Ekuacioni i Helmholcit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Dy burime rrezatimi në një plan, të dhëna matematikisht nga një funksion f i cili është zero në rajonin blu.
Pjesa reale e fushës rezultuese A, A është zgjidhja e ekuacionit johomogjen të Helmhocit (\nabla^2 + k^2) A = -f.

Ekuacioni i Helmholcit, i emëruar sipas Herman von Helmholc, është një ekuacioni diferencial pjesor eliptik


(\nabla^2 + k^2) A = 0
,

ku \nabla^2 është operatori i Laplasit, k është një konstante, dhe funksioni i panjohur A=A(x, y, z) është i përcaktuar në një hapësirë Euklidiane n-dimensionale Rn (typikisht n=1, 2, ose 3, ne raste kur zgjidhja e ekuacionit ka kuptim fizik).

Motivacioni dhe perdorimet[redakto | redakto tekstin burimor]

Zgjidhja e ekuacionit te Helmholcit duke perdorur ndarjen e variablave[redakto | redakto tekstin burimor]

Membrana vibruese[redakto | redakto tekstin burimor]

Analogja dy-dimensionale e nje korde vibruese është membrana vibruese, me cepa te fisuar ne menyre qe ato te mos levizin. Ekuacioni i Helmholcit u zgjidh per shume forma te ndryshme ne shekullin e 19-te: membrana rektangulare nga Simeon Denis Puason ne 1829, trekendeshi barabrinjes nga Gabriel Lame ne 1852, dhe membrana rrethore nga Alfred Klebsh ne 1862. Daullja eliptike u studiua nga Emile Mathju, nga e cila doli ekuacioni diferencial i Mathjut. Format e zgjedhura i korrespondojne formave tabela dinamike e bilardos e se cilave është e integrueshme, pra jo kaotike. Kur levizja ne nje tabele bilardoje korresponduese është kaotike, atehere nuk njihet ndonje forme e mbyllur analitike e ekuacionit te Helmholcit. Studimi i sistemeve te tilla njihet si kaosi kuantik, sepse ekuacioni i Helmholcit dhe ekuacione te tjera te ngjashme hasen shpesh ne mekaniken kuantike.

Neqoftese cepat e nje forme jane segmente vijash te drejta, atehere zgjidhja është e integrueshme ose mund te nmerret ne forme te mbyllur vetem neqoftese ajo mund te shprehet si nje kombinim linear i valeve planare qe kenaqin konditat kufitare (ne kufi te jete zero, pra., membrane e fiksuar).

Nje situate interesante ndosh me nje forme ku gjysma e zgjidhjes është e integrueshme kurse pjesa tjeter s'ështët. Nje forme gjeometrike e thjesht ku kjo ndodh është gjashtekendshi i rregullt. Neqoftese paketa valore qe pershkruan nje top bilardoje kuantik perbehet vetem nga zgjidhje qe kane formen e mbyllur, levizja e saj nuk do te jete kaotike, por neqoftese perfshime horma zgjidhjeje pa forme te mbyllur analitiek, levizja e topit te bilardos kuantike behet kaotike. Nje forme tjeter e thjështë ku kjo ndodh është me nje forme "L"-je duke reflektuar nje katror poshte dhe pastaj ne te djathte.

Neqoftese fusha e percaktimit është nje rreth me rreze a, atehere duhet te paraqesim kordinatat polare r dhe θ. Ekuacioni i Helmholcit merr formen

  A_{rr} + \frac{1}{r} A_r + \frac{1}{r^2}A_{\theta\theta} + k^2 A = 0.

Tani mund te impozojme konditat kufitare ne menyre qe A te zhduket nneqoftese r=a; pra

 A(a,\theta) = 0. \,

Metoda e ndarjes se variablave nxjerr zgjidhje shume te thjeshta te formes

 A(r,\theta) =  R(r)\Theta(\theta), \,

ku Θ duhet te jete perodike me periode 2π. Kjo jep

 \Theta'' +n^2 \Theta =0, \,

dhe

 r^2 R'' + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R=0. \,

Tani nga kondita e periodicitetit del qe

 \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta, \,

si dhe n duhet te jete nje numer i plote. Komponenti rrezor R ka formen

 R(r) = \gamma J_n(\rho), \,

ku funksioni Bezel Jn(ρ) kenaq ekuacionin e Bezelit

 \rho^2 J_n'' + \rho J_n' +(\rho^2 - n^2)J_n =0,

dhe ρ=kr. Funksioni rrezor Jn ka nje numer te pafundem rrenjesh per cdo vlere te n, te dhene nga ρm,n. Kondita kufitare qe A te zhduket kur r=a kenaqet vetem kur frekuancat kooresponduese jepen nga

 k_{m,n} = \frac{1}{a} \rho_{m,n}. \,

Zgjidhaj e pergjithsheme A merr formen e nje shume te pafundme te dyfishte te termave q perfshine produktet e

  \sin(n\theta) \, \hbox{or} \, \cos(n\theta), \, \hbox{and} \, J_n(k_{m,n}r).

Keto zgjedhje jane modat e vibrimit te nje daulleje rrethore.

Zgjidhjet tre dimensionale[redakto | redakto tekstin burimor]

Forma paraksiale[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacioni johomogjen i Helmholcit[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

  • M. Abramowitz and I. Stegun eds., Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards. Washington, D. C., 1964.
  • Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J. (2002). Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ch. 19. ISBN 0-521-89067-5.
  • McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books: Sausalito, California, Ch. 16. ISBN 1-891389-24-6.
Kapitulli 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
  • A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, New York, 1949.
  • Howe, M. S. (1998). Acoustics of fluid-structure interactions. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63320-6. 


Lidhje te jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]