Formulat e Cramerit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Formulat e Cramerit japin zgjidhjet e sistemit të ekuacioneve lineare kur numri i të panjohurave është i barabarte me numrin e ekuacioneve.

Këto formula i ka zbuluar matematikani zviceran Gabriel Cramer (1704-1752).

Për sistemin prej dy dhe tre ekuacioneve lineare me dy respektivisht tre të panjohura ato janë :

\left\{\begin{matrix}ax+by&={\color{red}e}\\ cx + dy&= {\color{red}f}\end{matrix}\right.\

i cili në forme të matricës shkruhet si më poshtë

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}.

Atëherë të panjohurat, x dhe y gjinden sipas rregullit të Cramerit

x = \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix}/\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}

dhe

y = \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix}/\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}.

për sistemin me tre të panjohura kemi

\left\{\begin{matrix}ax + by + cz&= {\color{red}j}\\dx + ey + fz&= {\color{red}k}\\gx + hy + iz&= {\color{red}l}\end{matrix}\right.

me matrica

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}

vlerat e x, y dhe z janë :

x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }, \quad y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} },\text{ and }z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }.

x=\frac{D_x}{D},\quad y=\frac {D_y}{D},\quad z=\frac{D_z}{D},

ku

x, y dhe z janë tri të panjohurat e sistemit (rrënjët/zgjidhja e sistemit), D_x, D_y dhe D_z përcaktorët karakteristikë të sistemit dhe D - përcaktori kryesor i sistemit.