Ekuacioni i valës elektromagnetike

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Ekuacioni i valës elektromagnetike është një ekuacion diferencial pjesor i rendit të dytë që përshkruan përhapjen e valës elektromagnetike përmes një mjedisi ose në boshllëk. Forma homogjene e ekuacionit, me terma të fushës elektrike E ose të fushës magnetike B, është i formës:

  \left( \nabla^2 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \right) \mathbf{E} \ \ = \ \ 0
  \left( \nabla^2 - { 1 \over {c}^2 } {\partial^2 \over \partial t^2} \right) \mathbf{B} \ \ = \ \ 0

Ku c është shpejtësia e dritës në mjedisin e caktuar. Në vakuum shpejtësia e dritës është, c = c0 = 299,792,458 metër për sekondë.[1]

Ekuacioni i valës elektromagnetike derivohet nga ekuacionet e Maksuellit.

Duhet te theksohet se në literaturën e vjetër, B është "densiteti i fluksit magnetik" ose "induksioni magnetik".

Shpejtësia e përhapjes[redakto | redakto tekstin burimor]

Në vakuum(boshllëk)[redakto | redakto tekstin burimor]

Nëqoftëse vala përhapet në boshllëk, atëherë

c = c_o = { 1 \over \sqrt{ \mu_o \varepsilon_o } } = 2.99792458 \times 10^8 metër për sekonda,

është shpejtësia e dritës në vakum, një vlerë e përcaktuar që përcakton standardin e gjatësisë, njësisë së metrit. Konstantja magnetike \ \mu_0 dhe permitiviteti i vakumit \ \varepsilon_0 janë dy konstante fizike të rëndësishme që luajnë një rol kryesor në teorinë elektromagnetike. Vlerat e tyre (të cilat janë gjithashtu të përcaktuar) në njësi SI të marra nga NIST janë tabuluar më poshtë :

Simboli Emri Vlera Numerike SI Njësia e matjes Tipi
 c_0 \  Shpejtësia e dritës nëe vakum  299\ 792\ 458  metër për sekondë e përcaktuar
 \ \varepsilon_0 konstantja elektrike  8.854\ 187\ 817...\times 10^{-12} Farad për metër e derivuar; \begin{matrix}\frac {1}{\mu_0 {c_0}^2}\end{matrix}
\  \mu_0 \ konstantja magnetike  4 \pi \times 10^{-7} Henri për metër e përcaktuar
 \ \Z_0 Rezistenca karakteristike e vakumit   376.730\ 313\ 461...  ohms e derivuar; \mu_0 c_0

Në një mjedis material[redakto | redakto tekstin burimor]

Shpejtësi e dritës në një mjedis material linear, isotropik, dhe jo-shperhapës ( jo-dispersiv) është

c = { c_0 \over n } =  { 1 \over \sqrt{ \mu \varepsilon } }

ku

 n = \sqrt{ \mu \varepsilon \over  \mu_0 \varepsilon_0  }

është indeksi i refraktimit te mjedisit, \ \mu është permiabiliteti magnetik i mjedisit, dhe \ \varepsilon është permitiviteti elektrik i mjedisit.

Origjina e ekuacionit të valës elektromagnetike[redakto | redakto tekstin burimor]

Konservimi i ngarkesës elektrike[redakto | redakto tekstin burimor]

Konservimi i ngarkesës kërkon që shpejtësia e ndryshimit në kohë te të gjithë ngarkesës elektrike të kufizuar brenda një volumi V duhet të jetë e barabarte korrentin total që rrjedh në sipërfaqen S e cila përmbyll volumin V :

 \oint \limits_S \mathbf{j} \cdot d \mathbf{A}  = - {d \over d t} \int \limits_V \rho \cdot dV

ku j është densiteti i korrentit (në Amper për metër katror) që rrjedh përmes sipërfaqes dhe ρ është densiteti i korrentit (në kulomb për metër kub) në çdo pikë të volumit.

Nga teorema e divergjencës, ky relacion mund të konvertohet nga forma integrale në atë diferenciale :

 \nabla \cdot \mathbf{j} = - { \partial \rho \over \partial t}

Ligji i Amperit para korrektimit të Maksuellit[redakto | redakto tekstin burimor]

Në formën e tij origjinale, Ligji i forcës së Amperit jep lidhjene midis fushës magnetike B dhe densitetit të korrentit j :

 \oint \limits_C \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} =  \iint \limits_S \mu \mathbf{j} \cdot d \mathbf{A}

ku S është një sipërfaqe e hapur e kufizuar nga një kurbë C. Kjo forme integrale mund të shndërrohet në formën diferenciale me ane te teoremës së Stouks :

