Ekuacionet kuadratike

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Ekuacioni kuadratik ose barazimi i shkallës së dytë në trajtën e përgjithshme shënohet me

ax^2+bx+c=0,\,\!

ku a ≠ 0. Sepse nëse a = 0, atëherë ai është ekuacion linear.

Numrat real a, b, dhe c quhen koeficientë, ndërsa x është e panjohura.

Zgjidhjet[redakto | redakto tekstin burimor]

Ç'do vlerë e të panjohurës x e cila ekuacionin kuadratik e shndërron në gjykim të saktë quhet zgjidhje e ekuacionit. Në përgjithësi ekuacioni kuadratik ka dy zgjidhje të cilat quhen edhe rrënjë, në bashkësinë e numrave kompleks të cilat lehtë gjenden sipas të ashtuquajturës formula kuadratike :

\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a} ,

ku simboli "±" tregon se

\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} dhe \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

janë zgjidhjet.

Diskriminanta[redakto | redakto tekstin burimor]

Shprehja që ndodhet nën shenjën e rrënjës katrore nga formula e mësipërme

D = b^2 - 4ac , \,\!

quhet diskriminantë e ekuacionit kuadratik. Nga diskriminanta varet edhe natyra e zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik kemi tre raste për shqyrtim :

  • Nëse D>0 atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të ndryshme reale.
\begin{align}
 x_1 &= \frac{-b + \sqrt {D}}{2a} \\
 x_2 &= \frac{-b - \sqrt {D}}{2a} \\
\end{align}
  • Nëse D=0 atëherë ekuacioni ka një zgjidhje reale të dyfishtë :
 x = -\frac{b}{2a} . \,\!
  • Nëse D<0 atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :
\begin{align}
 x_1 &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}\end{align} ku, \begin{align}|D|\end{align} është vlera absolute e diskriminantës dhe i është \begin{align}{\sqrt {-1}}\end{align}
\begin{align} x_2 &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}
\end{align}

Shembuj[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacioni 7x + 15 - 2x^2 =\ 0 e ka diskriminantën pozitive D\ = 169 prandaj ai ka dy zgjidhje reale të ndryshme :

x_1=\frac{-7-\sqrt{169}}{2\cdot(-2)}= 5 dhe x_2=\frac{-7+\sqrt{169}}{2\cdot(-2)} = -\frac{3}{2}.

Ekuacioni x^2 -2x + 1 =\ 0 ka si diskriminantë D\ =0 prandaj ai ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

x =-\frac{-2}{2}=1

Ekuacioni x^2 + 3 x + 3 =\ 0 nuk ka zgjidhje reale sepse D\ = - 3 < 0 diskriminanta e tij është negative pra ky ekuacion ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

x_1 = \frac{-3 - \sqrt{3} i}{2} dhe :x_2 = \frac{-3 + \sqrt{3} i}{2}.