Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

analizën e variacionit, ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, ose ekuacioni i Lagranzhit është një ekuacion diferencial pjesor zgjidhjet e të cilit janë funksionet për të cilat funksionali është një pikë stacionare. Ky ekuacion u zhvillua nga matematikani zviceran Leonard Ojler dhe matematikani Franko-Italian Jozef Luiz Lagranzhi1750s.

Një funksional i cili është i diferencueshëm ka një pikë stacionare tek njëra nga maksimumet ose minimumet lokale, ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i dobishëm për zgjidhjen e problemeve të optimizimit në të cilat, kur jepet një funksional, ne kërkojmë një funksion i cili e minimizon (ose e zmadhon) atë. Kjo është analoge me teoremën e Fermatanalizë, e cila pohon se kur një funksion i diferencueshem arrin një ekstremum lokal, derivati i tij është zero.

mekanikën e Lagranzhit, për shkak te parimit të Hamiltonit të veprimit stacionar, evolucioni i një sistemi fizik përshkruhet nga zgjedhjet e ekuacionit të Ojler–Lagranzhit për veprimin e sistemit. Në mekanikën klasike, kjo është ekuivalente me Ligjet e Njutonit, por në të njëjtën kohë kjo ka avantazhin që merr të njëjtën formë në çdo sistem koordinatash të përgjithshme, dhe është më e përshtatshme për përgjithësime (shikoni, për shembull, seksionin mbi "Teorinë e fushës" më poshtë).

Pohimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit është një ekuacion që kënaqet nga një funksion q i një argumenti real t i cili është një pikë stacionare e funksionalit

\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t

ku :

  • q është funksioni që duhet gjetur :
  •  :\begin{align}
q \colon [a, b] \subset \mathbb{R} & \to     X \\
                                 t & \mapsto x = q(t)
\end{align}
i tille qe q është i diferencueshëm, q(a) = xa, dhe q(b) = xb;
  • q′ është derivati i q:
    \begin{align}
q' \colon [a, b] & \to     TX \\
               t & \mapsto v = q'(t)
\end{align}
TX ështe tufa e tangjenteveX (hapësira e vlerave te mundshme te derivatit te funksioneve me vlera në X) ;
  • L është një funksion real derivatet pjesore të rendit të parë të të cilit janë të vazhdueshme :
    \begin{align}
L \colon [a, b] \times X \times TX & \to     \mathbb{R} \\
                         (t, x, v) & \mapsto L(t, x, v).
\end{align}

Ekuacioni i Ojler Lagranzhit, atëherë është një ekuacion diferencial i zakonshem

L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0.

ku Lx dhe Lv tregojnë derivatet pjesore te L ne lidhje me argumentet e parë dhe të tretë, respektivisht.

Nëqoftëse përmasat e hapësirës X janë më të mëdha se 1, atëherë marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, një për çdo komponent :

\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial x_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial v_i} = 0
\quad \text{for } i = 1, \dots, n.

Shembuj[redakto | redakto tekstin burimor]

Një shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerë reale në intervalin [a, b], i tillë që f (a) = c dhe f (b) = d, gjatësia e grafit të funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit të f është :

 \ell (f) = \int_{a}^{b} \sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x,

Ku integrandi i funksionit është L(x, y, y′) = {{1 + y2}} i vlerësuar tek (x, y, y′) = (x, f(x), f′(x)).

Derivatet pjesore të L janë :

\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} \quad \text{and} \quad
\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y} = 0.

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, ne marrim

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = 0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \text{constant} \Rightarrow f'(x) = \text{constant:}

Pra, funksioni duhet të ketë derivatin e parë konstant, kështu që grafi është një segment i një vije të drejtë.

