Ekuacioni i Shrodingerit

Në fizikë, veçanërisht në mekanikën kuantike, ekuacioni i Shrodingerit është një ekuacion që përshkruan se si gjendja kuantike e një sistemi fizik ndryshon në kohe. Ekuacioni në fjalë është një nga gurët themelore të mekanikës kuantike ashtu si Ligjet e Njutonit janë për mekanikën klasike.

Në interpretimin standard të mekanikës kuantike, gjendja kuantike, e cila gjithashtu njihet si funksioni valor ose vektori i gjendjes, është përshkrimi më i plote që mund të jepet për një sistem fizik. Zgjidhjet e ekuacionit të Shrödingerit përshkruajnë sistemet atomike dhe nënatomike, elektronet dhe atomët, si dhe sistemët makroskopike. Ekuacioni është i emëruar sipas Ervin Shrödinger i cili e zbuloi atë në 1926.

Ekuacioni i Shrödingerit mund të transformohet matematikisht në formalizmin e Hajzenbergut, si dhe në integralin e shtigjeve të Fajmanit. Ekuacioni i Shrödingerit përshkruan kohën në një mënyre jo të dobishme për përdorim në teoritë relativiste, ky problem vihet më pak në dukje për formulimin e Hajzenbergut si dhe mungon komplet në formulimin mbi integralin e shtegjeve.

Ekuacioni i Shrodingerit

Ekuacioni i Shrodingerit është një ekuacion i dhëne në shumë forme të ndryshme.

Sistem kuantik i përgjithshëm

Për një sistem kuantik të përgjithshëm :

$i\hbar {d\Psi \over dt}={\hat {H}}\Psi$

ku

• $\psi$ është funksioni valor, i cili është amplituda e probabilitetit për konfigurime të ndryshme.
• $\scriptstyle \hbar$ është ekuacioni i Plankut i pjesëtuar me $2\pi$, mund të vendoset me një vlerë 1 kur përdorim njësi natyrore.
• $\scriptstyle {\hat {H}}$ është operatori Hamiltonian.

Thërrmija e vetme në të tre dimensionet

Për një thërrmije të vetme në tre dimensione :

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V(x,y,z)\psi$

ku

• $\psi$ është funksioni valor, e cila është amplituda e probabilitetit për thërrmijën e cila ka një pozicion në një kohë të caktuar.
• $m$ është masa e thërrmijës.
• $V(x,y,z)$ është energjia potenciale që thërrmija ka në çdo pozicion.

Zhvillimi historik

Artikulli kryesor: Justifikimi teorik dhe eksperimental për ekuacionin e Shrodingerit

Ajnshtajni i interpretoi kuantet e Plankut si fotone, thërrmijat e dritës, dhe propozoi që energjia e fotonit është në përpjesëtim të drejte me frekuencën e tij, e cila vurin ne pah dualitetin misterioz grimce-vale. Meqenëse energjia dhe momenti janë të lidhura në të njëjtën mënyresi frekuenca dhe numri valor në teorinë e relativitetit, del që momenti (impulsi) i një fotoni është proporcional me numrin valor të tij.

DeBrojli hipotezoi se kjo mund të ishte e vërtete për të gjitha thërrmijat, për elektronet si dhe për fotonet, që energjia dhe momenti i elektronit janë të lidhura me frekuencën dhe numrin valor të një vale materiale. Duke marre parasysh se valët udhëtojnë rreth shtegjeve klasike, ai tregoi se ato formojnë vale të qëndrueshme vetëm për disa frekuenca të caktuara diskrete, nivele diskrete të energjisë të cilat japin konditën e vjetër kuantike.

