Hapësira e Hilbertit

Hapësira e Hilbertit mund të përdoret për të studiuar lëvizjen harmonike të kordës vibruese.

Në matematikë koncepti i hapësirës së Hilbertit, përgjithëson nocionin e hapësirës Euklidiane. Ky nocion zgjeron metodat e algjebrës vektoriale nga plani dy dimensional dhe hapësira tredimensionale në hapësirat me numër të pafundëm të dimensioneve.

Në mënyrë më formale, hapësira e Hilbertit është një hapësirë e produktit të brendshëm në një hapësirë vektoriale abstrakte në të cilën distancat dhe këndet mund të maten. Pra kjo është një "hapësirë komplete", që nënkupton se nëqoftëse një varg vektorësh është i tipit Koshi, atëherë ai konvergjon d.m.th. ka limit brenda asaj hapësire.

Hapësirat e Hilbertit shfaqen shpesh në mënyrë te natyrshme në matematikë, fizikë, dhe në inxhinieri. Zakonisht kjo është si hapësira funksionale me dimensione të pafundme. Këto cilësohen si mjete të pazëvendësueshme në teorinë e ekuacioneve diferenciale pjesore, mekanikes kuantike, dhe proçesimit të sinjaleve. Njohja e një strukture të përbashkët algjebrike midis këtyre fushave të ndryshme dha një kuptim me të gjerë të konceptuar. Suksesi i metodave të hapësirës së Hilbertit çoi ne periudhën e arte të analizës funksionale.

Intuita gjeometrike luan një rol shumë te rëndësishëm në shumë aspekte të teorisë se hapësirave të Hilbertit. Një element i hapësirës së Hilbertit mund të veçohet në mënyrë unike nga koordinatat në lidhje me një vektor bazë , në ngjashshmëri me koordinatat karteziane në një plan. Kur kjo bazë është e numërueshme, kjo do të thotë se hapësira e Hilbertit mund të shprehet me terma të vargjeve të pafundme e që janë hapësira të Lebegut. Operatorët linearë në një hapësirë të Hilbertit janë gjithashtu objekte konkrete. Në raste të favorshme, ato janë thjesht transformime që zgjerojnë hapësirën me faktorë të ndryshëm.

Hyrje dhe historia

David Hilberti, matematikani puna themelore e të cilit në studimin e ekuacioneve integrale dhe formave kuadratike çoi tek koncepti i hapësirave të Hilbertit.

Hapësira Euklidiane e zakonshme shërben si një model për nocionin e hapësirës se Hilbertit. Në hapësirën Euklidiane, të dhëne në R³, distanca në mes pikave dhe këndi në mes vektorëve mund të shprehen nëpërmjet produktit të brendshëm, një veprim mbi një çift vektorësh vlerat e të cilëve janë numra reale. Probleme nga gjeometria analitike, si përcaktimi nëqoftesë dy drejtëza janë pingule ose gjetja e një pike në një plan të dhëne e cila është me afër origjinës, mund te shprehen dhe të zgjidhen duke përdorur prodhimin e brendshëm vektorial. Një tipar tjetër i rëndësishëm i R³ është që ajo posedon strukturë të mjaftueshme për të ruajtur metodat e analizës, për shkak të ekzistencës së limiteve. Hapësirat e Hilbertit janë përgjithshme te R³ të cilat përmbajnë një operator analog me prodhimin vektorial në hapësirën Euklidiane (kjo zakonisht quhet prodhimi i brendshëm) te cilat janë “komplete" në sensin që limitet që duhen për zbatimin e analizës ekzistojnë.

Para zhvillimit të hapësirave të Hilbertit, përgjithësime të tjera të R³ ishin te njohura nga matematikanët dhe fizikanet. Në veçanti, ideja e hapësirave abstrakte lineare kishte marrë hov nga fundi i shekullit XIX : kjo është një hapësire elementet e së cilës mund të mblidhen dhe të shumëzohen me skalare (si numrat real ose komplekse) pa i identifikuar këto elemente me vektorë "gjeometrike", si vektorët e pozicionit dhe momentit në sisteme fizike. Objekte të tjera të studiuara nga matematikanët në fillim të shekullit XX, në veçanti hapësirat e vargjeve (duke përfshire seritë) dhe hapësirat e funksioneve, të cilat mund të kuptohen si hapësira lineare. Funksionet, për shembull, mund të mblidhen ose të shumëzohen me skalarë, veprime këto që i binden ligjeve algjebrike të mbledhjes dhe shumëzimit të vektorëve hapësinorë.