Mekanika klasike[redakto | redakto tekstin burimor]

Thërrmijat në një fushë konservative[redakto | redakto tekstin burimor]

Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë konservative (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që veprimi të jetë stacionar, nga principi i Hamiltonit. Veprimi për këtë system është

S = \int_{t_0}^{t_1} L(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{\dot{x}}(t))\,\mathrm{d}t

Ku x(t) është pozicioni i thërrmijës në kohën t. Pika mbi variablat është shenimi i i Njutnit për derivatin sipas kohes : pra (t) është shpejtësia e thërrmijës, v(t). Në ekuacionin më lart L është Funksioni i Lagranzhit (energjia kinetike minus energjinë potenciale) :

L(t, \mathbf{x}, \mathbf{v}) = \frac{1}{2}m \sum_{i=1} ^{3} v_i^2 - U(\mathbf{x}),

ku :

  • m është masa e thërrmijës (e cila është konstante në fizikën klasike) ;
  • vi është komponneti i i-te i vektorit v ne një system Kartezian koordinativ (i njëjti notacion do të përdoret edhe për vektorët e tjerë) ;
  • U është potenciali i forcës konservative.

Në këtë rast, Lagranzhaini nuk ndyshon me argumentin e tij të parë t. (Nga Teorema e Nëdherit, simetri të tilla të sistemit i korrespondojnë ligjeve të konservimit. Në veçanti, invarianca e Lagranzhianit në lidhje me kohën implikon konservimin e energjisë.)

Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të mesiperm, marrim :

\frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial x_i} = -\frac{\partial U(\mathbf{x})}{\partial x_i} = F_i (\mathbf{x})\quad \text{and} \quad
\frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial v_i} = m v_i = p_i,

Ku forca F = −∇U (negativja e gradientit te potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe p është momenti.

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,

F_i(\mathbf{x}(t)) = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} m \dot{x}_i(t) = m \ddot{x}_i(t),

Të cilat mund të zgjidhen në një interval [t0, t1], po të kemi vlerat kufitare xi(t0) dhe xi(t1). Në notacionin vektorial, ky sistem merr formën

\mathbf{F}(\mathbf{x}(t)) =  m\mathbf{\ddot x}(t)

Ose, duke përdorur vrullin(impulsin),

 \mathbf{F} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{p}} {\mathrm{d}t}

Nga e cila marrim ligjin e dytë të Njutonit.

Teoria e fushës[redakto | redakto tekstin burimor]

Teoritë e fushës, si teoria klasike e fushës ashtu edhe teoria kuantike e fushës, merren me koordinata të vazhdueshme, dhe ashtu si në mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre të Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,

 \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0. \,
ku
\psi \, është fusha, dhe
\partial\, është një operator diferencial:
\partial_\mu = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right). \,

Vini re : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si fusha e Dirakut, fusha e Ueylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim nëqoftëse të përdorim derivatin e djathtë ose të majtë të densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.

Ka shume shembuj të ndryshëm ku ekuacionet e Ojler-Lagranzhit aplikohen direkt tek funksionet e ndryshme Lagranzhiane.

Për funksionet me shumë ndryshore[redakto | redakto tekstin burimor]

Një përgjithësim multi-dimensional vjen duke konsideruar një funksion me n ndryshore. Nëqoftëse Ω është një sipërfaqe, atëherë

 S = \int_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, \mathrm{d}\Omega \,\!

Merr një ekstremum vetëm nese f e plotëson ekuacionin diferencial pjesor

 \frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0. \,\!

Kur n = 2 dhe L është funksionali i energjisë, kjo con tek një problem i tipit te sipërfaqes minimale.

Historia[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit u zhvillua në 1750-ten nga Ojleri dhe Lagranzhi në lidhje me studimet e tyre mbi problemin e tautokronës. Ky problem ka të bëjë me përcaktimin e një kurbe përgjatë të cilës një thërrmijë do të bjerrë në një pikë te fiksuar në një kohë të caktuar, të pavarur nga pika fillestare.

Lagranzhi e zgjidhi këtë problem me 1755 dhe i dërgoi zgjidhjen Ojlerit. Te dy e zhvilluan me tej metodën e Lagranzhit dhe e aplikuan atë tek mekanika, e cila coi në formulimin alternativ të mekanikës. Korrespondenca e tyre coi në analizën e variacionit, një term i vendosur nga vetë Ojleri në 1766.[1]

Prova[redakto | redakto tekstin burimor]

Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ajo mbështetet tek Lema themelore e analizës së variacionit.

Duam që të gjejmë një funksion f i cili kënaq konditat kufitare f(a) = c, f(b) = d, dhe i cili ekstremizon koston e funksionalit

 J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. \,\!

Marrim si hipotezë që F ka derivate të vazhdueshme të rendit të parë. Një hipotezë më e dobët mund të përdoret por në atë rast prova bëhet shumë më e vështire.