Duke ndjekur këto ide, Shrodingeri mendoi për të gjetur ekuacionin e duhur të valës për elektronin. Në këtë ai mori si parim udhëheqjes analogjinë e Hamiltonit midis mekanikës klasike dhe optikes, te enkoduar në vehgimin se limiti me gjatësi valore zero në optike i ngjason sistemeve mekanike --- trajektorja e dritës sillet sipas parimit te veprimit minimal. Hamiltoni besonte se mekanika që limiti me gjatësi valore zero i propagimit të valëve, por ai nuk e formuloi dot ekuacionin për ato vale. Kjo është ajo që bëri Shrodingeri, një version më modern i logjikes se problemit të tij jepet në seksionin tjetër. Ekuacioni që ai gjeti është (në njësi natyrale) :

$i{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)=-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,\,t)$

Duke përdorur këte ekuacion, Shrodingeri llogariti vijat spektrale për hidrogjenin duke e trajtuar atomin e hidrogjenit me një elektron të vetëm të ngarkuar si një valë, $\Psi (x,\,t)\;$, që lëviz në një mur potencial, V, të krijuar nga një proton i ngarkuar pozitivisht. Kjo llogaritje dha nivelet e energjisë së modelit të Borit.

Megjithatë kjo nuk mjaftonte, sepse gjate kësaj kohe Sommerfeld kishte arritur të jepte në mënyre korrekte korrektimet relativiste. Shrodingeri përdori relacionin relativist midis momentit (impulsit) dhe energjisë për të gjetur atë që tani njihet me emrin ekuacioni Klein-Gordon në një potencial Kulombi :

$\left(E+{e^{2} \over r}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x)$

Ai gjeti valët e qëndrueshme të këtij ekuacioni relativist, por korrektimet relativiste në këtë rast binin në kundërshtim me formulën e Sommerfeldit. I diskurajuar, ai i vendosi llogaritjet e tij mënjane dhe mori disa pushime me të dashurën e tij në një kabine alpine.

Gjate kohës së shpenzuar aty, Shrodingeri vendosi që llogaritjet jorelativistike kishin informacion të ri të mjaftueshëm për tu publikuar, kështu që ai vendosi ta linte problemin e korrektimeve relativiste për të ardhmen. Në dorëshkrimit e publikuar më 1926 ai tregoi derivimin e ekuacionit të tij valor si dhe analizën spektrale të hidrogjenit.. Publikimi u prit shumë mirë nga Ajnshtajni, i cili i shikonte valët materiale si ilaç për formalizmin e tejskajshme të mekanikës se matricave.

Ekuacioni i Shrodiongerit tregon sjelljen e $\psi$, por nuk thotë se çfare $\psi$ është. Shrodingeri u përpoq në mënyre të pasuksesshme, në letrën e tij të katërt ta interpretonte atë si sensitetin e ngarkesës. Në 1926 Maks Born, vetëm disa dite pasi publikimi i katërt dhe i fundit i Shrodingerit u publikua, interpretoi në mënyre të suksesshme $\psi$ si një amplitude probabiliteti. Shrodingeri, megjithatë, asnjëherë nuk e pëlqeu interpretimin statistik ose atë probabilistik, se bashku me mungesene e vazhdimesise ; ashtu si Ajnshtanjni, i cili besonte se mekanika kuantike që një përafrim statistik i një teorie me të thelle deterministe, Shrodingeri kurrë nuk u pajtua me interpretimin e Kopenhagenit.

Derivimi

Nje derivim i shkurtër heuristik

Hipotezat

(1) Energjia e plote E e thërrmijës është

$E=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+V$

Kjo është shprehja klasike për një thërrmije me mase m ku energjia totale E është shuma e energjisë kinetike, ${\frac {p^{2}}{2m}}$, dhe energjisë potenciale V. Impulsi i një thërrmije është p, ose mase here shpejtësi. Energjia potenciale merrte e tille që ndryshoje me pozicionin, si edhe me kohën.

Vini re se energjia E dhe momenti p shfaqen në dy relacionet e mëposhtme :

(2) Hipoteza kuantike e Ajnshtjnit për dritën e 1905, e cila pohon se energjia E e fotonit është në përpjesëtim të drejte me frekuencën f të valës elektromagnetike korresponduese :

$E=hf={h \over 2\pi }(2\pi f)=\hbar \omega \;$

ku frekuenca f e kuantit të rrezatimit (fotoneve) janë të lidhura nga konstantja e Plankut h,

dhe $\omega =2\pi f\;$ është frekuenca këndore e valës.