 \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}

Mospërputhja midis ligjit të Amperit dhe ruajtjes së ngarkesës elektrike[redakto | redakto tekstin burimor]

Po të marrim divergjencën e të dyja aneve të ligjit të forcës së Amperit kemi :

 \nabla \cdot  ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mu_0 \mathbf{j}

Divergjenca e rrotacionit të çdo fushë vektoriale, përfshire fushën magnetikë B, është gjithmonë zero :

 \nabla \cdot  ( \nabla \times \mathbf{B}) = 0

Po të kombinojmë këto dy ekuacione del se

\nabla \cdot \mu_0 \mathbf{j} = 0

Për shkak se  \ \mu_0 është një konstante jo-zero, rrjedh se

\nabla \cdot \mathbf{j} = 0

Megjithatë, ligji i ruajtjes së ngarkesës elektrike thotë se

 \nabla \cdot \mathbf{j} = - { \partial \rho \over \partial t }

Pra, si në rastin e ligjeve te Kircofit, ligji i forcës së Amperit është i vërtete vetëm në ato raste kur kemi të bëjmë me një situate që përfshin një densitet konstant ngarkese. Kjo nuk e përfshin situatën që ndosh kur kemi rikarikimin e pllakave te një kapacitete.

Korrektimi i Maksuellit dhe ligji rrethor i Amperit[redakto | redakto tekstin burimor]

Ligji i Gausit në formën integrale pohon se :

 \oint \limits_S \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A}  = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \limits_V \rho \cdot dV \ ,

ku S është një sipërfaqe e mbyllur që kufizon një volum V. Kjo formë integrale mund të konvertohet në formën diferenciale duke përdorur teoremën e divergjencës :

 \nabla \cdot \varepsilon_0 \mathbf{E}  =  \rho

Po të marrim derivatin kohor te të dyja aneve dhe të nderojmë radhën e diferencimit në anën e majte marrim :

 \nabla \cdot   \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t }     = { \partial \rho \over \partial t}

Ky rezultat i fundit së bashku me ligjin rrethor të Amperit (ligjin e forcës së Amperit) si dhe me ligjin e ruajtjes së ngarkesës elektrikë, sugjeron se aktualisht kemi dy burime origjine të fushës magnetikë : densiteti e korrentit j, siç e zbuloi Amperi, si dhe i ashtequajturi korrent zhvendoses:

   {\partial  \mathbf{D}   \over \partial t }   =  \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t }

Kështu që forma e rregullt e ligjit të forcës së Amperit bëhet :

 \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0   {\partial  \mathbf{E}   \over \partial t }

Hipoteza e Maksuellit se drita është një valë elektromagnetike[redakto | redakto tekstin burimor]

Nje kartolinë nga Maksuelli për Piter Tait.

Në publikim e tij të 1864 të titulluar Nje teori Dinamike e fushës elektromagnetike, Maksuelli përdori korrigjimin e ligjit të forcës së Amperit të cilin ai kishte bëre në pjesën e III të publikimit të 1861-shit On Physical Lines of Force. Ne pjesene e VI të publikimit të 1864 të titulluar Teoria elektromagnetike e dritës[2], Maksuelli kombinoi korrentin zhvendoses me disa ekuacione të tjera të elektromagnetismit për të marre ekuacionin e valës elektromganetike me shpejtësi të barabarte me atë të dritës. Ai komentoi :

Rënia dakord e rezultateve tregon se drita dhe magnetizmi janë ngacmime të të njejtes substance, si dhe drita është një valë elektromagnetike që përhapet përmes një fushë sipas ligjeve të elektromagnetizmit.[3]

Derivimi i Maksuellit për ekuacionin e fushës elektromagnetike është zëvendësuar në fizikën moderne nga një metode shumë më e thjështë që përfshin kombinimin e versionit të korrektuar të ligjit të forcës së Amperit me ligjin e induksionit të Faradeit.

Në mënyre që të marrim ekuacionin e valës elektromagnetike në boshllëk duke përdorur metodën moderne, mund të fillojmë me formën 'Hevisajd' të ekuacioneve të Maksuellit. Në vakum këto ekuacione janë :

 \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\epsilon_0}
 \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
 \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}

Po të marrim rrotacionin e rrotacionit të ekuacioneve kemi :

 \nabla \times \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial } {\partial t} \nabla \times \mathbf{B} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} }  {\partial t^2}
 \nabla \times \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t} \nabla \times \mathbf{E} = -\mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}

Duke përdorur identitetin vektorial

\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}

ku  \mathbf{V} është një funksion vektorial i hapësirës, marrim ekuacionin e valës :

 {\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2} \ - \  {c_0}^2 \cdot \nabla^2 \mathbf{E}  \ \ = \ \ 0
 {\partial^2 \mathbf{B} \over \partial t^2} \ - \  {c_0}^2 \cdot \nabla^2 \mathbf{B}  \ \ = \ \ 0

ku

c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 metër për sekonda

është shpejtësia e dritës në boshllëk.

