Transformimi i Lezhandrit (Legendres)

Diagrami i mësipërm ilustron transformimin e Lezhandrit të funksionit $f(x)$. Funksioni tregohet me të kuqe, tangjenta te pika $(x_0,\ f(x_0))$ (tregohet me blu) kryqëzohet me boshtin vertikal tek $(0,\ - f^\star)$ dhe $f^\star$ është vlera e transformimit të Lezhandrit $f^\star(p_0)$, ku $p_0=\dot{f}(x_0)$. Vini re se për çdo pikë tjetër në vijën e kuqe, një vijë e hequr nga ajo pikë me të njëjtën pjerrësi si vija blu do të kryqëzohet me boshtin e ordinatave y në pikën $(0,\ - f^\star)$, duke treguar që $f^\star$ është një maksimum.

Në matematikë, shpesh kërkohet të shprehim një relacion funksional $f(x)\,$ me një funksion argumenti i të cilit është derivat i f , në vend të x . Nëqoftëse shënojmë $p = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ argumentin e këtij funksioni të ri, atëherë ky funksion mund të shkruhet si $f^\star(p)\,$ ky veprim njihet si transformim i Lezhandrit i funksionit origjinal. I emëruar kështu për nder të matematikanit francez Adrien-Marie Legendre. Transformim i Lezhandrit $f^\star$ i një funksioni $f\,$ përcaktohet si më poshtë :

$f^\star(p) = \mathrm{max}_x(px-f(x)).$

Simboli $\max_x$ tregon që maksimumin e shprehjes në lidhje me variabëlin $x$ kur p është konstante. Transformimi i Lezhandrit është inversi i vetvetes. Si transformimi i Furierit , transformimi i Lezhandrit merr një funksion $f(x)$ dhe prodhon një funksion të një variabël tjetër $p$.

Transformimi i Lëzhandrit është një aplikim i relacionit dual midis pikave dhe vijave. Lidhja funksionale e specifikuar nga f(x) mund të paraqitet gjithashtu si një bashkësi e pikave (x, y), ose si një bashkësi e tangjentëve të specifikuara nga pjerrësia e tyre dhe nga vlerat ku ato kryqëzohen me boshtin.

Transformimi i Lazhandrit mund të përgjithësohet në transformimin e Lazhandër-Fenshelit. Ai përdoret shumë në termodinamikë dhe në formalizmin e mekanikës së Hamiltonit.

Përcaktime

Përcaktimi i transformimit të Lezhandrit mund të jepet në mënyre më eksplicite. Në mënyre që të maksimizojmë $px-f(x)$ në lidhje me $x$, duhet ta vendosim derivatin e saj të barabarte me zero :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0. \quad \quad (1)\,$

Pra, shprehja arrin maksimum kur

$p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x}. \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)$

Ky është një maksimum sepse derivati i dytë është negativ :

${\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d}x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0,$

sepse $f$ e morrem si funksion konveks. Tani në marrim inversin e (2) në mënyre që të marrim $x$ si një funksion të $p$ dhe ta zëvendësojmë këtë tek (1), e cila jep formën më të dobishme,

$f^\star(p) = p \,\, x(p) - f(x(p)).$

Ky përcaktim jep procedurën konvencionale për llogaritjen e transformimit të Lezhandrit $f(x)$ : gjeni $p = {df \over dx}$, merrni inversin për $x$ dhe zëvendësojeni tek shprehja $xp-f(x)$. Ky përcaktim e bën të qartë interpretimin e mposhtem : transformimi i Lazhandrit prodhon një funksion të ri, në të cilin variabëli i pavarur $x$ është i zëvendësuar nga $p = {df \over dx}$, i cili është derivati i funksionit origjinal në lidhje me $x$.