(3) Hipoteza e de Brojlit e 1924, e cila pohon se çdo thërrmije mund të asociohet me një valë, e cila paraqitet matematikisht nga një funksion valor Ψ, si dhe momenti p i thërrmijes që lidhet me gjatësinë valore λ të valës përkatëse nga :

$p={h \over \lambda }={h \over 2\pi }{2\pi \over \lambda }=\hbar k\;$

ku $\lambda \,$ është gjatesia e vales dhe $k=2\pi /\lambda \;$ është numri valor i valës.

Po të shprehim p dhe k si vektorë, ne kemi

$\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \;$

Shprehja e funksionit valor si një valë planare komplekse

Ideja gjeniale e Shrodingerit, në fund të 1925, që të shprehte fazën e një valë planare si një faktor faze kompleks :

$\Psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}$

dhe të kuptonte se nga

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-i\omega \Psi$

atëherë

$E\Psi =\hbar \omega \Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi$

dhe në mënyre të njëjte meqenëse :

${\frac {\partial }{\partial x}}\Psi =ik_{x}\Psi$

atëherë

$p_{x}\Psi =\hbar k_{x}\Psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi$

kështu që:

$p_{x}^{2}\Psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi$

pra, për një valë planare, ai arriti tek :

$p^{2}\Psi =(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})\Psi =-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\Psi =-\hbar ^{2}\nabla ^{2}\Psi$

Duke futur këto shprehje për energjinë dhe momentin në formulën klasike arrimë tek ekauacioni i famshëm i Shrodingerit për një thërrmije të vetme në rastin 3-dimensional ne prani te një potenciali V:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$

Versionet

Ka shumë ekuacione që marrin emrin e Shrodingerit :

Ekuacioni me varësi kohore

Ky është ekucioni i lëvizjes për një gjendje kuantike. Në formën më të përgjithshme, ai shkruhet :

$i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (x,\,t)={\hat {H}}\Psi (x,\,t)$

Ku ${\hat {H}}$ është një operator linear që vepron mbi funksionin valor $\Psi$. ${\hat {H}}$ merr si input një $\Psi$ dhe prodhon një tjetër në një mënyre lineare, një version i hapësirës së funksioneve të një matrice që shumëzon një vektor. Për rastin specifik te një thërrmije të vetme te në një dimension që lëviz nën një potencial V:

$i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (x,\,t)=-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,\,t)\,$

dhe operatori H mund të lexohet :

${\hat {H}}=-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\,$

është një kombinim i operatorit që merr derivatin e dyte, dhe operatorit që shumëzon $\Psi$ me V(x). Kur vepron mbi $\Psi$ ai prodhon anën e djathte.

Për një thërrmije në tre dimension, diferenca e vetme është me shumë derivate:

$i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (x,\,t)=-{1 \over 2m}\nabla ^{2}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,\,t)\,$

dhe për rastin e N thërrmijave, diferenca është se funksioni valor është në një hapësire konfigurimi 3N-dimensionale, hapësira e të gjitha pozicioneve të mundshme të thërrmijave.

$i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (x_{1},...,x_{n},t)=(-{\nabla _{1}^{2} \over 2m_{1}}-{\nabla _{2}^{2} \over 2m_{2}}...-{\nabla _{N}^{2} \over 2m_{N}})\Psi (x_{1},...,x_{n},t)+V(x_{1},..,x_{N},t)\Psi (x_{1},...,x_{n},t)\,$

Ekuacioni i fundit është në një dimension shumë të madh, kështu që zgjidhjet nuk janë të lehta për tu vizualizuar.

Ekuacioni me pavarësi kohore

Nëse operatori $H$ nuk varet nga koha, ekuacioni i Shrodingerit mund të zgjidhet nga funktioni valor $\Psi$ i përcaktuar nga

$\Psi (x,t)=f(t)\cdot \Phi (x)$

kështu që

$i\hbar {\partial \Psi \over \partial t}(x,t)=i\hbar \Phi (x){\partial f \over \partial t}(t)=H\Psi (x,t)=f(t)H\Phi (x).$

Kjo domethënë që

${i\hbar \over f(t)}{\partial f \over \partial t}(t)={H\Phi (x) \over \Phi (x)}=E$, për çdo $x,t$ ashtu që $f(t),\Phi (x)\neq 0$.