Forma kovariante e ekuacionit homogjen të valës[redakto | redakto tekstin burimor]

Bymimi i kohës në lëvizjen drejtvizore. Kërkesa që shpejtësia e dritës të jete konstante në çdo ikend referimi inercial con në teorinë e Relativitetit Special.

Këto ekuacione relativiste mund të shkruhen në formë kovariante si

\ \Box^2 A^{\mu} = 0

ku potenciali 4-dimensional elektromagnetik është

A^{\mu}=(\varphi, \mathbf{A} c)

Me konditën e madhësisë së Lorencit :

\partial_{\mu} A^{\mu} = 0\,.

Këtu

\Box^2 = \nabla^2 - { 1 \over c^2} \frac{   \partial^2} { \partial t^2} është simboli i operatorit d'Alembertian. Kutia katrore nuk është gabim tipografik ; ajo është simboli i këtij operatori.

Ekuacioni homogjen i valës në hapësire kohën e kurbuar[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacioni i valës elektromagnetike modifikohet në dy mënyra, derivati zëvendësohet me derivation kovariant dhe një term i ri që varet në kurbaturën e hapësire-kohës shfaqet tek ekuacioni.

 - {A^{\alpha ; \beta}}_{; \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} = 0

ku

  {R^{\alpha}}_{\beta}

ështe tensori i kurbaturës i Ricit dhe pikëpresja tregon diferencimin kovariant.

Përgjithësimi i konditës së madhësisë së Lorencit në hapësirën e kurbuar merret parasysh këtu :

  {A^{\mu}}_{ ; \mu} =0  .

Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike[redakto | redakto tekstin burimor]

Ngarkesa lokale dhe densitete të korrentit që ndryshojnë në kohë veprojnë si burime të ngarkesës elektromagnetike në boshllëk. Ekuacionet e Maksuellit mund të shkruhen në formën e ekuacionit të valës me burime. Shtimi i burimeve tek ekuacioni i valës i bën ekuacionet diferenciale pjesore jo-homogjene.

Zgjidhje te ekuacionit homogjen të valës elektromagnetike[redakto | redakto tekstin burimor]

Red right arrow.svg
 Artikulli kryesor: Ekuacioni i valës.

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të valës elektromagnetike është një superpozim linear i valëve të formës

 \mathbf{E}( \mathbf{r}, t )  =  g(\phi( \mathbf{r}, t ))  =  g( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}   )

dhe

 \mathbf{B}( \mathbf{r}, t )  =  g(\phi( \mathbf{r}, t ))  =  g( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}   )

e cila virtualisht është e sakte për çdo funksion që sillet mirë g me një argument pa përmasa φ, ku

 \ \omega është frekuenca këndore (në radian për sekonda), dhe
 \mathbf{k} = ( k_x, k_y, k_z) është vektori i valës (në radiane për metër).

Edhe pse funksioni g mund të jetë dhe zakonisht është një vale sinusoidale monokromatike, ajo mund të mos jetë sinusoidale , ose periodike. Në praktikë, g nuk mund të ketë një periodicitet infinit sepse çdo vale elektromagnetike ka një zgjerim të kufizuar në hapësire dhe në kohë. Si rezultat i kësaj, dhe bazuar në teorinë e dekompozimit të Furierit, një valë reale konsiston si një mbivendosje e një bashkësie të pafundme frekuencash sinusoidale.

Për më tepër, për një zgjidhje të sakte, vektori i valës dhe frekuenca këndore nuk janë madhësi të pavarura ; këto madhësi aderojnë sipas relacionit dispersiv :

 k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } =  { 2 \pi \over \lambda }

ku k është numri valor dhe λ është gjatësia e valës.

Gjendja monokromatike, sinusoidale[redakto | redakto tekstin burimor]

Bashkësia më e thjështë e zgjidhjeve të ekuacionit të valës rezulton duke hipotezuar së forma sinusoidale e një frekuence të vetme në formë të ndarë :

\mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \mathrm {Re} \{ \mathbf{E} (\mathbf{r} )  e^{ j \omega t }  \}

ku

Zgjidhjet e valës planare[redakto | redakto tekstin burimor]

Konsideroni një plan te përcaktuar nga një vektor njësi pingul

 \mathbf{n} = { \mathbf{k} \over k } .

