Mekanika e Hamiltonit

Nga Wikipedia, Enciklopedia e Lirë

Mekanika e Hamiltonit është një ri-formulim i mekanikës klasike që u paraqit për herë te parë në 1833 nga matematikani Irlandez Uilliam Rouan Hamilton. Si teori u ngrit në bazë të mekanikës së Lagranzhit, një riformulim tjetër i mekanikes klasike, i dhënë nga Jozef Luiz Lagranzhi në 1788. Megjithatë teoria mund të formulohet pa mbështetje në mekanikën e Lagranzhit, duke përdorur hapësira simplektike. Shikoni seksionin mbi formulimin matematik për këtë. Metoda e Hamiltonit ndryshon nga mënyra e Lagranzhit sepse në vend që të shprehet nëpërmjet konditave të ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë në një hapësirë kordinative n-dimensionale, ajo jepet nga kondita të ekuacioneve të rendit të parë në një hapësire fazale 2n-dimensionale[1].

Ashtu si në mekaniken e Lagranzhit, ekuacionet e Hamiltonit japin një kendvështrim të ri dhe ekuivalent të mekanikës klasike. Përgjithësisht, keto ekuacione nuk jane shumë të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve praktike. Megjithatë, ato na lejojnë që të shikojmë më thellë në strukturën e përgjithshme të mekanikës klasike dhe lidhjes së saj me mekaniken kuantike siç jepet nga formalizmi Hamiltonian. Për më tepër metoda ka aplikime edhe në degë të tjera te shkencës.

Tabela e përmbajtjeve

1 Një paraqitje e thjeshtuar e përdorimit të metodës
2 Derivimi i ekuacioneve të Hamiltonit
3 Ekuacionet e Hamiltonit si riformulim i mekanikës së Lagranzhit
4 Gjeometria e sistemeve Hamiltoniane
5 Përgjithësimi në mekanikën kuantike nëpërmjet parantezave të Puasonit
6 Formalizimi matematik
7 Manifoldet Rimaniane
8 Manifoldet Nën-Rimaniane
9 Algjebra e Puasonit
10 Thërrmijë e ngarkuar në një fushë elektromagnetike
11 Shikoni gjithashtu
12 Referenca

[redakto] Një paraqitje e thjeshtuar e përdorimit të metodës

Për një sistem të mbyllur shuma e energjisë kinetike me energjinë potenciale jepet nga një set ekuacionesh diferenciale të njohura si 'ekuacionet e Hamiltonit’' për atë sistem. Funksioni Hamiltonian mund të përdoret për të përshkruar sisteme të thjeshta si një top që përplaset poshtë e lartë, një lavjerrës ose lekundjet e një suste në të cilën energjia ndryshon nga kinetike në potenciale në menyrë te vazhdueshme gjatë një intervali kohor. Funksionet Hamiltoniane mund të përdoren në modelimin e energjisë në sisteme komplekse dinamike si për shembull në orbitat planetare apo në mekanikën kuantike. ^[1]

Ekuacionet e Hamiltonit jepen si më poshtë :

$\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$

$\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}$

Në ekuacionet e mëlartme, pika tregon derivatin e zakonshëm të funksionit në lidhje me kohën, p = p(t) (të quajtura momenti i përgjithshem) dhe q = q(t) (të quajtura kordinatat e përgjithshme), të cilat marrin vlera ne një hapesire vektoriale të caktuar, tani $\mathcal{H}$ = $\mathcal{H}(p,q,t)$ është i ashtëquajturi funksion Hamiltonian, ose funksioni skalar Hamiltonian. Në mënyrë më eksplicite kjo jepet si :

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}(p(t), q(t), t)$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}q(t) =~~\frac{\partial}{\partial p}\mathcal{H}(p(t), q(t), t)$

që përcakton fushën e vlerave ku parametri t ("koha") ndryshon.

Për një derivim të detajuar të këtyre ekuacioneve shikoni seksionin mbi mekanikën e Lagranzhit më poshtë.

[redakto] Interpretimi fizik, mnemoteknika

Interpretimi më i thjeshtë i ekuacioneve të Hamiltonit jepet më poshtë, duke i aplikuar ato në një sistem një-dimensional që përbehet nga një thërrmije e vetme me masë m për të cilën është i vërtetë ligji i ruajtjes së energjisë :

Funksioni Hamiltonian $\mathcal{H}$ përfaqeson energjinë e sistemit, e cila është shuma e energjisë kinetike dhe asaj potenciale, tradicionalisht të quajtura T & V, respektivisht. Këtu q është kordinata x dhe momenti p, ose mv. Atëhere

$\mathcal{H} = T + V , \quad T = \frac{p^2}{2m}, \quad V = V(q) = V(x).$

Vini re se T është një funksion vetëm i p, kurse V është një funksion vetëm i x (ose q).