Një përcaktim tjetër

Ekziston një përcaktim i tretë i transformimit të Lazhandrit : $f\,$ dhe $f^\star$ janë transformimet Lazhandriane të njëra tjetrës neqoftese derivatet e tyre të para janë funksionet e anasjellta të njëra tjetrës :

$Df = \left( Df^\star \right)^{-1}.$

Kjo mund të shikohet qarte po të marrim derivatin e $f^\star$ :

${df^\star(p) \over dp} = {d \over dp}(xp-f(x)) = x + p {dx \over dp} - {df \over dx} {dx \over dp} = x.$

Po të kombinojmë këtë ekuacion me konditën maksimizuese marrim çiftin e mposhtem të ekuacioneve reciproke :

$p = {df \over dx}(x),$

$x = {df^\star \over dp}(p).$

Tani shikojmë se $Df$ dhe $Df^\star$ janë inversët (të anasjelltat) e njëra tjetrës, siç u tha më parë. Ato janë unike deri të një konstante aditive e cila është e fiksuar nga kërkesa që

$f(x) + f^\star(y) = x\,y.$

Although in some cases (e.g. thermodynamic potentials) a non-standard requirement is used :

$f(x) - f^\star(y) = x\,y.$

Në këtë artikull ne do të marrim në konsiderate vetëm kufizimin. Transformimi i Lazhandrit është i anasjellti i vetvetes, dhe është i lidhur me teknikën e integrimi me pjesë.

Aplikimi

Termodinamika

Strategjia pas përdorimit të transformimit të Lazhandrit është të ndryshojmë, nga një funksion me një nga parametrat si variabël të pavarur, tek një funksion me varësi ne një variabël të re (derivati pjesor i funksionit origjinal në lidhje me variablën e pavarur). Funksioni i ri është diferenca e funksionit origjinal dhe prodhimit të variablave të reja dhe të vjetra. Për shembull, kur energjia e brendshme është një funksion eksplicit i variablave ekstensive, entropia, vëllimi (dhe përbërja kimike)

$U = U(S,V,\{N_i\})\,$

enthalpia, transformimi Lazhandrian (jo standard) i U ne lidhje me  −PV

$H = U + PV \, = H(S,P,\{N_i\})\,$

$P=\, -\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_S\,$

bëhet një funksion i entropisë dhe madhësisë intensive, shtypjes, si një variabël natyrale, si dhe është e dobishme kur P (ekstensive) është konstante. Energjia e lire (e Helmholcit dhe e Gibsit), merren nëpërmjet transformimit Lazhandrian, duke zbritur TS (nga U dhe H respektivisht), duke zhvendosur kështu varësinë nga entropia S të variabla e konjuguar intensive variable temperatura T, e cila është e dobishme kur ajo është konstante.

Mekanika e Lagranzhit dhe Hamiltonit

Transformimi Lazhandrian përdore në mekanikën klasike për të derivuar formulimin Hamiltonian nga ai Lagranzhian, si dhe anasjelltas. Ndërsa funksioni Lagranzhian është një funksion eksplicit i koordinatave pozicionale q_j dhe shpejtësisë së përgjithshme dq_j /dt (si dhe kohës), funksioni Hamiltonian zëvendëson varësinë funksionale tek pozicioni dhe momenti, të përcaktuara si $p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}$. Kur $det\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i\partial \dot{q}_j}\neq 0$ (në këtë rast funksioni Lagranzhian konsiderohet i rregullt) mund të shprehim $\dot q_j$ si funksione $\dot q_j=\dot q_j(q_h, p_k)$ dhe të përcaktojmë

$H\left(q_i,p_j,t\right) = \sum_m \dot{q}_m p_m - L(q_i,\dot q_j(q_h, p_k),t) \,.$

Secila rej dy formulimeve ka aplikimet e saja, si në themelet teorike të lendes, ashtu edhe në praktike, në varësi të lehtësisë për llogaritjen e një problemi të caktuar. Koordinatat mund të mos jenë rektilineare, kështu që ato mund të formojnë edhe kënde. Një zgjedhje optimale merr avantazh nga simetritë aktuale të sistemit fizik.

Shikoni gjithashtu

• Dualiteti projektiv

Referenca

• Arnol'd, Vladimir Igorevich: Mathematical Methods of Classical Mechanics

(second edition). Springer 1989, ISBN 0-387- 96890-3

• Rockafellar, Ralph Tyrell: Convex

Analysis. Princeton University Press 1996, ISBN 0-691-01586-4