Në dekadën e parë të shekullit XX, zhvillime paralele sollën deri të paraqitja e hapësirave të Hilbertit. E parë nga ky vëzhgim, gjate studimit të ekuacioneve integrale nga David Hilberti dhe Erhard Schmidt, se dy funksione reale të vazhdueshme f dhe g në një interval [a,b] që janë të integrueshëm kanë një produkt të brendshëm :

$\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx$

i cili ka shumë nga vetitë familjare të prodhimit vektorial Euklidian. Në veçanti ideja e familjeve të funksioneve ortogonale ka një kuptim të caktuar. Shmidt përdori ngjashmërinë midis produktit të brendshëm me produktin vektorial Euklidian për të provuar analogun e dekompozimit spektral për një operator të formës

$f(x) \mapsto \int_a^b K(x,y) f(y)\, dy$

ku K është një funksion i vazhdueshëm simetrik në lidhje me x dhe y. Zgjerimi ajgenfunksonal që rrjedh nga kjo e shpreh funksionin K si një seri të formës

$K(x,y) = \sum_n \lambda_n\varphi_n(x)\varphi_n(y)\,$

ku funksionet φ_n janë pingule në sensing që 〈φ_n,φ_m〉 Stampa:= 0 for all n ≠ m. Megjithatë, ekzistojnë zgjerime ajgenfunksionale të cilat nuk konvergjojnë në kuptimin e zakonshëm te një funksion që është i integrueshëm në katror : Ajo që mungon këtu është vetia e kompletimit e cila siguron konvergjencën.

Zhvillimi i dyte që integrali i Lebesgut, një alternative e integralit të Rimanit e paraqitur nga Henri Lebesgue në 1904. Integrali i Lebesgut beri të mundur integrimin e funksioneve që nuk janë të vazhdueshme. Ne 1907, Frigyes Riesz dhe Ernst Sigismund Fischer provuan në mënyre të pavarur se hapësira L² e funksionit të integrueshëm në katror Lebesgian është një hapësire metrike komplete. Rrjedhoje e kësaj që bashkëkoordinimi midis gjeometrisë dhe vetisë së kompletimit, rezultati i shekullit të 19te i Jozef Fourier, Friedrich Bessel dhe Marc-Antoine Parseval mbi seritë trigonometrike mund të pershatet qartë në hapësira me të përgjithshme, që rezultojnë në një aparat gjeometriko-analitik të njohur si teorema Riesz-Fischer .

Rezultate te tjera themelore u provuan ne fillim te shekullit XX. Për shembull, teorema e reprezentimit e Riesz u arrit në mënyre të pavarur nga Maurice Fréchet dhe Frigyes Riesz në 1907. John von Neumann vuri termin hapësira abstrakte e Hilbertit në veprën e tij të famshme mbi operatoret Hermitian. Von Neumann që një nga matematikanët e vetëm në ato kohe që vuri në dukje rëndësinë e rezultatit si rrjedhoje e punës së tij thelbësore në themelimet e e mekanikës kuantike, gjate punës së tij me Eugene Wigner. Emri "Hilbert space" u adaptua nga të tjerët, për shembull nga Hermann Weyl në librin e tij mbi mekanikën kuantike dhe teorinë e grupeve.

Rëndësia e konceptit të hapësirave të Hilbertit u nënvizua nga realizmi që ajo ofron një nga formulimet më të mira të mekanikës kuantike. Shkurt, gjendjet e një sistemi janë vektorë në një hapësire të caktuar Hilbertiane, të observueshmet janë operatore hermitiane në atë hapësire, simetritë e sistemit janë operatore unitare, dhe matjet janë projeksione ortogonale. Lidhja midis simetrive mekaniko-kuantike dhe operatoreve unitare dhanë një impetus direkt për zhvillimin e teorisë së reprezentimit unitar të grupeve, të filluar më 1928 me punën e Hermann Weyl. Nga ana tjetër, në fillim të viteve 1930 u be e çart se disa veti klasike të sistemeve dinamike mund të analizohen duke përdorur teknika të hapësirës së Hilbertit në kontekstin e teorisë ergodike.