Tani derivati në lidhje me kohën i momentit p është i barabartë me forcën Njutoniane, kështu që ketu ekuacioni i parë i Hamiltonit tregon që forca mbi thërrmijen është e barabarte me shpejtësine e ndryshimit të humbjes së energjisë potenciale në lidhje me ndryshimet në pozicionin x,. (Forca jepet nga minus gradienti i energjisë potenciale.) Derivati-kohor i q këtu ka kuptimin e shpejtësisë : ekuacioni i dytë i Hamiltonit tregon se shpejtesia e thërrmijes është e barabartë me derivatin e energjisë kinetike në lidhje me momentin. (Për derivatin në lidhje me p të p²/2m e barabartë me p/m = mv/m = v.)

[redakto] Përdorimi i ekuacioneve te Hamiltonit

Së pari shkruani funksionin e Lagranzhit L = T – V. Shkruaj T dhe V sikur po shkruaje ekuacionet e Lagranzhit për sistemin ne fjalë.
Llogarit impulsin duke diferencuar funksionin e Lagranzhit në lidhje me shpejtësine.
Shprehni shpejtesite ne varësi te impulsit duke manipuluar relacionin qe morët ne hapin e dyte(2).
Llogarit funksionin Hamiltonian duke përdorur përcaktimin e zakonshëm.

$\mathcal{H} = \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L}$ .

Shndërro shpejtësite me rezultatin qe morët ne hapin e tretë (3). Apliko ekuacionet e Hamiltonit.

[redakto] Shënime

Së pari një sqarim mbi atë që në këtë artikull kemi quajtur moment, momenti ketu percaktohet si p = mv. Ne tekstet shqiptare kjo madhesi zakonisht quhet impuls. Kjo nuk eshtë e saktë sepse impulsi është ndryshimi i momentit. Per hollesi te metejshme shikoni artikujt mbi impulsin dhe momentin.

Ekuacionet e Hamiltonit jane tërheqese ne thjeshtësine e tyre mahnitese me simetrinë paksa te (thyer) Ato jane analizuar nga çdo këndvështrim i mundshem, që nga fizika e thjështë deri te gjeometria simplektike. Shumë dihet mbi zgjedhjet e ketyre ekuacioneve, megjithatë në rastin e përgjithshëm, zgjedhjet ekzakte te ekuacioneve te levizjes nuk mund te jepet në menyrë eksplicite për një sistem me më shumë se dy pika lendores. Rezultati i madhesive te konservuara luan një rol shumë te rendesishem ne kerkimin per zgjedhjet e ekuacioneve ose informacionin mbi natyren e tyre. Ne modele me një numer te pafundëm gradash lirie, kjo ështe shumë më e komplikuar. Një zonë interesante dhe premtuese kerkimi, eshtë studimi i sistemeve te integrueshme, ku një numër i pafundëm i madhesive konservuese mund te ndërtohet.

[redakto] Derivimi i ekuacioneve të Hamiltonit

Ne mund te derivojmë ekuacionet e Hamiltonit duke analizuar se si funksioni Lagranzhian ndryshon kur ne ndryshojmë kohen dhe pozicionin e thërmijave.

$\mathrm{d} \mathcal{L} = \sum_i \left ( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} \mathrm{d} {\dot q_i} \right ) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \mathrm{d}t$

Tani momenti(impulsi) i përgjithshem u percaktua si $p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}$ keshtu qe ekuacionet e Lagranzhit na tregojne se $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = F_i$ ku $F i$ është forca e pergjithshme. Kjo mund te transformohet ne menyre qe të japi $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = {\dot p}_i - F_i$ ku ky rezultat mund te zëvendesohet ne variacionin e funksionit Langrazhian $\mathrm{d}\mathcal{L} = \sum_i \left[ \left( {\dot p}_i - F_i \right) \mathrm{d} q_i + p_i \mathrm{d} {\dot q_i} \right] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t$

Kjo mund te rishkruhet si

$\mathrm{d} \mathcal{L} = \sum_i \left [ \left ( {\dot p}_i - F_i \right ) \mathrm{d}q_i + \mathrm{d}\left ( p_i {\dot q_i} \right ) - {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t$

dhe pas një manipulimi te kesaj shprehjeje ne marrim $\mathrm{d} \left ( \sum_i p_i {\dot q_i} - \mathcal{L} \right ) = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d}p_i \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t$

