Momenti i Inercisë

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Momenti i inercise, i njohur gjithashtu si mase moment i inercisë ose masa këndore, (njësite në SI kg m2), është koncepti analog i masës për trupa në rrotullim. Ndyshe ai mund të kuptohet si inercia e një trupi të ngurtë në rrotullim në lidhje me pikën e rrotullimit. Moment i inercisë luan të njëjtin rol në lëvizjen rrotulluese që masa luan në dinamikën e thjeshte, kjo madhësi përcakton lidhjet mes momentit këndor dhe shpejtësisë këndore, krahut të forcës dhe nxitimit këndor, si dhe shume madhësive të tjera. Edhe pse një trajtim i thjeshtë skalar i momentit të inercisë mjafton për një pjesë të mirë rastesh, një trajtim më i avancuar i bazuar në analizën tensoriale duhet të bëhet për sisteme më të komplikuar si për trupat rrotullues apo për lëvizjen xhiroskopike.

Simboli I ose ndonjëherë J përdoren zakonisht për të treguar momentin e inercisë.

Momenti i inercisë u paraqit për herë të parë nga Ojleri në librin e tij Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum në 1730. Në këtë libër, ai diskuton me detaje të shumta momentin e inercisë dhe koncepte të tjera të si, akset principale të inercisë, të cilat kanë të bëjnë me momentin e inercisë.

Nje shikim i përgjithshëm[redakto | redakto tekstin burimor]

Momenti skalar i inercisë[redakto | redakto tekstin burimor]

Përcaktimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Nje përcaktim i thjeshte i momentit të inercisë së çdo objekti, qoftë ai i një pikë lëndore apo një strukturë 3-dimensionale, jepet nga :

I = \int r^2 \,dm

ku

m është masa,
dhe r është distance (pingule) e pikës lëndore nga boshti i rrotullimit.

Një analizim i detajuar[redakto | redakto tekstin burimor]

Momenti (skalar) i inercisë i një pikë lëndore që rrotullohet rreth një aksi jepet nga

I \triangleq  m r^2\,\!.

Momenti i inercise eshte aditiv. Pra, per nje trup te ngurte qe konsiston nga N pika lendore m_{i} me distanca r_{i} nga boshti i rrotullimit, moment total i inercise eshte i barabarte me shumen e momenteve te inercise se pikave lendore:

I \triangleq  \sum_{i=1}^{N} {m_{i} r_{i}^2}\,\!

Per nje trup te ngurte qe pershkruhet nga nje funksion densiteti te vazhdueshem te mases ρ(r), moment i inercise rreth nje aksi te njohur mund te llogaritet duke integruar katrorin e distances (te peshuar nga densiteti i mases) nga nje pike e trupit deri tek bosti i rrotullimit:

I \triangleq   \iiint_V r^2 \,\rho(\boldsymbol{r})\,dV \!

ku

V eshte volume i zene nga objekti.
ρ eshte funksioni i densitetit hapesinore te objektit dhe
\boldsymbol{r} \equiv (r,\theta,\phi),(x,y,z), ose (r,\theta,z) jane kordinatat e pikes brenda trupit.
Diagram per llogaritjen e momentit te inercise per nje disk. Ketu k eshte 1/2 dhe r eshte rrezja qe perdoret per percaktimin e momentit.

Vetem duke u bazuar ne analizen dimensionale , shikojme se moment i inercise in je trupi qe nuk mund te modelohet si pike lendore duhet te marre formen:

 I = k\cdot M\cdot {R}^2 \,\!

ku

M është masa
R është rrezja e objektit nga qendra e mases (ne disa raste , gjatesia e objektit perdoret.)
k është nje konstate pa dimensione e quajtur konstantja e inercise e cila varjon per objektin qe merret ne konsiderate.

Konstantet inerciale përdoren për të marrë parasysh diferencat në vendosjen e masës nga qëndra e rrotullimit. Disa shembuj janë:

  • k = 1, unazë e hollë ose cilinder me mure shumë të holla rreth qëndrës së tij,
  • k = 2/5, sfere e ngurte rreth qendres
  • k = 1/2, cylinder i ngurtë ose disk rreth qëndrës.

Per shembuj te tjere ,shikoni Lista e momenteve të inercisë.