Zbatime

Orbitalet e një elektroni në një atom hidrogjeni janë ajgenfunksione të energjisë. Energjia jepet nga operatori i Shrodingerit (me pavarësi ohore) i cili vepron në një nënhapësire të dendur te hapësirës Hilbertaine të funksioneve të integrueshëm-katror në R³, ku spektri i saj përcakton nivelet e mundshme të energjisë.

Shumë nga aplikimet e hapësirës se Hilbertit shfrytëzojnë faktin se hapësirat e Hilbertit suportojnë përgjithësime të koncepteve të thjeshta gjeometrike si projektimin dhe ndryshimi i bazës në krahasim me analoget e fundem dimensionale. Në veçanti, teoria spektrale e operatorit linear të funksioni i vazhdueshëm vete-adjointuar (?) në një hapësire Hilberti përgjithëson dekompozimin spektral të zakonshëm tek një matricë, gjë kjo e cila luan një rol madhor në aplikimet e teorisë në fusha tjera të matematikës dhe fizikës.

Teoria e Sturm–Liuvilit

Overtoni i një korde vibruese. Këto janë ajgenfunksione të problemit Sturm–Ljuville. Ajgenvlerat 1, 1/2, 1/3... formojnë serite harmonike (muzikore).

Në teorinë e ekuacioneve diferenciale të zakonshme, metodat spektrale në një hapësire të përshtatshme Hilberti përdoren për të studiuar sjelljen e vlerave të veta dhe "funksioneve të veta" të ekuacioneve diferenciale. Për shembull, problemi i Sturm–Ljuvilit del në studimin e valëve harmonike në një kordë (tel i shtrënguar) ose në një daulle. Problemi është një ekuacion diferencial i formës

$-\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{ dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y$

Për një variabël të panjohur y në një interval [a,b], që kënaq konditat kufitare homogjene Robin

$\begin{cases} \alpha y(a)+\alpha' y'(a)=0\\ \beta y(b) + \beta' y'(b)=0. \end{cases}$

Funksionet p, q, dhe w jepen më përpara, dhe problemi është të gjendet një funksion y dhe një konstante λ për të cilën ekuacioni ka një zgjidhje. Problemi ka zgjidhje vetëm për disa vlera të caktuara të λ, të quajtura "vlera të veta" të sistemit, kjo është një rrjedhim i teoremës spektrale për operatoret kompakt të aplikuar tek operatori integral i përcaktuar nga funksioni i Grinit për sistemin. Për me tepër, një rrjedhim tjetër i këtij rezultati të përgjithshëm është se "vlerat e veta" λ të një sistemi mund të vendosen në një varg rritës që tenton në infinit.

Shikoni gjithashtu

• Stampa:Portal Matematika
• Stampa:Portal Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

• Analiza harmonike
• Operatoret Hermitiane
• Moduli Hilbert C*
• Manifoldi i Hilbertit
• Analiza matematike
• Algjebra e operatoreve
• Topologjitë në një bashkësi të operatoreve në një hapësire Hilberti