Termi në anen e majte është funksioni Hamiltonian qe ne percaktuam me pare, keshtu qe tani gjejme :

$\mathrm{d} \mathcal{H} = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left [ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}\mathrm{d}t$

Ku barazimi i dyte është i vertetë per shkak te vetë percaktimit te derivateve pjesore. Duke bashkuar termat nga te dyja anet, ekuacioni i mesiperm jep ekuacionet e Hamiltonit :

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} = F_j - \dot{p}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t}.$

[redakto] Ekuacionet e Hamiltonit si riformulim i mekanikës së Lagranzhit

Duke filluar me mekanikën e Lagranzhit, ekuacionet e lëvizjes jane te bazuara në kordinata te përgjithshme

$\left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\}$

Duke shkruar shpejtësite e përgjithshme

$\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\}$

Funksioni Lagranzhian mund te jepet si:

$\mathcal{L}(q_j, \dot{q}_j, t)$

Ku sabskriptet e variablave kuptohet qe paraqesin N variabla te asaj madhësie. Mekanika Hamiltoniane kërkon qe të zëvendesoje variablat e shpejtesisie së pergjithshme me variablat e impulsit te përgjithshem, qe njihen gjithashtu si momenti i konjuguar. Duke vepruar në këtë mënyrë, është e mundur që të trajtosh sisteme te caktuara, si për shembull aspekte te ndryshme të mekanikës kuantike, që ndryshe do të ishin akoma më të veshtira.

Për çdo variable te shpejtësise se pergjithshme, ekziston një variabël e momentit te konjuguar, që percaktohet si :

$p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}$

Ne kordinata Karteziane, momenti i përgjithshem është momenti linear. Në kordinata rrethore polare, momenti i përgjithshem që i korrespondon shpejtësise kendore është momenti kendor. Per një zgjedhje arbitrare kordinatash te përgjitshme, zakonisht nuk është e mundur qe ti japesh një interpretim intuitiv momentit të konjuguar.

Një gjë që nuk ështe shumë e qarte në këte formulim qe varet nga sistemi kordinativ është se kordinata të ndryshme të përgjithsme nuk jane gjë tjetër veçse kordinatizime të ndryshme të të njëjtit manifold simplektik.

Funksioni Hamiltonian është transformimi Lazhandrian i funksionit Lagranzhian :

$\mathcal{H}\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - \mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t)$

Nëqoftese ekuacionet e transformimit që përcaktojne kordinatat e përgjithshme janë te pavarura nga t, si dhe nëqoftëse funksioni Lagranzhian eshtë një shumë e produkteve të funksioneve (në kordinata te pergjithsme) qe jane homogjene ne rend zero, rend të parë ose te dytë, atehere mund të tregohet se H është e barabarte me energjine e pergjithshme E = T + V.

Çdo anë e relacionit $\mathcal{H}$ prodhon një diferencial :

$\begin{align} \mathrm{d}\mathcal{H} &= \sum_i \left[ \left({\partial \mathcal{H} \over \partial q_i}\right) \mathrm{d}q_i + \left({\partial \mathcal{H} \over \partial p_i}\right) \mathrm{d}p_i \right] + \left({\partial \mathcal{H} \over \partial t}\right) \mathrm{d}t\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &= \sum_i \left[ \dot{q}_i\, \mathrm{d}p_i + p_i\, \mathrm{d}\dot{q}_i - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial q_i}\right) \mathrm{d}q_i - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_i}\right) \mathrm{d}\dot{q}_i \right] - \left({\partial \mathcal{L} \over \partial t}\right) \mathrm{d}t \end{align}$

Duke zëvendesuar relacionin per momentin e konjuguar në këtë ekuacion dhe duke analizuar çdo koefiçent, ne arrimë në ekuacionet e levizjes se mekanikes Hamiltoniane, te njohura ndryshe si ekuacionet kanonike te Hamiltonit :

