Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit

Në analizën e variacionit, ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, ose ekuacioni i Lagranzhit është një ekuacion diferencial pjesor zgjidhjet e të cilit janë funksionet për të cilat funksionali është një pikë stacionare. Ky ekuacion u zhvillua nga matematikani zviceran Leonard Ojler dhe matematikani Franko-Italian Jozef Luiz Lagranzhi më 1750s.

Një funksional i cili është i diferencueshëm ka një pikë stacionare tek njëra nga maksimumet ose minimumet lokale, ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i dobishëm për zgjidhjen e problemeve të optimizimit në të cilat, kur jepet një funksional, ne kërkojmë një funksion i cili e minimizon (ose e zmadhon) atë. Kjo është analoge me teoremën e Fermat në analizë, e cila pohon se kur një funksion i diferencueshem arrin një ekstremum lokal, derivati i tij është zero.

Në mekanikën e Lagranzhit, për shkak te parimit të Hamiltonit të veprimit stacionar, evolucioni i një sistemi fizik përshkruhet nga zgjedhjet e ekuacionit të Ojler–Lagranzhit për veprimin e sistemit. Në mekanikën klasike, kjo është ekuivalente me Ligjet e Njutonit, por në të njëjtën kohë kjo ka avantazhin që merr të njëjtën formë në çdo sistem koordinatash të përgjithshme, dhe është më e përshtatshme për përgjithësime (shikoni, për shembull, seksionin mbi "Teorinë e fushës" më poshtë).

Pohimi

Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit është një ekuacion që kënaqet nga një funksion q i një argumenti real t i cili është një pikë stacionare e funksionalit

$\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t$

ku :

• q është funksioni që duhet gjetur :
•  :$\begin{align} q \colon [a, b] \subset \mathbb{R} & \to X \\ t & \mapsto x = q(t) \end{align}$

i tille qe q është i diferencueshëm, q(a) = x_a, dhe q(b) = x_b;

• q′ është derivati i q:

  $\begin{align} q' \colon [a, b] & \to TX \\ t & \mapsto v = q'(t) \end{align}$

TX ështe tufa e tangjenteve të X (hapësira e vlerave te mundshme te derivatit te funksioneve me vlera në X) ;

• L është një funksion real derivatet pjesore të rendit të parë të të cilit janë të vazhdueshme :

  $\begin{align} L \colon [a, b] \times X \times TX & \to \mathbb{R} \\ (t, x, v) & \mapsto L(t, x, v). \end{align}$

Ekuacioni i Ojler Lagranzhit, atëherë është një ekuacion diferencial i zakonshem

$L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0.$

ku L_x dhe L_v tregojnë derivatet pjesore te L ne lidhje me argumentet e parë dhe të tretë, respektivisht.

Nëqoftëse përmasat e hapësirës X janë më të mëdha se 1, atëherë marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, një për çdo komponent :

$\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial x_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial v_i} = 0 \quad \text{for } i = 1, \dots, n.$

Shembuj

Një shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerë reale në intervalin [a, b], i tillë që f (a) = c dhe f (b) = d, gjatësia e grafit të funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit të f është :

$\ell (f) = \int_{a}^{b} \sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x,$

Ku integrandi i funksionit është L(x, y, y′) = {{1 + y′²}} i vlerësuar tek (x, y, y′) = (x, f(x), f′(x)).

Derivatet pjesore të L janë :

$\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} \quad \text{and} \quad \frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y} = 0.$

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, ne marrim

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = 0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \text{constant} \Rightarrow f'(x) = \text{constant:}$

Pra, funksioni duhet të ketë derivatin e parë konstant, kështu që grafi është një segment i një vije të drejtë.

Mekanika klasike

Thërrmijat në një fushë konservative

Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë konservative (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që veprimi të jetë stacionar, nga principi i Hamiltonit. Veprimi për këtë system është

$S = \int_{t_0}^{t_1} L(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{\dot{x}}(t))\,\mathrm{d}t$

Ku x(t) është pozicioni i thërrmijës në kohën t. Pika mbi variablat është shenimi i i Njutnit për derivatin sipas kohes : pra ẋ(t) është shpejtësia e thërrmijës, v(t). Në ekuacionin më lart L është Funksioni i Lagranzhit (energjia kinetike minus energjinë potenciale) :

$L(t, \mathbf{x}, \mathbf{v}) = \frac{1}{2}m \sum_{i=1} ^{3} v_i^2 - U(\mathbf{x}),$

ku :

• m është masa e thërrmijës (e cila është konstante në fizikën klasike) ;
• v_i është komponneti i i-te i vektorit v ne një system Kartezian koordinativ (i njëjti notacion do të përdoret edhe për vektorët e tjerë) ;
• U është potenciali i forcës konservative.

