Funksionet me shumë variabla

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Përkufizimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Rregulla ƒ sipas së cilës çdo pikë  M(x,y) nga një zonë D (domeni i funksionit) në sistemin koordinativ xoy i korrespondohet një dhe vetëm një numër real z nga bashkësia numerike R (kodomeni i funksionit) dhe çdo numri nga R i përgjigjet së paku një pikë nga D, e quajmë funksion me dy variabla.[1] dhe simbolikisht shënohet  z=f(M) ose  z=f(x,y).

Grafiku i funksionit[redakto | redakto tekstin burimor]

Grafiku i funksionit f(x, y) = sin(x2cos(y2).

Grafiku i funksionit  z=f(x,y). zakonisht paraqet një sipërfaqe, ndërprerjet e saj me rrafshe paralele  z=c janë lakore, projeksionet e të cilave në rrafshin xOy kanë ekuacionet  f(x,y)=c dhe quhen lakore nivelore. Për funksionin me tri variabla quhen sipërfaqe nivelore.

Limiti i funksionit[redakto | redakto tekstin burimor]

Rrethinë me rreze δ ose δ-rrethinë të pikës M₀(x₀,y₀) në rrafshin xOy e quajmë bashkësinë e të gjitha pikave  M(x,y) që gjenden brenda rrethit me rreze δ e me qendër në pikën M₀. Pikën M₀ e quajmë pikë grumbullimi të zonës D në qoftë se në çdo δ-rrethinë të saj ekziston së paku një pikë M₀ e ndryshme nga M e cila i takon zonës D. Pika M₀ mund t'i takojë ose mos t'i takojë zonës D. Numrin A e quajmë limit të funksionit ƒ në pikën e grumbullimit M₀ të domenit D në qoftë se për çdo

\varepsilon > 0

sado të vogël, mund të gjendet  \delta > 0

e tillë që për çdo pikë  M(x,y) nga δ- rrethina e pikës M₀ vlen

|f(x) - A| < \varepsilon .

simbolikisht[2] shënohet  z=f(M) ose  z=f(x,y). , ose

 \forall \varepsilon > 0\ \exists \ \delta > 0 : \forall x\ (0 < |x - c| < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - A| < \varepsilon).

Pika M mund të tentoj në pikën M₀ në mënyrë të çfarëdoshme , nëpër ndojnë segment, lakore etj.Nëse eksiston limiti i funksionit ƒ në pikën M₀ atëherë ai nuk varet nga rruga nëpër të cilën M → M₀.

Vazhdueshmëria e funksionit[redakto | redakto tekstin burimor]

Le të jetë  z=f(x,y) funksion i përkufizuar në zonën D dhe M₀(x₀,y₀) një pikë grumbullimi e kësaj zone. Funksioni ƒ quhet i vazhdueshëm në pikën M₀ në qoftë se

\lim_{a\to c} f(a) =f(c)

ku a = M(x,y) dhe c = M₀(x₀,y₀).

Funksioni ƒ është i vazhdueshëm në një bashkësi D në qoftë se është i vazhdueshëm në çdo pikë të bashkësisë D. Le të jetë Z=(x,y) funksion i dy variablave dhe Δx e Δy shtesat e variablave x e y, atëherë diferencën

\Delta z = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x},\mathbf{y}+\Delta\mathbf{y}) - f(\mathbf{x,y}).

e quajmë shtesa totale e funksionit ƒ në pikën (x,y) , ndërsa diferencat

\Delta z_x = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x},\mathbf{y}) - f(\mathbf{x,y}).

dhe

\Delta z_y = f(\mathbf{x},\mathbf{y}+\Delta\mathbf{y}) - f(\mathbf{x,y}).

i quajmë shtesa parciale e funksionit ƒ në pikën (x,y) në lidhje me argumentet x e y. Funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën M₀ nëse

\lim_{a \to c}\Delta z =0 .

ku c = M(x,y) kurse a = M_0(x_0,y_0).

Në qoftë se

\lim_{\Delta x\to 0} \Delta z_x =0

atëherë themi se funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën M_0(x_0,y_0) në lidhje me variablën x. Ndërsa vazhdueshmëria e funksionit sipas y

\lim_{\Delta y\to 0} \Delta z_y =0 .

Nëse funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën M_0(x_0,y_0) atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë në lidhje me secilën variabël veç e veç. Anasjelltas nuk vlen. Operacionet e funksioneve të vazhdueshme janë funksione të vazhdueshme.

Vazhdueshmëria.

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

  1. ^ Funksionet me dy e më shumë variabla.Hajdar Peci. Matematika 2. Fakulteti elektroteknik në Prishtinë 2008.
  2. ^ Limiti i funksionit.http://mathworld.wolfram.com/Limit.html.
  • Zenun Loshaj. Matematika 2. Fakulteti elektroteknik në Prishtinë (1996). 


Për më tepër[redakto | redakto tekstin burimor]