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t}$

Ekuacionet e Hamiltonit janë ekuacione diferenciale të rendit te pare, pra ato janë shumë më të lehta per tu zgjidhur ne krahasim me ekuacionet e Lagranzhit të cilat janë të rendit të dytë. Megjithatë hapat që duhen marrë per te arritur te keto ekuacione jane shumë më të veshtira ne krahasim me ato te mekanikes se Lagranzhit, duke filluar me kordinatat e pergjithsme te funksionit Langrazhian, ne fillim duhet te llogaritim funksionin Hamiltonian, pastaj të shprehim çdo shpejtesi te pergjithshme me ane te momentit të konjuguar, si dhe te zevendesojme shpejtësite e pergjithshme në funksionin Hamiltonian me momentet e konjuguara. Pra me një fjale, siç shikohet, nuk ka ndonjë ndyshim te madh ne sasine e punes qe duhet bërë për të zgjidhur një problem në mekaniken e Hamiltonit ne krahasim me mekanikën e Lagranzhit. Në fund të fundit, ajo jep të njëjten zgjidhje si në mekaniken e Lagranzhit ose edhe më thjesht si nga ligjet e Njutonit. Arsyeja thelbesore per menyren tërheqëse të metodës së Hamiltonit është fakti se ajo tregon bazat e një structure tepër te thellë të mekanikës klasike.

[redakto] Gjeometria e sistemeve Hamiltoniane

Një sistem Hamiltonian mund te shikohet si një tufë fibrash E mbi kohen R, me një fiber E_t, ku t ∈ R është pozicioni në hapësire. Funksioni Lagranzhian është një funksion mbi një tufe xhetesh J mbi E ; duke marre transformimin Lazhandrian ne lidhje me fibrat e funksinonit Lagranzhian, kjo jep një funksion ne një tufe duale, fibra e së cilës t është hapesira kotangjente T^*E_t, e cila është e pajisur me një formë simplektike natyrale, ky funksion është funksioni Hamiltonian.

[redakto] Përgjithësimi në mekanikën kuantike nëpërmjet parantezave të Puasonit

Ekuacioni i më lartëm i Hamiltonit është i vlefshëm në mekanikën klasike, por jo për mekanikën kuantike, sepse ekuacionet diferenciale që diskutuam më lart marrin parasysh që ne kemi mundësinë të kemi njohuri të plotë mbi pozicionin dhe momentin (impulsin) e thërmijës për çdo moment në kohë. Megjithatë, ekuacionet mund të përgjithësohen edhe më tej, si për shembull në mekanikën kuantike ose edhe në mekanikën klasike duke shfrytëzuar transformimet nëpërmjet algjebrës së Puasonit mbi p dhe q, deri te algjebra e parantezave te Mojalit. Në këtë rast, forma më e pergjithshme e ekuacioneve të Hamiltonit është

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f, \mathcal{H}\} + \frac{\partial f}{\partial t}$

Ku f është një funksion i p dhe q, dhe H është funksioni Hamiltonian. Për të gjetur rregullat për të llogaritur një paranteze Puasoni pa përdorur ekuacione diferenciale, referoju artikullit mbi algjebrën e Liut ; një parantezë Puasoni është emri i një paranteze të Liut në algjebrën e Puasonit.

Në fakt, kjo mënyrë algjebrike jo vetëm që na lejon që të zgjerojmë nocionin e distribucionit të probabilitetit në hapësirën fazale në distribucionin e kuazi-probabilitetit të Wignerit, por gjithashtu është një metodë më e fuqishme veçanrisht në trajtimin klasik, ku ndihmon për analizimin e madhësive të konservuara në një sistem.

[redakto] Formalizimi matematik

Për cdo funksinon H qe ka vlere reale dhe është i lemuar ne një manifold simplektik ne mund te percaktojme një sistem Hamiltonian. Funksioni H njihet si Hamiltoniani ose funksioni i energjise. Manifoldi simplektik ne kete rast quhet hapesire fazale. Funksioni Hamiltonian indukton një fushe vektoriale speciale ne manifoldin simpletik, e cila njihet si fusha vektoriale simplektike.

Fusha vektoriale simplektike, që gjithashtu njihet si fusha vektoriale Hamiltoniane, shakton një rrjedhe Hamiltoniane ne manifold. Kurbat integrale të fushes vektoriale janë një familje me një parameter e transformimeve ne manifold; parametri i kurbave zakonisht quhet kohe. Evolucioni kohor ne kete rast jepet nga simplektomorfizmat. Nga Teorema e Ljuvilit, çdo simplektomorfizem ruan formen e volumit ne hapesiren fazale. Grumbullimi i simplektomorfizmave te shkaktuara nga rrjedha e Hamiltonit zakonisht quhet mekanika e Hamiltonit e sistemit Hamiltonian.

