtuquajturës formula kuadratike :

$\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ ,

ku simboli "±" tregon se

$\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

dhe

$\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

janë zgjidhjet.

Diskriminanta

Shprehja që ndodhet nën shenjën e rrënjës katrore nga formula e mësipërme

$D = b^2 - 4ac , \,\!$

quhet diskriminantë e ekuacionit kuadratik. Nga diskriminanta varet edhe natyra e zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik kemi tre raste për shqyrtim :

• Nëse $D>0$ atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të ndryshme reale.

$\begin{align} x_1 &= \frac{-b + \sqrt {D}}{2a} \\ x_2 &= \frac{-b - \sqrt {D}}{2a} \\ \end{align}$

• Nëse $D=0$ atëherë ekuacioni ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

$x = -\frac{b}{2a} . \,\!$

• Nëse $D<0$ atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

$\begin{align} x_1 &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}\end{align}$ ku, $\begin{align}|D|\end{align}$ është vlera absolute e diskriminantës dhe $i$ është $\begin{align}{\sqrt {-1}}\end{align}$

$\begin{align} x_2 &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {|D|}}{2a} \end{align}$

Shembuj

Ekuacioni $7x + 15 - 2x^2 =\ 0$ e ka diskriminantën pozitive $D\ = 169$ prandaj ai ka dy zgjidhje reale të ndryshme :

$x_1=\frac{-7-\sqrt{169}}{2\cdot(-2)}= 5$ dhe $x_2=\frac{-7+\sqrt{169}}{2\cdot(-2)} = -\frac{3}{2}.$

Ekuacioni $x^2 -2x + 1 =\ 0$ ka si diskriminantë $D\ =0$ prandaj ai ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

$x =-\frac{-2}{2}=1$

Ekuacioni $x^2 + 3 x + 3 =\ 0$ nuk ka zgjidhje reale sepse $D\ = - 3 < 0$ diskriminanta e tij është negative pra ky ekuacion ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{3} i}{2}$ dhe :$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{3} i}{2}.$