Teorema e kosinusit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Triangle with notations 2.svg

Teorema e kosinusit përdoret për zgjidhjen e trekëndëshit të ç'farëdoshëm. Ajo është përgjithësim i teoremës së famshme të Pitagorës e cila vlen për trekëndëshin këndrejt. Teorema e kosinusit njihet edhe me emrin "Teorema e Al-Kashit" dhe me fjalë ajo mund të formulohet si vijon:

Te çdo trekëndësh katrori i çdo brinje është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve tjera i zvogëluar për dyfishin e prodhimit të tyre me kosinusin e këndit përballë asaj brinje.

a^2=b^2+c^2-2bc cos \alpha
b^2=a^2+c^2-2ac cos \beta
c^2=a^2+b^2-2ab cos \gamma

Teorema e kosinusit është përgithësim i teoremës së Pitagorës e cila vlen nëse trekëndëshi ka një kënd të drejtë nëse supozojmë se p.sh. këndi γ është i drejtë 90°= π/2 radian atëherë cos(γ) = 0, prandaj

c^2 = a^2 + b^2 \,

Ky barazim paraqet teoremën e Pithgorës.

Zbatimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg

Teorema e kosinusit përdoret për zgjidhjen e trekëndëshit

  • Në rast se janë dhënë tre brinjët e tij për gjetjen e këndeve
\,\gamma = \cos^{-1} \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,;
  • Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi në mes tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera
\,c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)}\,;
  • Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi përballë njërës prej tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera
\, a=b\cos(\gamma) \pm \sqrt{c^2 -b^2\sin^2(\gamma)}\,.

Vërtetimi i teoremës[redakto | redakto tekstin burimor]

Triangle-with-cosines.svg

Lëshojmë lartësinë mbi brinjën c atëherë nga figura kemi

c=a\cos(\beta)+b\cos(\alpha)\,.

Nëse të njejtën gjë e përsërisim për lartësitë tjera atëherë kemi

b = c\cos(\alpha) + a\cos(\gamma)\,.
c = a\cos(\beta) + b\cos(\alpha)\,.

Barazimin e parë e shumëzojmë me c të dytin me b dhe të tretin me a atëherë fitojmë

c^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha)\,.
a^2 = ac\cos(\beta) + ab\cos(\gamma)\,,
b^2 = bc\cos(\alpha) + ab\cos(\gamma)\,.

I mbledhim dy barazimet e fundit atëherë kemi

a^2 + b^2 = ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,.

Prej këtij barazimi e zbresim të parin atëherë fitojmë

a^2 + b^2 - c^2 = - ac\cos(\beta) - bc\cos(\alpha)+ ac\cos(\beta) + bc\cos(\alpha) + 2ab\cos(\gamma)\,

nga barazimi i fundit pas thjeshtimeve të mundshme fitojmë se

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma).\,