Në këtë rast, Lagranzhaini nuk ndyshon me argumentin e tij të parë t. (Nga Teorema e Nëdherit, simetri të tilla të sistemit i korrespondojnë ligjeve të konservimit. Në veçanti, invarianca e Lagranzhianit në lidhje me kohën implikon konservimin e energjisë.)

Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të mesiperm, marrim :

$\frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial x_i} = -\frac{\partial U(\mathbf{x})}{\partial x_i} = F_i (\mathbf{x})\quad \text{and} \quad \frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial v_i} = m v_i = p_i,$

Ku forca F = −∇U (negativja e gradientit te potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe p është momenti.

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,

$F_i(\mathbf{x}(t)) = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} m \dot{x}_i(t) = m \ddot{x}_i(t),$

Të cilat mund të zgjidhen në një interval [t₀, t₁], po të kemi vlerat kufitare x_i(t₀) dhe x_i(t₁). Në notacionin vektorial, ky sistem merr formën

$\mathbf{F}(\mathbf{x}(t)) = m\mathbf{\ddot x}(t)$

Ose, duke përdorur vrullin(impulsin),

$\mathbf{F} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{p}} {\mathrm{d}t}$

Nga e cila marrim ligjin e dytë të Njutonit.

Teoria e fushës

Teoritë e fushës, si teoria klasike e fushës ashtu edhe teoria kuantike e fushës, merren me koordinata të vazhdueshme, dhe ashtu si në mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre të Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,

$\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0. \,$

ku

$\psi \,$ është fusha, dhe

$\partial\,$ është një operator diferencial:

$\partial_\mu = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right). \,$

Vini re : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si fusha e Dirakut, fusha e Ueylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim nëqoftëse të përdorim derivatin e djathtë ose të majtë të densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.

Ka shume shembuj të ndryshëm ku ekuacionet e Ojler-Lagranzhit aplikohen direkt tek funksionet e ndryshme Lagranzhiane.

• Ekuacioni i Dirakut
• Ekuacioni i Prokës
• Tensori elektromagnetik
• Ekuacioni Korteweg–de Vries
• Elektrodinamika kuantike

Për funksionet me shumë ndryshore

Një përgjithësim multi-dimensional vjen duke konsideruar një funksion me n ndryshore. Nëqoftëse Ω është një sipërfaqe, atëherë

$S = \int_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, \mathrm{d}\Omega \,\!$

Merr një ekstremum vetëm nese f e plotëson ekuacionin diferencial pjesor

$\frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0. \,\!$

Kur n = 2 dhe L është funksionali i energjisë, kjo con tek një problem i tipit te sipërfaqes minimale.

Historia

Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit u zhvillua në 1750-ten nga Ojleri dhe Lagranzhi në lidhje me studimet e tyre mbi problemin e tautokronës. Ky problem ka të bëjë me përcaktimin e një kurbe përgjatë të cilës një thërrmijë do të bjerrë në një pikë te fiksuar në një kohë të caktuar, të pavarur nga pika fillestare.

Lagranzhi e zgjidhi këtë problem me 1755 dhe i dërgoi zgjidhjen Ojlerit. Te dy e zhvilluan me tej metodën e Lagranzhit dhe e aplikuan atë tek mekanika, e cila coi në formulimin alternativ të mekanikës. Korrespondenca e tyre coi në analizën e variacionit, një term i vendosur nga vetë Ojleri në 1766.

Prova

Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ajo mbështetet tek Lema themelore e analizës së variacionit.

Duam që të gjejmë një funksion $f$ i cili kënaq konditat kufitare f(a) = c, f(b) = d, dhe i cili ekstremizon koston e funksionalit

$J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. \,\!$

Marrim si hipotezë që F ka derivate të vazhdueshme të rendit të parë. Një hipotezë më e dobët mund të përdoret por në atë rast prova bëhet shumë më e vështire.

Neqoftese f merr një ekestremum ku kostoja e funksionalit është subjekt i konditave kufitare, atëherë çdo pertubim i vogël i f që ruan vlerat kufitare duhet ose ta zmadhoje J (nqs f është një minimizues) ose ta zvogëloje J (nqs f është një maksimizues).

