Produkti diadik

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

matematikë, në vecanti në algjebrën multilineare, produkti diadik

\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}

i dy vektorëve, \mathbf{u} dhe \mathbf{v}, ku seicili ka të njejtin dimension, është produkti tensorial i vektorëve i cili rezulton në një tensorrendit të dytë dhe të rendit të parë.

Komponentet[redakto | redakto tekstin burimor]

Në lidhje me një baze të zgjedhur \{\mathbf{e}_i\}, komponentet P_{ij} e produktit diadik \mathbb{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} mund të përcaktohen si

\displaystyle P_{ij} = u_i v_j ,

ku

\mathbf{u} = \sum_i u_i \mathbf{e}_i ,
\mathbf{v} = \sum_j v_j \mathbf{e}_j ,

dhe

\mathbb{P} = \sum_{i,j} P_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j .

Paraqitja përmes matricave[redakto | redakto tekstin burimor]

Produkti diadik mund të paraqitet thjesht si një matrice katrorë e marrë nga shumezimi \mathbf{u} si një vektor kolonë nga \mathbf{v} si një vektor rrjesht. Për shembull,


 \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}
 \rightarrow
 \begin{bmatrix}
 u_1 \\
 u_2 \\
 u_3 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
 u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\
 u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\
 u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3
 \end{bmatrix} ,

ku shigjeta tregon se ky është vetëm një paraitje e caktuar e produktit diadik, që i referohet veçanrisht një baze të caktuar. Në këtë paraqitje, produkti diadik është një rast special i prodhimit Kroneker.

Identitete[redakto | redakto tekstin burimor]

Identitete e meposhtme janë një konsekence direkte e përcaktimit të prodhimit diadik [1]:


\begin{align}
  (\alpha \mathbf{u}) \otimes \mathbf{v} &= \mathbf{u} \otimes (\alpha \mathbf{v}) = \alpha (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}), \\
  \mathbf{u} \otimes (\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{w}, \\
  (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \otimes \mathbf{w} &= \mathbf{u} \otimes \mathbf{w} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}, \\
  (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} &= \mathbf{u}\; (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}), \\ 
  \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}) &= (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})\; \mathbf{w}. 
\end{align}

Shikoni gjithashtu[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

A.J.M. Spencer (1992). Continuum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0486435946.  .

Shenime[redakto | redakto tekstin burimor]

  1. ^ Shikoni Spencer (1992), faqja 19.