Seritë formale potenciale

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Seritë formale potenciale mundësojnë aplikimin e koncepteve nga Analiza matematike pra të serive potenciale të cilat nuk e shqyrtojnë konvergjencën. S.F.P. kanë zbatim të madh në Kombinatorikë, ata mundësojnë paraqitjen kompakte të një vargu, dhe për paraqitjen e formulave eksplicite për vargjet e përkufizuara me formula rekurente si p.sh Vargu i Fibonaccit kjo metodë quhet edhe metodë e Funksioneve gjeneratrisa.

Përkufizimi joformal[redakto | redakto tekstin burimor]

Një S.F.P. mund të kuptohet si polinom me pafund shumë terma ose si një Seri e Taylorit, për të cilën nuk na intereson çështja e konvergjencës. P.sh e shqyrtojmë serinë si seri formale

A = 1 - 3x + 5x^2 - 7x^3 + 9x^4 - 11x^5 + \cdots.

i vërejmë vetëm koeficientët e saj [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. pra seria nënkuptohet me vargun koeficientëve të saj.

Aritmetika e S.F.P. është si ajo e polinomeve. P.sh. nëse

B = 2x + 4x^3 + 6x^5 + \cdots,

atëherë për mbledhjen e serive kemi:

A + B = 1 - x + 5x^2 - 3x^3 + 9x^4 - 5x^5 + \cdots.

ndërsa për shumëzimin kemi:

AB = 2x - 6x^2 + 14x^3 - 26x^4 + 44x^5 + \cdots.

Nëse e kemi përkufizuar shumëzimin atëherë mund ta përcaktojmë edhe elementin inverz të serisë. Inverzi i serisë A është seria C e tillë që AC = 1, supozohet se një seri e tillë ekziston. Pra nëse A ka inverzin e saj në lidhje me shumëzimin ai është i vetëm dhe shënohet me A −1. Pjestimi i serive formale potenciale shënojmë me B / A prodhimin B A −1, duke supozuar se ekziston inverzi i A . Për shembull mund të shfrytëzojmë përkufizimin e shumëzimit të dhënë më sipër për të vërtetuar se vlen formula

\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x ^4 - x^5 + \cdots.

Një operacion tjetër i rëndësishëm me seri formale është përcaktimi i koeficientëve të saj është operacioni i gjetjes së koeficientit pranë xn, i cili shënohet me [xnA, ashtuqë [x2A = 5 dhe [x5A = −11. Një shembull tjetër është

 [x^3] B = 4, \quad [x^2] ( x + 3 x^2 y^3 + 10 y^6) = 3 y^3,
\text{ dhe } [x^2 y^3] ( x + 3 x^2 y^3 + 10 y^6) = 3

dhe

 [x^n] \frac{1}{1+x} = (-1)^n  
\text{ dhe }
[x^n] \frac{x}{(1-x)^2} = n.