Lëkundjet e membranës elastike

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Një nga shumë mënyrat e mundshme të vibrimit të një daulleje rrethore ideale (moda me notacionin e mëposhtëm). Mënyra të tjera tregohen në fund të artikullit.

Vibrimet e një daulleje rrethore ideale, e cila konsiston prej një membrane elastike rrethore me trashësi uniforme e fiksuar te një kornize rrethore, janë zgjidhje të ekuacionit të valës me kondita kufitare zero.

Ekziston një numër i pafundmë mënyrash sipas të cilave një daulleje mund të vibrojë, në varësi të formës së daulles në një kohë fillestare, dhe shpejtësisë së ndryshimit të formës së daulles në një kohë fillestare. Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, është e mundur të gjehet një koleksion i "thjeshtë" mënyrash vibrimi, si dhe mund të provohet se çdo vibrim sado kompleks i daulles mund të dekompozohet si një kombinim linear i vibrimeve më të thjeshta.

Problemi[redakto | redakto tekstin burimor]

Konsideroni një disk të hapur me rreze me qendër në origjinën e daulles, i cili përfaqëson formën e fiksuar të daulles. Në çdo kohë lartësia e formës së daulles tek një pikë e matur nga forma e "fiksuar" do të jepet nga e cila mund të merret me vlera pozitive ose negative. Le të përfaqësojë kufirin e pra, rrethi me rreze me qendër në origjinë, e cila përfaqëson një kornizë të palëvizshme në të cilën membrana e daulles është e fiksuar.

Ekuacioni matematik që përshkruan vibrimin e daulles është ekuacioni i valës me kondita kufitare zero,

Këtu, është një konstante pozitive, e cila jep "shpejtësinë" e vibrimit.

Për shkak të gjeometrisë rrethore, është shumë e përshtatshme përdorimi i koordinatave polare, dhe Tani, ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet si

Rasti me simetri rrezore[redakto | redakto tekstin burimor]

Ne do të studiojmë në fillim rastin e mënyrave të mundshme të vibrimit te një daulleje rrethore që kanë simetri rrezore. Në këtë rast, funksioni nuk varet tek këndi kështu që ekuacioni thjeshtohet dhe merr formën

Tani ne kërkojmë për zgjidhje duke përdorur metodën e ndarjes se variablave, Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin e mëlartëm dhe duke pjesëtuar te dy anët me marrim

Ana e majte e këtij barazimi nuk varet tek dhe ana e djathte nuk varet tek kështu që nga kjo del se të dyja anët janë të barabartat me një konstante Marrim kështu dy ekuacione për dhe  :

Ekuacioni për ka zgjidhje te cilat rriten ose zvogëlohen në mënyre eksponenciale për janë lineare ose konstante për dhe janë periodike për Fizikisht pritet që zgjidhja e problemit të daulles vibruese të jetë oshiluese në kohë, kështu që kjo lë vetëm rastin e tretë, kur për një numër Atëherë, është një kombinim linear i funksioneve sinus dhe kosinus,

Duke u kthyer tek rasti i përgjithshëm për me observimin që dhe te gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni diferencial të rendit të dytë janë kombinime lineare të funksioneve Bezel të rendit 0,

Funksioni Bezel nuk ka kufi për kështu që kjo rezulton në një zgjidhje pa kuptim fizik për daullen vibruese, kjo do të thotë se konstantja duhet të jetë zero. Gjithashtu do supozojmë se sepse kjo konstante mund të absorbohet lehte ne ndonjë konstante tjetër më vonë dhe që vinë nga Nga kjo del që

Kërkesa që lartësia e membranës të jetë zero tek kufiri i daulles rezulton në konditën

Funksioni Bezel ka një numër të pafundme rrënjësh pozitive,

Nga kjo marrim për kështu që

Pra, zgjidhjet me simetri rrezore te membranës vibruese që mund të jepen me mënyrene e ndarjese se variablave janë

for

ku

Rasti i përgjithshëm[redakto | redakto tekstin burimor]

Rasti i përgjithshëm, ku varet edhe tek këndi trajtohet në një mënyre shumë të ngjashme. Tani supozojmë se ekziston një zgjedhje ku variablat mund të ndahen,

Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin valor dhe duke aplikuar metodën e ndarjes se variablave, marrim

ku është një konstante. Si më parë, nga ekuacioni për del që me dhe

Nga ekuacioni

marrim, duke shumëzuar të dyja anët me dhe duke bërë ndarjen e variablave, marrim

dhe

për një konstante Since është periodike, me periodë e cila është një variabël këndore, nga kjo del që

ku dhe dhe janë disa konstante. Kjo implikon që

Po të kthehemi prapa tek ekuacioni për zgjidhja e tij jepet nga një kombinim linar i funksioneve Bezel dhe Me një argument të ngjashëm si në seksioni e mëparshëm, arrimë tek

ku me e cila është rrënja pozitive e -te e

Më lart treguam që te gjitha zgjidhjet në të cilat variablat janë të pavarura për një daulle vibruese rrethore janë të formës

për .

Shënim[redakto | redakto tekstin burimor]

Duhet theksuar se zgjidhja e mëlartme merr parasysh disa supozime ideale të cilat janë të inkarnuara në ekuacionin e valës. Një simulim kompjuterik i problemit te mësipërm do të ketë një gabim të caktuar (zakonisht rreth 5 %) në varësi te metodës së përdorur.

Animime të disa modave të vibrimit[redakto | redakto tekstin burimor]

Shikoni gjithashtu[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

  • H. Asmar, Nakhle: Partial differential equations with Fourier series and boundary value problems, S. page 198, Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall 2005, ISBN 0-13-148096-0