Le të jetë g_ε(x) = f(x) + εη(x) e tille që një perturbim i f, ku η(x) është një funksion i diferencueshem që kënaq η(a) = η(b) = 0. Atëherë përcaktojmë

$J(\epsilon) = \int_a^b F(x,g_\epsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. \,\!$

Tani duam që të llogaritim derivatin e përgjithshëm te J në lidhje me ε

$\frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \varepsilon} = \int_a^b \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon}(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx.$

Nga përcaktimi i derivatit te përgjithshëm del që

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon}\frac{\partial g_\varepsilon}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g'_\varepsilon}\frac{\partial g'_\varepsilon}{\partial \varepsilon} = \eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'}.$

Kështu që

$\frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \epsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx.$

Kur ε = 0 ne kemi g_ε = f dhe meqenëse f është një vlere ekstreme del që J'(0) = 0, pra.

$J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \,\right]\,dx = 0.$

Hapi tjetër i rëndësishme është integrimi me pjesë mbi termin e dyte, i cili jep

$0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.$

Duke zbatuar kondiatat kufitare tek η, ne marrim

$0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!$

Duke zbatuar Lemen themelore të analizës së variacionit tani marrim ekuacionin e Ojler –Lagranzhit

$0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}.$

Provë alternative

Po te kemi një funksional

$J = \int^b_aF(t, y(t), y'(t))dt$

tek $C^1([a, b])$ me kondita kufitare $y(a) = A$ edhe $y(b) = B$, ne vazhdojmë duke përafruar kurbën ekstremale me një vije poligonale $n$ segmentesh duke kaluar në një limit kur kur numri i segmenteve rritet.

Tani pjesëtojmë intervalin $[a, b]$ në $n + 1$ segmente të njëjta me pika kufitare $t_0 = a, t_1, t_2, \ldots, t_n, t_{n + 1} = b$ dhe le të jetë $\Delta t = t_k - t_{k - 1}$. Në vend ten je funksoni të lëmuar $y(t)$ marrim ne considerate nje vije poligonale me vertekse $(t_0, y_0),\ldots,(t_{n + 1}, y_{n + 1})$, ku $y_0 = A$ dhe $y_{n + 1} = B$. Nga kjo, funksionali ynë behet një funksion real i $n$ variablave të dhëna nga

$J(y_1, \ldots, y_n) = \sum^n_{k = 0}F\left(t_k, y_k, \frac{y_{k + 1} - y_k}{\Delta t}\right)\Delta t.$

Extremalet e këtij funksionali të ri janë të përcaktuara ne pika diskret $t_0,\ldots,t_{n + 1}$ që i korrespondojnë e pikave ku

$\frac{\partial J(y_1,\ldots,y_n)}{\partial y_m} = 0.$

Duke llogaritur këtë derivate pjesor marrim

$\frac{\partial J}{\partial y_m} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right)\Delta t + F_{y'}\left(t_{m - 1}, y_{m - 1}, \frac{y_m - y_{m - 1}}{\Delta t}\right) - F_{y'}\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right).$

Duke e pjesëtuar ekuacionin e mëlartëm me $\Delta t$ marrim

$\frac{\partial}{\partial y_m \Delta t} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right) - \frac{1}{\Delta t}\left[F_{y'}\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right) - F_{y'}\left(t_{m - 1}, y_{m - 1}, \frac{y_m - y_{m - 1}}{\Delta t}\right)\right],$

dhe duke marrë limitin kur $\Delta t \to 0$ te anës së djathtë të shprehjes marrim

$\frac{\delta J}{\delta y} = F_y - \frac{d}{dt}F_{y'}.$

Termi $\frac{\delta J}{\delta y}$ tregon derivatin variacional të funksionalit $J$, si dhe konditën e nevojshme për një funksional të diferecueshem që të ketë një ekstremum në një funksion është që derivati variacional i saj tek ai funksion zhduket.

Shikoni gjithashtu

Identiteti i Beltramit

Referenca

• Stampa:Mathworld
• Stampa:Planetmathref
• Izrail Moiseevish Gelfand (1963). Calculus of Variations. Dover. ISBN 0-486-41448-5. 

• Calculus of Variations tek Example Problems.com (Jep shembuj të problemeve nga analiza e variacionit të cilat përfshijnë ekuacionet e Ojler-Lagranzhit.)