Trajtimi klasik i tensorëve

Një tensor është një përgjithësim i koncepteve të vektorit dhe matricave. Tensorët na lejojnë që të shprehim ligjet fizike në një formë që është e aplikueshme në çdo sistem kordinativ. Për këtë arsye, ato përdoren shumë në mekanikën e vazhduar dhe në teorinë e relativitetit.

Një tensor është një transformim multi-dimensional invariant , që merr forma të ndryshme nga një sistem kordinativ në një tjetër. Ai merr formën:

$T^{\left[i_1,i_2,i_3,...i_n\right]}_{\left[j_1,j_2,j_3,...j_m\right]}$

Sistemi i ri kordinativ paraqitet nga 'me vizë'($\bar{x}^i$), dhe sistemi i vjetër kordinativ është pa vizë($x^i$).

Indekset e larta [$i_1,i_2,i_3,...i_n$] janë komponent kontravariantë, dhe indekset e poshtme [$j_1,j_2,j_3,...j_n$] janë komponentët kovariantë.

Tensorët kontravariantë dhe kovariantë

Një tensor kontravariant i rendit të 1($T^i$) përcaktohet si:

$\bar{T}^i = T^r\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^r}.$

Një tensor kovariant i rendit të 1($T_i$) përcaktohet si:

$\bar{T}_i = T_r\frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^i}.$

Tensorët e pergjithshëm

Nje tensor i pergjithshem më shumë-rendor është thjesht një prodhim tensorial i tensorëve të rendit të parë:

$T^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]} = T^{i_1} \otimes T^{i_2} ... \otimes T^{i_p} \otimes T_{j_1} \otimes T_{j_2} ... \otimes T_{j_q}$

e tillë që:

$\bar{T}^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]} = T^{\left[r_1,r_2,...r_p\right]}_{\left[s_1,s_2,...s_q\right]} \frac{\partial \bar{x}^{i_1}}{\partial x^{r_1}} \frac{\partial \bar{x}^{i_2}}{\partial x^{r_2}} ... \frac{\partial \bar{x}^{i_p}}{\partial x^{r_p}} \frac{\partial x^{s_1}}{\partial \bar{x}^{j_1}} \frac{\partial x^{s_2}}{\partial \bar{x}^{j_2}} ... \frac{\partial x^{s_q}}{\partial \bar{x}^{j_q}}.$

Kjo zakonisht quhet ligji i transformimit tensorial.

Shikoni gjithashtu

• Derivati i tensorit
• Diferencimi absolut
• Kurbatura
• Gjeometria Rimaniane

Lexime të mëtejshme

• Schaum's Outline of Tensor Calculus
• Synge and Schild, Tensor Calculus, Toronto Press: Toronto, 1949