Paralelogrami

Paralelogrami

Në gjeometrinë euklidiane, paralelogrami është një katërkënësh që i ka brinjët dy e nga dy paralele. Etimologjia (nga greqishja παραλληλ-όγραμμον) pasqyron përkufizimin.

Vetitë

• Brinjë përballë janë paralele (nga përkufizimi).
• Brinjët përballë janë kongruente.
• Diagonalja e paralelogramit e ndan atë në dy trekëndësha kongruentë.
• Të dyja diagonalet e ndajnë paralelogramin në dy trekëndësha të njëvlershëm (me sqipërfaqe të barabarta).
• Diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën (vërtetimi është më poshtë).
• Pika e prerjes së diagonaleve është qendër simetrie për secilën diagonale.
• Këndet e kundërt janë kongruentë.
• Këndet e njëpasnjëshme janë shtues (e kanë masën 180°)

Llojet e paralelogramit

• rombi
• drejtkëndëshi
• katrori
• paralelogram i çfarëdoshëm

Formulat e sipërfaqes

Sipërfaqja e paralelogramit është pjesa blu.

• Sipërfaqja e paralelogramit në të djathtë (sipërfaqja blu) është sa sipërfaqja e drejtkëndëshit duke i hequr sipërfaqet e dy trekëndëshave.

Sipërfaqja e drejtkëndëshit është

$S_\text{drejt} = (B+A) \times H\,$

ndërsa sipërfaqja e njërit trekëndësh është

$S_\text{tre} = \frac{1}{2} A \times H. \,$

Pra, sipërfaqja e paralelogramit është

$\begin{align} S &= S_\text{drejt} - 2 \times S_\text{tre} \\ &= \left( (B+A) \times H \right) - \left( A \times H \right) \\ &= B \times H \\ \end{align}$

• Një formulë tjetër sipërfaqeje, me brinjë B dhe C dhe kënd $\theta$, është

$S = B \cdot C \cdot \sin \theta.\,$

Vërteto që diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën

Për të vërtetuar që diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën, do të përdorim kongruencën e trekëndëshave

$\angle ABE \cong \angle CDE$ (si kënde ndërrues të brendshëm)

$\angle BAE \cong \angle DCE$ (si kënde ndërrues të brendshëm).

Gjithashtu brinja AB është e barabartë me brinjën DC.

Pra, trekëndëshat ABE dhe CDE janë kongruentë (rasti i dytë i kongruencës; trekëndëshat kanë përkatësisht dy kënde dhe brinjën ndërmjet tyre kongruentë).

Pra,

$AE = CE$

$BE = DE.$