Referenca

• Bers, Lipman; John, Fritz & Schechter, Martin (1981), [[w:Partial differential equations:|]], American Mathematical Society, ISBN 0821800493 .
• Bourbaki, Nicolas (1986), [[w:Spectral theories:|]], Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0201007673 
• Bourbaki, Nicolas (1987), [[w:Topological vector spaces:|]], Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3540136279 
• Brenner, S. & Scott, R. L. (2005), [[w:The Mathematical Theory of Finite Element Methods:|]] (2nd ed.), Springer, ISBN 0-3879-5451-1 .
• Clarkson, J. A. (1936), "http://www.jstor.org/stable/1989630", Trans. Amer. Math. Soc. 40: 396–414, doi:10.2307/1989630, <http://www.jstor.org/stable/1989630> .
• Courant, Richard & Hilbert, David (1953), [[w:Methods of Mathematical Physics, Vol. I:|]], Interscience 
• Dieudonné, Jean (1960), [[w:Foundations of Modern Analysis:|]], Academic Press .
• Dunford, N. & Schwartz, J.T. (1958), [[w:Linear operators, Parts I and II:|]], Wiley-Interscience .
• Duren, P. (1970), [[:w:Theory of H^p-Spaces:|]], New York: Academic Press .
• Folland, Gerald B. (1989), [[w:Harmonic analysis in phase space:|]], Annals of Mathematics Studies, 122, Princeton University Press, ISBN 0-691-08527-7 
• Fréchet, Maurice (1907), "[[w:Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires:|]]", C. R. Acad. Sci. Paris 144: 1414–1416 .
• Fréchet, Maurice (1904–1907), [[w:Sur les opérations linéaires:|]] .
• Giusti, Enrico (2003), [[w:Direct Methods in the Calculus of Variations:|]], World Scientific, ISBN 981-238-043-4 .
• Halmos, Paul (1957), [[w:Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity:|]], Chelsea Pub. Co 
• Halmos, Paul (1982), [[w:A Hilbert Space Problem Book:|]], Springer-Verlag, ISBN 0387906851 
• Hewitt, Edwin & Stromberg, Karl (1965), [[w:Real and Abstract Analysis:|]], Springer-Verlag .
• Hilbert, David; Nordheim, Lothar (Wolfgang) & von Neumann, John (1927), "http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D27779", Mathematische Annalen 98: 1–30, doi:10.1007/BF01451579, <http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D27779> .
• Колмогоров, А. Н. & Фомин, С. В. (1989), [[w:Элементы теории функций и функционального анализа:|]] (sixth Russian (with corrections) ed.), "Nauka", Moscow, ISBN 5-02-013993-9 .
• Kolmogorov, Andrey & Fomin, Sergei V. (1970), [[w:Introductory Real Analysis:|]] (Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975) ed.), Dover Press, ISBN 0-486-61226-0 .
• Stampa:Springer.
• Reed, Michael & Simon, Barry (1980), [[w:Functional Analysis:|]], Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 0-12-585050-6 .
• Reed, Michael & Simon, Barry (1975), [[w:Fourier Analysis, Self-Adjointness:|]], Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 0-12-5850002-6 .
• Prugovečki, Eduard (1981), [[w:Quantum mechanics in Hilbert space:|]] (2nd ed.), Dover (published 2006), ISBN 978-0486453279 .
• Riesz, Frigyes (1907), "[[w:Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables:|]]", C. R. Acad. Sci. Paris 144: 1409–1411 .
• Riesz, Frigyes (1934), "[[w:Zur Theorie des Hilbertschen Raumes:|]]", Acta Sci. Math. Szeged 7: 34–38 .
• Riesz, Frigyes & Sz.-Nagy, Béla (1990), [[w:Functional analysis:|]], Dover, ISBN 0-486-66289-6 .
• Rudin, Walter (1973), [[w:Functional analysis:|]], Tata MacGraw-Hill .
• Schmidt, Erhard (1908), "[[w:Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten:|]]", Rend. Circ. Mat. Palermo 25: 63–77, doi:10.1007/BF03029116 .
• Saks, Stanisław (2005), [[w:Theory of the integral:|]] (2nd Dover ed.), Dover, ISBN 978-0486446486 ; originally published Monografje Matematyczne, vol. 7, Warszawa, 1937.
• Stewart, James (2006), [[w:Calculus: Concepts and Contexts:|]] (3rd ed.), Thomson/Brooks/Cole .
• Titchmarsh, Edward Charles (1946), [[w:Eigenfunction expansions, part 1:|]], Oxford University: Clarendon Press .
• von Neumann, John (1929), "[[w:Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren:|]]", Mathematische Annalen 102: 49–131, doi:10.1007/BF01782338 .
• von Neumann, John (1932), "http://www.jstor.org/stable/86260", Proc Natl Acad Sci USA 18: 263–266, doi:10.1073/pnas.18.3.263, <http://www.jstor.org/stable/86260> .
• Walters, Peter (1982), [[w:An Introduction to Ergodic Theory:|]], Springer-Verlag, ISBN 0-387-95152-0 .
• Weyl, Hermann (1931), [[w:The Theory of Groups and Quantum Mechanics:|]] (English 1950 ed.), Dover Press, ISBN 0-486-60269-9 .
• Young, N (1988), [[w:An introduction to Hilbert space:|]], Cambridge University Press, ISBN 0-521-33071-8 .
• Zimmer, Robert (1990), [[w:Essential Results of Functional Analysis:|]], ISBN 0226983382 

Lidhje të jashtme

• Hilbert Space at Mathworld