Atëherë zgjidhjet e valës planare të ekuacionit të valës janë

 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = E_0 e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} }

dhe

 \mathbf{B}(\mathbf{r}) = B_0 e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} }

ku

 \mathbf{r} = (x, y, z) është vektori i pozicionit (në metra).

Këto zgjidhje paraqesin një valë planare që udhëton në drejtimin e vektorit pingul  \mathbf{n} . Po ta përcaktojmë drejtimin z si drejtimin e  \mathbf{n} dhe drejtimin x si drejtimin e  \mathbf{E} , atëherë nga ligji i Faradeit vijat e fushës magnetike shtrihen në drejtimin y dhe lidhen me fushën elektrike nga relacioni

  c {\partial B \over \partial z} = {\partial E \over \partial t} .

Për shaka se divergjenca e fushës elektrike dhe magnetike janë zero, nuk ka fusha në drejtimin e propagimit të valës.

Kjo zgjidhje ështe zgjidhja e polarizimit linear të ekuacionit të valës. Ekzistojnë edhe zgjidhje që janë të polarizuara në mënyre rrethore në të cilat fusha rrotullohet rreth vektorit normal.

Dekompozimi spektral[redakto | redakto tekstin burimor]

Për shkak të linearitetit të ekuacioneve të Maksuellit në boshllëk, zgjidhjet mund të dekompozohen në një superpozim sinusoidesh. Kjo është ideja themelore e metodës së transformimit te Furierit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale. Zgjidhja sinusoidale e ekuacionit të valës elektromagnetike merr formën

Ilustrim i spektrit elektromagnetik.
 \mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{E}_0 \cos( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )

dhe

 \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{B}_0 \cos(  \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )

ku

 \ t është koha (në sekonda),
 \ \omega është frekuenca këndore (në radian për sekonda),
 \mathbf{k} = ( k_x, k_y, k_z) është vektori i valës (në radiane për metër), dhe
 \phi_0 \, është kendi fazor (në radiane).

Vektori i valës është i lidhur me frekuencës këndore nga

 k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } =  { 2 \pi \over \lambda }

ku k është numri valor dhe λ është gjatësia e valës.

Spektri elektromagnetik është një graf i madhësive të fushës (ose energjisë) si funksion i gjatësisë së valës.

Zgjidhje te tjera[redakto | redakto tekstin burimor]

Zgjidhje analitike sferikisht simetrike dhe cilindrikisht simetrike janë të mundura për ekuacionin e valës elektromagnetike. Në koordinata cilindrike ekuacioni i valës mund të shkruhet si më poshtë :

 \mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = {\mathbf{E}_0 \cos( \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )\over s}

dhe

 \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = {\mathbf{B}_0 \cos(  \omega t  -  \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0  )\over s}

Shikoni gjithashtu[redakto | redakto tekstin burimor]

Teoria dhe eksperimenti[redakto | redakto tekstin burimor]

Aplikime[redakto | redakto tekstin burimor]

Shenime[redakto | redakto tekstin burimor]

  1. ^ Praktika e tanishme është që të përdorim c0 për të treguar shpejtësinë e dritës në vakum sipas ISO 31. Në rekomandimin origjinal të 1983, simboli c u përdor për këtë qëllim. Shiko NIST Special Publication 330, Appendix 2, p. 45
  2. ^ Maxwell 1864 4 (faqja 497 e artikullit si dhe faqja 9 e dokumentit pdf)
  3. ^ See Maxwell 1864 5, faqja 499 e artikullit dhe faqja 1 e linkut pdf

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

Lexime të mëtejshme[redakto | redakto tekstin burimor]

Elektromagnetizmi[redakto | redakto tekstin burimor]

Artikuj gazetash[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Maxwell, James Clerk, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)

Libra të nivelit universitar[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Griffiths, David J.: Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall 1998, ISBN 0-13-805326-X
  • Tipler, Paul: Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman 2004, ISBN 0-7167-0810-8
  • Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985). ISBN 0-07-004908-4.
  • Hermann A. Haus and James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X.
  • Banesh Hoffmann, Relativity and Its Roots (Freeman, New York, 1983). ISBN 0-7167-1478-7.
  • David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, Electromagnetic Waves (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4.
  • Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
  • Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach, (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9

Libra të nivelit post-universitar[redakto | redakto tekstin burimor]

Analiza vektoriale[redakto | redakto tekstin burimor]

  • P. C. Matthews Vector Calculus, Springer 1998, ISBN 3-540-76180-2
  • H. M. Schey, Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus, 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.

Biografia[redakto | redakto tekstin burimor]