Sfera e Blokut

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Sfera e Blokut

mekanikën kuantike, sfera e Blokut është një paraqitje gjeometrike e hapësirës së gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik me dy nivele e emëruar sipas fizikantit Feliks Blok. Gjithashtu, ajo mund të shikohet si gjendja e pastër hapësinore e 1 kubiti të një regjistri kuantik. Sfera e Blokut aktualisht është një sferë gjeometrike dhe korrespondenca mes elementëve të sferës së Blokut dhe gjendjeve të pastra mund të jepet në menyre eksplicite. Në formën e përgjithshme, sfera e Blokut gjithashtu i referohet hapësirës analogë një sistemi kuantik me n-nivele.

Mekanika kuantike matematikisht është e formulua në hapësirëne e Hilbertit ose në Hapësire projektive të Hilbertit. Hapësira e gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik jepet nga rreze në hapësirën e Hilbertit (të cilat janë "pikat" e hapësirës projektive të Hilbertit). Hapësira e rrezeve në cdo hapësirë vektoriale është një hapësirë projektive, dhe në vecanti, hapësira e rrezeve në hapësirën Hilbertiane dy dimensionale është një vije komplekse projektive, e cila është isomorfike më një sferë. Cdo cift pikash antipodike në sferën e Blokut i korrespondon në menyre mutuale një cifti gjëndjesh ekskulzive të një therrmije, pra, me spin lart ose me spin poshtë për eksperimentin e Stern-Gerlach të orientuar drejt një boshti të caktuar në hapësirën fizike.

Metrika natyrale e sferës se Blokut është metrika Fubini-Study.

Kubiti[redakto | redakto tekstin burimor]

Në menyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje \psi mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e vektoreve ket  |0 \rangle dhe |1 \rangle  ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e  |0 \rangle të jenë reale dhe jo-negative. Pra \psi ka një paraqitje si

 |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle +  e^{i \phi}  \sin \theta  \,|1 \rangle  \quad = \quad \cos \theta \, |0 \rangle \, + \, ( \cos \phi + i \sin \phi ) \, \sin \theta  \,|1 \rangle

me

 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \quad  0 \leq \phi < 2 \pi.

Përvec rastit ku \psi është një nga vektoret ket  |0 \rangle ose  |1 \rangle, kjo paraqitje është unike, pra. sssssssssssparametrat \phi \, dhe \theta \, specifikojne në menyre unike një pikë në sferën njesi në hapësirën Euklidiane \mathbb{R}^{3}, nga pikëpamja vizuale, pika kordinata e së cilës (x,y,z) janë

 \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta .\end{matrix}

Një përgjithësim për gjëndjet e pastra[redakto | redakto tekstin burimor]

Konsideroni një sistem mekaniko kuantik me n-nivele. Ky sistem përshkruhet nga një hapësirë Hilbertiane n-përmasore Hn. Hapësira e gjendjeve të pastra është sipas përcakimit bashkesia e rrezeve 1-dimensionale të Hn.

Teoreme. Le U(n) të jetë një grup Lie i matricave unitare me përmase n. Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të Hn mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte

 \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1)).

Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një veprim grupinatyral te U(n) në bashkësine e gjendjeve të Hn. Ky veprim është i vazhdueshem dhe tranzitiv ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ, grupi izotrop i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve g të U(n) e tillë që g ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit

 \operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1).

Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo g e U(n) që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një ajgenvektor. Meqenese ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortoigonal të ψ, e cila është izomorfike me U(n - 1). Nga ky pohim i teoremes del nga faktet bazë për grupe veprimi tranzitive të grupeve kompakte.

Fakti i rendesishem këtu është që grupet unitare veprojne në menyre tranzitive në gjendjet e pastra.

Tani dimensioni (real) i U(n) është n2. Kjo shikohet lehtë meqenese relacioni eksponencial

 A \mapsto e^{i A}

është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matrices komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(n). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension n2.

Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të Hn është 2n − 2.

Në fakt,

 n^2 - ((n-1)^2 +1) = 2 n - 2. \quad

Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të një rregjistri kuantik me m kubite është 2m+1 − 2.

Gjeometria e operatoreve të densitetit[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]