Fusha vektoriale Hamiltoniane shkakton gjithashtu një veprim special te quajtur, parantezat e Puasonit. Parantezat e Puasonit veprojne mbi funksione ne një manifold simplektik, duke i dhene hapesires se funksioneve një structure qe quhet algjebra e Liut.

Le te kemi një funksionte caktuar f

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f=\frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,\mathcal{H}\,\}.$

Neqoftese kemi një distribucion probabiliteti, ρ,atehere (neqoftese shpejtesia ne hapesiren fazale ( ${\dot p_i}, {\dot q _i}$ ) ka divergjencë zero, dhe probabiliteti ruhet ) ne kete rast mund te tregohet se derivati konvektiv është zero, pra

$\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\,\rho, \mathcal{H}\,\}.$

Kjo quhet teorema e Ljuvilit. Cdo funksion i lemuar G mbi një manifold simplektik prodhon një familje simplektomorfizmash me një parameter dhe neqoftese { G, H } = 0, atehere G është një madhesi qe ruhet dhe simplektomorfizmat në kete rast jane transformime simetrie.

Një Hamiltonian mund te kete shumë madhesi te konservuara G_i. Neqoftese manifold simplektik ka një dimension 2n si dhe ekzistojne n madhesi funksionale te pavarura G_i te cilat jane te barabarta me inversin e tyre (pra, { G_i, G_j } = 0), atehere funksioni Hamiltonian është funksion Ljuvilan i integrueshem. Teorema e Ljuvil–Arnoldit thote se lokalisht çdo funksion Hamiltonian qe është një funksion Ljuvilan i integrueshem, mund te transformohet nepermjet një simplektomorfizme ne një funksion te ri Hamiltonian ku madhesite e konservuara G_i veprojne si kordinata; Keto kordinata te reja quhen kordinatat e kendeve te veprimit. Funksioni i transformuar Hamiltonian varet vetem te G_i, keshtu qe ekuacionet e levizjes kanë një forme me te thjështë $\dot{G}_i = 0, \qquad \dot{\varphi}_i = F(G),$ Për disa funksione F (Arnol'd et al., 1988). Ekziston një fushe e tere qe merret me studimin e devijimeve te vogla nga sistemet e integrueshme . Themelore ne kete dege është Teorem KAM.

Integrimi i fushave vektoriale Hamiltoniane është një pyetje e hapur. Pergjithesisht, çdo sistem Hamiltonian është kaotik; konceptet e matjes, kompletesise, integimit dhe stabilitetit jane te percaktuara ne një menyre shumë të dobët. Në keto kohra, studimi i sistemeve dinamike është më shumë kualitativ sesa kuantitativ, prandaj ajo qe mbetet per tu bërë është vendosja e ketyre koncepteve mbi baza me forta matematike që lejojnë per modelime dhe llogaritje.

[redakto] Manifoldet Rimaniane

(Ky seksion është i lidhur nga Gjeodeziku)

Një rast special ndodh kur kemi funksione Hamiltoniane që janë forma kuadratike, pra, Hamiltoniane që mund të shkruhen si

$\mathcal{H}(q,p)= \frac{1}{2} \langle p,p\rangle_q$

Ku $\langle\cdot,\cdot\rangle_q$ është një kometrikë në një fibër $T_q^*Q$ , e cila ndodhet në hapësirën kotangente në piken q në hapësirën e konfigurimit. Ky funksion Hamiltonian jepet i teri nga termi kinetik.

Nëqoftese marrim parasysh një manifold Rimanian ose një manifold pseudo-Rimanian, në mënyrë që të ketë një metrikë të invertueshme, jo të degjeneruar, atehere kometrika jepet thjesht si inversi i metrikës. Zgjidhjet e ekuacioneve të Hamilton–Jakobit për këtë funksion Hamiltonian janë të njëjtat si gjeodezikët në manifold. Në mënyrë të veçantë, rrjedha e funksionit Hamiltonian në këtë rast është e njëjta gjë me rrjedhën e gjeodezikut. Ekzistenca e zgjidhjeve të tilla, si dhe të qënit komplet i bashkësisë së zgjidhjeve, janë tema që diskutohen me detaje në artikullin mbi gjeodezikët. Shikoni gjithashtu edhe artikullin mbi Gjeodezikët si rrjedhë Hamiltoniane.

[redakto] Manifoldet Nën-Rimaniane

Kur kometrika është e degjeneruar, ajo nuk është e invertueshme. Në këtë rast, nuk kemi një manifold Rimanian, sepse nuk kemi një metrikë. Megjithatë, funksioni Hamiltonian ekziston akoma. Në rastin kur kometrika është e degjeneruar ne çdo pikë q të manifoldit në hapësirën e konfigurimit Q, pra rendi i kometrikës është më pak se dimension i manifoldit Q, në këtë rast kemi një manifold nën-Rimanian.