$E$ duhet të jetë numër konstant, sepse ana e majtë nuk është e varur nga $x$ e ana e djathtë nuk varet nga $t$ (sepse $H$ është i pavarur nga koha). Pra, $E$ nuk mund të varet as nga $x$ dhe as nga $t$. Kjo metodë zgjidhjeje të ekuacioneve diferenciale quhet ndarja e variableve.

Nga ky ekuacion rrjedhin dy ekuacionet

$i\hbar {\partial f \over \partial t}(t)=Ef(t)$

dhe

$H\Phi (x)=E\Phi (x)$.

Ekuacioni i dytë quhet ekuacioni i Shrodingerit me pavarësi kohore. Zgjedhja e ekucionit të parë është shumë e thjeshtë.

$f(t)=e^{-i{Et \over \hbar }}$.

Interesant është që konstanti $E$ duhet të jetë numër reel. Për shkak që

$|\Psi (x,t)|^{2}=|f(t)|^{2}\cdot |\Phi (x)|^{2}=|\Phi (x)|^{2}$,

gjendja e përshkruar nga funksioni valor $\Psi$ quhet statik.

Vetitë

Evolucion kohor unitar

Zgjidhja formale e ekuacionit të Shrodingerit në rastin e pavarsisë kohore së operatorit $H$  është

$|\Psi (t)\rangle =e^{-{i \over \hbar }Ht}|\Psi (0)\rangle$.

$|\Psi (0)\rangle$ është gjendja e fillimit. Vëni re që kjo është vetëm zgjidhje formale, sepse ende duhet llogaritur operatorin $U(t):=e^{-{i \over \hbar }Ht}$. Kjo është e mundshme vetëm në raste më të thjeshta, për shembull për një sistem, në të cilen një pjësëz ka vetëm dy gjendje kuantike në të cilen mund të gjendet. Prapseprap, është interesant ta studiosh këtë operator, i cili quhet operatori i evolucionit kohor. Rezultati kryesor i studimit të këtij operatori është që produkti e brendshëm

$\langle \Psi _{1}(t)|\Psi _{2}(t)\rangle$ i dy gjendjeve kuantike $|\Psi _{i}(t)\rangle ,\ i=1,2$ nuk varet nga koha, domethënë

${d \over dt}\langle \Psi _{1}(t)|\Psi _{2}(t)\rangle =0\Rightarrow \langle \Psi _{1}(0)|\Psi _{2}(0)\rangle =\langle \Psi _{1}(t)|\Psi _{2}(t)\rangle =\langle U(t)\Psi _{1}(0)|U(t)\Psi _{2}(0)\rangle =\langle \Psi _{1}(0)|U(t)^{\dagger }U(t)|\Psi _{2}(0)\rangle$.

Pra $U(t)^{\dagger }U(t)=U(t)U(t)^{\dagger }={\textbf {1}}$. Një operator $A$ i cili kënaq $A^{\dagger }A=AA^{\dagger }={\textbf {1}}$ quhet unitar. Prandaj, evolucioni kohor është unitar.

Parimi i korrespondencës

Artikulli kryesor: Teorema e Ehrenfestit

Ekuacioni i Shrodingerit kënaq parimin e korrespondencës. Në limitin e paketave valore me gjatësi të vogël vale, ai jep ligjet e Njutonit. Kjo është shumë e lehtë për të shikuar nga pikëpamja e mekanikës së matricave.

Të gjithë operatoret në formalizmin e Hajzenbergur i binden ekuacioneve kuantike analoge të Hamiltonit :

${dA \over dt}=-i\hbar (AH-HA)=-i\hbar [A,H]$

Kështu që në veçanti, ekuacionet e lëvizjes për operatoret X dhe P janë :

${dX \over dt}={P \over m}$

${dP \over dt}=-{\partial V \over \partial x}$

në pikturën e Shrodingerit, interpretimi i këtij ekuacioni është se ai jep ndryshimin në kohe të elementeve të matricës midis dy gjendjeve kur gjendja ndryshon në kohe. Po të marrim vlerën mesatare në çdo gjendje del se ligjet e Njutonit janë të vërteta jo vetëm në mënyre mesatare, por ekzaktesisht, për madhësitë :