Teorema e aksit parallel[redakto | redakto tekstin burimor]

Red right arrow.svg
 Artikulli kryesor: Teorema e aksit parallel .

Trupat e perbere[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacione qe perfshine momentin e inercise[redakto | redakto tekstin burimor]

Tensori i momentit te inercise[redakto | redakto tekstin burimor]

Percaktimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Per nje object te ngurte te perbere nga N pika lendore m_{k}, tensori i momentit te inercise jepet nga


\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{bmatrix}
.

Komponentet e saj percaktohen si

I_{ij} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} m_{k} (r_k^{2}\delta_{ij} - r_{ki}r_{kj})\,\!

ku

i, j jane te barabarta me 1, 2, or 3 per x, y, and z, respektivisht,
rk eshte distanca e mases k rreth pikes nga e cila llogaritet tensori, dhe
\delta_{ij} eshte delta e Kronekerit.

Elementet e diagonals mund te shkruhen ne menyre me te permbledhur si

I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} m_{k} (y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!
I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!
I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!

Kurse elementet jashte diagonales, qe njihen si produktet e inercise, jane

I_{xy} = I_{yx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} y_{k},\,\!
I_{xz} = I_{zx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} z_{k},\,\! and
I_{yz} = I_{zy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} y_{k} z_{k},\,\!

Ketu I_{xx} jep momentin e inercise rreth bushtit-x kur objektet rrotullohen rreth aksit-x, I_{xy} tregon momentin e inercise rreth aksit-y kur objektet rrotullohen rreth aksit-x, e keshtu me rradhe.

Keto madhesi mund te pergjithesohen tek nje object me nje densitet constant ne nje menyre te ngjashme me momentin skalar te inercise. Tani marrim

\mathbf{I}=\iiint_V  \rho(x,y,z)\left( r^2 \mathbf{E}_{3} - \mathbf{r}\otimes \mathbf{r}\right)\, dx\,dy\,dz,

ku \mathbf{r}\otimes \mathbf{r} eshte produkti i jashtem, E3 eshte 3 &here; 3 matrica njesi, dhe V eshte nje rajon i hapesires qe e permban komplet objektin.

Derivimi i komponenteve te tensorit[redakto | redakto tekstin burimor]

Distanca r e nje therrmije tek \mathbf{x} nga boshti i rrotullimit qe kalon permes origjines ne drejtimin e \mathbf{\hat{n}} eshte  |\mathbf{x}-(\mathbf{x} \cdot \mathbf{\hat{n}}) \mathbf{\hat{n}}|. Duke perdorur formulen I=mr^2 (dhe pak algjeber te thjeshte vektoriale) del se momenti i inercise e kesaj therrmije (rreth boshtit te rrotullimit qe kalon nga origjina ne drejtimin \mathbf{\hat{n}} ) eshte  
I=m(|\mathbf{x}|^2 (\mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbf{\hat{n}})-(\mathbf{x} \cdot \mathbf{\hat{n}})^2).
Kjo eshte nje formë kuadratike\mathbf{\hat{n}} dhe, pas disa manipulimesh algjebrike, kjo con tek nje formule tensoriale per momentin e inercise


{I} = m [n_1,n_2,n_3]\begin{bmatrix}
 y^2+z^2 & -xy & -xz \\
-y x & x^2+z^2 & -yz \\
-zx & -zy & x^2+y^2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 n_1 \\
 n_2\\
n_3
\end{bmatrix}
.

Kjo eshte formula ekzakte e dhene me poshte per momentin e inercise ne rastin e nje therrmije te vetme. Per shume therrmija duhet te kujtojme qe momenti i inercise eshte aditiv ne menyre qe te veme re qe kjo formule eshte korrekte.

Reduktimi ne nje madhesi skalare[redakto | redakto tekstin burimor]

Momentet principale te inercise[redakto | redakto tekstin burimor]

Teorema e aksit parallel[redakto | redakto tekstin burimor]

Madhesi te tjera mekanike[redakto | redakto tekstin burimor]

Shikoni gjithashtu[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Marion JB and Thornton ST. (1995) Classical Dynamics of Systems and Particles, 4th. ed., Thomson. ISBN 0-03-097302-3

Lidhje te jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]