Produkti diadik

Në matematikë, në vecanti në algjebrën multilineare, produkti diadik

$\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}$

i dy vektorëve, $\mathbf{u}$ dhe $\mathbf{v}$, ku seicili ka të njejtin dimension, është produkti tensorial i vektorëve i cili rezulton në një tensor të rendit të dytë dhe të rendit të parë.

Komponentet

Në lidhje me një baze të zgjedhur $\{\mathbf{e}_i\}$, komponentet $P_{ij}$ e produktit diadik $\mathbb{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ mund të përcaktohen si

$\displaystyle P_{ij} = u_i v_j$ ,

ku

$\mathbf{u} = \sum_i u_i \mathbf{e}_i$ ,

$\mathbf{v} = \sum_j v_j \mathbf{e}_j$ ,

dhe

$\mathbb{P} = \sum_{i,j} P_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j$ .

Paraqitja përmes matricave

Produkti diadik mund të paraqitet thjesht si një matrice katrorë e marrë nga shumezimi $\mathbf{u}$ si një vektor kolonë nga $\mathbf{v}$ si një vektor rrjesht. Për shembull,

$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} \rightarrow \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \end{bmatrix} ,$

ku shigjeta tregon se ky është vetëm një paraitje e caktuar e produktit diadik, që i referohet veçanrisht një baze të caktuar. Në këtë paraqitje, produkti diadik është një rast special i prodhimit Kroneker.

Identitete

Identitete e meposhtme janë një konsekence direkte e përcaktimit të prodhimit diadik :

$\begin{align} (\alpha \mathbf{u}) \otimes \mathbf{v} &= \mathbf{u} \otimes (\alpha \mathbf{v}) = \alpha (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}), \\ \mathbf{u} \otimes (\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{w}, \\ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \otimes \mathbf{w} &= \mathbf{u} \otimes \mathbf{w} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}, \\ (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} &= \mathbf{u}\; (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}), \\ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}) &= (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})\; \mathbf{w}. \end{align}$

Shikoni gjithashtu

• Tensori diadik
• Prodhimi tensorial
• Prodhimi Kroneker
• Prodhimi i jashtem

Referenca

A.J.M. Spencer (1992). Continuum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0486435946.  .