$\langle X\rangle =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(x)x\psi (x)dx=\langle \psi |X|\psi \rangle \,$

$\langle P\rangle =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(x)i\hbar {\partial \psi \over \partial x}(x)dx=\langle \psi |P|\psi \rangle \,$

Relativiteti

Artikulli kryesor: Ekuacioni relativist valor

Zgjidhjet e ekuacionit

Disa teknika të përgjithshme janë :

• Teoria perturbative
• Parimi i variacionit
• Metoda kuantike Monte Carlo
• Teoria e densiteti funksional
• Përafrimi WKB zgjerimet semi-klasike

Në disa raste speciale, metoda speciale mund të përdoren :

• Lista e sistemeve mekanike kuantike me zgjidhej analitike
• Metoda Hartree-Fock dhe metodat pas Hartree-Fock
• Metoda e potencialit-delta diskret

Potenciali dhe gjendja e energjisë me të ulet

Oshilatori Harmonik

Artikulli kryesor: Oshilatori harmonik kuantik

W rritet në infinit, kështu që funksioni valor ka një integral të fundem. Forma me e thjeshtë analitike është :

$W(x)=\omega x^{2}\,$

me një konstante arbitrare $\omega$, e cila jep një potencial :

$V(x)={1 \over 2}\omega ^{2}x^{2}-{\omega \over 2}\,$

Ky potencial përshkrua oshilatorin harmonik, me funksion valor për gjendjen me energji me të ulet :

$\psi (x)=e^{-\omega x^{2}}\,$

Energjia e plote është zero, por potenciali është i zhvendosur me një konstante. Energjia e gjendjes me të ulet për potencialin e oshilatorit harmonik të zakonshëm të pavendosur :

$V(x)={\omega x^{2} \over 2}\,$

është nje konstante aditive:

$E_{0}={a \over 2}\,$

e cila është energjia e pikës zero për oshilatorin.

Potenciali i Kolombit

Një formë tjetër e thjështë por shumë e dobishme është

$W(x)=2a|x|\,$

ku W është proporcionale me koordinatën rrezore. Kjo është gjendja me energji me të ulet për dy potenciale të ndryshme, në varësi të dimensionit. Në një dimension, potenciali korrespondues është singular tek origjina, ku ka një densitet jo-zero :

$V(x)=2a^{2}+a\delta (x)\,$

dhe, deri tek një varkonstante që përdoret për rishkallëzimin e variablave, kjo është energjia me e ulet për një funksion potencial delta, po të shtojmë energjinë e gjendjes me të ulet.

$V(x)=a\delta (x)\,$

me energjinë e gjendjes me të ulet :

$E_{0}=-2a^{2}\,$

dhe funksionin valor të gjendjes me energji me të ulet :

$\psi =e^{-2a|x|}\,$

Formalizmi i operatoreve

Notacioni Bra-ket

Artikulli kryesor: Bra-ket

Shiko gjithashtu

• Mekanika kuantike
• Ekuacioni i Dirakut
• Numri Kuantik
• Macja e Shrodingerit
• Fusha e Shrodingerit
• Piktura e Shrodingerit

Referime

Kritike librash

• Paul Adrien Maurice Dirac (1958). The Principles of Quantum Mechanics (4th ed.). Oxford University Press. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

Lidhje të jashtme

• Quantum Physics Arkivuar 7 mars 2012 tek Wayback Machine - një libër që trajton ekuacionin e Shrodingerit të pavarur nga koha
• Linear Schrödinger Equation tek EqWorld: Bota e ekuacioneve Matematike.
• Nonlinear Schrödinger Equation tek EqWorld: Bota e ekuacioneve Matematike.
• The Schrödinger Equation in One Dimension si edhe directory of the book.
• All about 3D Schrödinger Equation
• Aspektet matematike të ekuacionit të Shrodingerit diskutohen tek Dispersive PDE Wiki.
• Web-Schrödinger: Interactive solution of the 2D time dependent Schrödinger equation