Funksioni Hamiltonian në këtë rast njihet si Hamiltoniani nën-Rimanian . Çdo Hamiltonian përcakton në një mënyre unike kometrikën,dhe anasjelltas. Kjo implikon se çdo manifold nën-Rimanian përcaktohet në një menyrë unike nga një Hamiltonian nën-Rimanian, e anasjellta është gjithashtu e vërtetë: çdo manifold nën-Rimannian ka një funksion Hamiltonian unik nën-Rimanian. Ekzistenca e gjeodezikëve nën-Rimaniane jepet nga teorema e Çow-Rashevskit.

Grupi real dhe i vazhdueshëm i Hajzenbergut jep një shembull të thjeshtë te një manifoldi nën-Rimanian. Per një grup Hajzenbergu,funksioni Hamiltonian jepet nga

$\mathcal{H}(x,y,z,p_x,p_y,p_z)=\frac{1}{2}\left( p_x^2 + p_y^2 \right)$ .

$p z$ nuk përfshihet në funksionin Hamiltonian.

[redakto] Algjebra e Puasonit

Sistemet Hamiltoniane mund te përgjithësohen në mënyra të ndryshme. Në vend që të shikojmë vetëm për algjebrat e funksioneve te diferencueshëm mbi një manifold simplektik, mekanika e Hamiltonit mund të formulohet me anë të algjebrës së Puasonit që përgjithësisht është komutative unitare dhe reale. Një gjëndje është një funksion linear i vazhdueshëm në algjebrën e Puasonit (i pajisur me një topologji të caktuar) e tillë që për një element A të algjebrës, A² lidhet me një numër real jonegativ.

Një përgjithesim i mëtejshem jepet nga dinamika e Nambu.

[redakto] Thërrmijë e ngarkuar në një fushë elektromagnetike

Një ilustrim shumë i mirë i mekanikës së Hamiltonit jepet nga funksioni Hamiltonian i një thërrmijë të ngarkuar në një fushë elektromagnetike. Në kordinata karteziane (pra $q i = x i$ ), funksioni Lagranzhian i një grimce jo-relativiste në një fushë elektromagnetike është (në Njësi SI):

$\mathcal{L} = \sum_i \tfrac{1}{2} m \dot{x}_i^2 + \sum_i e \dot{x}_i A_i - e \phi,$

Ku e është ngarkesa elektrike e thërrmijës (mund të mos jetë e njëjtë me ngarkesën e elektronit), $φ$ është potenciali skalar elektrik,dhe $A i$ janë komponentet e potencialit vektorial magnetik (këto mund te modifikohen nëpërmjet një teknike që njihet si transformimi i madhësive).

Momenti i përgjithshëm mund të derivohet nga:

$p_j = \frac{\partial L}{ \partial \dot{x}_j} = m \dot{x}_j + e A_j.$

Duke ri-rregulluar relacionin , mund të shprehim shpejtësite nëpërmjet momenteve si më poshtë:

$\dot{x}_j = \frac{ p_j - e A_j }{m}.$

Nëqoftëse zëvendesojmë përcaktimin e momentit (impulsit) , dhe shprehim shpejtësite nëpërmjet momentit, në percaktimin e funksionit Hamiltonian të dhënë më lart , pas thjeshtësimeve dhe manipulimeve të thjeshta kemi:

$\mathcal{H} = \sum_i \dot{x}_i p_i - \mathcal{L} = \sum_i \frac{ (p_i - e A_i)^2 } {2 m } + e \phi.$

Ky ekuacion përdoret shumë në mekanikën kuantike.

[redakto] Shikoni gjithashtu

[redakto] Referenca

^ The Hamiltonian MIT OpenCourseWare website 18.013A Chapter 16.3 Accessed February 2007

V.I. Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989), [ISBN 0-387-96890-3]
Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
V.I. Arnol'd, V.V. Kozlov and A.I. Neĩshtadt, "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics." In: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III (vol. 3), Springer-Verlag, 1988.
A. M. Vinogradov , B. A. Kupershmidt "The structure of Hamiltonian mechanics" (djvu), London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 60 (1981), Cambridge Univ. Press, London
Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)

[0] The Hamiltonian MIT OpenCourseWare website 18.013A Chapter 16.3 Accessed February 2007

[1]