Neqoftese f merr një ekestremum ku kostoja e funksionalit është subjekt i konditave kufitare, atëherë çdo pertubim i vogël i f që ruan vlerat kufitare duhet ose ta zmadhoje J (nqs f është një minimizues) ose ta zvogëloje J (nqs f është një maksimizues).

Le të jetë gε(x) = f(x) + εη(x) e tille që një perturbim i f, ku η(x) është një funksion i diferencueshem që kënaq η(a) = η(b) = 0. Atëherë përcaktojmë

 J(\epsilon) = \int_a^b F(x,g_\epsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. \,\!

Tani duam që të llogaritim derivatin e përgjithshëm te J në lidhje me ε

 \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \varepsilon} = \int_a^b \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon}(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx.

Nga përcaktimi i derivatit te përgjithshëm del që

\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon}\frac{\partial g_\varepsilon}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g'_\varepsilon}\frac{\partial g'_\varepsilon}{\partial \varepsilon} = \eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'}.

Kështu që

 \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \epsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx.

Kur ε = 0 ne kemi gε = f dhe meqenëse f është një vlere ekstreme del që J'(0) = 0, pra.

 J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \,\right]\,dx = 0.

Hapi tjetër i rëndësishme është integrimi me pjesë mbi termin e dyte, i cili jep

 0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.

Duke zbatuar kondiatat kufitare tek η, ne marrim

 0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!

Duke zbatuar Lemen themelore të analizës së variacionit tani marrim ekuacionin e Ojler –Lagranzhit

 0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}.

Provë alternative[redakto | redakto tekstin burimor]

Po te kemi një funksional

J = \int^b_aF(t, y(t), y'(t))dt

tek C^1([a, b]) me kondita kufitare y(a) = A edhe y(b) = B, ne vazhdojmë duke përafruar kurbën ekstremale me një vije poligonale n segmentesh duke kaluar në një limit kur kur numri i segmenteve rritet.

Tani pjesëtojmë intervalin [a, b]n + 1 segmente të njëjta me pika kufitare t_0 = a, t_1, t_2, \ldots, t_n, t_{n + 1} = b dhe le të jetë \Delta t = t_k - t_{k - 1}. Në vend ten je funksoni të lëmuar y(t) marrim ne considerate nje vije poligonale me vertekse (t_0, y_0),\ldots,(t_{n + 1}, y_{n + 1}), ku y_0 = A dhe y_{n + 1} = B. Nga kjo, funksionali ynë behet një funksion real i n variablave të dhëna nga

J(y_1, \ldots, y_n) = \sum^n_{k = 0}F\left(t_k, y_k, \frac{y_{k + 1} - y_k}{\Delta t}\right)\Delta t.

Extremalet e këtij funksionali të ri janë të përcaktuara ne pika diskret t_0,\ldots,t_{n + 1} që i korrespondojnë e pikave ku

\frac{\partial J(y_1,\ldots,y_n)}{\partial y_m} = 0.

Duke llogaritur këtë derivate pjesor marrim

\frac{\partial J}{\partial y_m} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right)\Delta t + F_{y'}\left(t_{m - 1}, y_{m - 1}, \frac{y_m - y_{m - 1}}{\Delta t}\right) - F_{y'}\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right).

Duke e pjesëtuar ekuacionin e mëlartëm me \Delta t marrim

\frac{\partial}{\partial y_m \Delta t} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right) - \frac{1}{\Delta t}\left[F_{y'}\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right) - F_{y'}\left(t_{m - 1}, y_{m - 1}, \frac{y_m - y_{m - 1}}{\Delta t}\right)\right],

dhe duke marrë limitin kur \Delta t \to 0 te anës së djathtë të shprehjes marrim

\frac{\delta J}{\delta y} = F_y - \frac{d}{dt}F_{y'}.

Termi \frac{\delta J}{\delta y} tregon derivatin variacional të funksionalit J, si dhe konditën e nevojshme për një funksional të diferecueshem që të ketë një ekstremum në një funksion është që derivati variacional i saj tek ai funksion zhduket.

Shikoni gjithashtu[redakto | redakto tekstin burimor]

Identiteti i Beltramit

Shënime[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]