Numrat e Stirlingut

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Numrat e Stirlingut paraqiten në shumë probleme të kombinatorikës. Këto numra i përkufizoi ose i zbuloi në shekullin e XVIII matematikani James Stirling. Ekzistojnë dy lloje numrash të tillë të cilat quhen: Numra të Stirlingut të llojit të parë dhe Numra të Stirlingut të llojit të dytë.

Shënimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Disa lloje të ndryshme simbolesh përdoren për shënimin e numrave të Stirlingut.

 s(n,k)\text{ (signed)}\,
 c(n,k)=\left[{n \atop k}\right]=|s(n,k)|\text{ (unsigned)}\,

për numrat e Stirlingut të llojit të parë dhe

S(n,k)= S_n^{(k)} = 
\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}.\,

për numrat e Stirlingut të llojit të dytë.

Numrat e Stirlingut të llojit të parë[redakto | redakto tekstin burimor]

Numrat e pashenjë të llojit të parë

c(n,k)=\left[{n \atop k}\right]=|s(n,k)|=(-1)^{n-k} s(n,k)

(me "s" të vogël) njehsojnë numrin e permutacioneve prej n elementeve me k cikle disjunkte.

Numrat e Stirlingut të llojit të parë (pa marrë parasysh parashenjën) janë koeficientë të zbërthimit

(x)_{n} = \sum_{k=0}^n s(n,k) x^k.

këtu (x)_{n} është faktorieli zbritës

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1).

. . . . . . .

s(n,k) = [ (-1)^{n-k} ]
                \times [ \frac{n!}{(k-1)! \times 2^{n-k}} ] \times
[ { (1/(n-k)!) } \times n^{n-k-1}
- { (1/6) \times (1/(n-k-2)!) } \times n^{n-k-2}
+ { (1/72) \times (1/(n-k-4)!) } \times n^{n-k-3}
- { (1/6480) \times (5/(n-k-6)!-36/(n-k-4)!) } \times n^{n-k-4}
+ { (1/155520) \times (5/(n-k-8)!-144/(n-k-6)!) } \times n^{n-k-5}
- { (1/6531840) \times (7/(n-k-10)! -504/(n-k-8)!+2304/(n-k-6)!) } \times n^{n-k-6}
+ { (1/1175731200) \times (35/(n-k-12)!-5040/(n-k-10)!+87264/(n-k-8)!) } \times n^{n-k-7}
- { (1/7054387200) \times (5/(n-k-14)!-1260/(n-k-12)!+52704/(n-k-10)!-186624/(n-k-8)!) } \times n^{n-k-8}
+ { (1/338610585600) \times (5/(n-k-16)!-2016/(n-k-14)!+164736/(n-k-12)!-2156544/(n-k-10)!) } \times n^{n-k-9}
- ... ]

Numrat e Stirlingut të llojit të dytë[redakto | redakto tekstin burimor]

Numrat e Stirling të llojit të dytë S(nk) (me "S" të madhe) njehsojnë numrin e particioneve të një bashkësie me n elemente në k nënbashkësi jo të zbrazëta. shuma

B_n=\sum_{k=0}^n S(n,k)

është numri i ntë i Bellit.

Nëse shënojmë :(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)

(në veçanti, (x)0 = 1 ) faktorielin zbritës, për numrat e Stirlingut të llojit të dytë kemi barazimin përkufizues

\sum_{k=0}^n S(n,k)(x)_k=x^n.

Lidhjet në mes numrave të Stirlingut[redakto | redakto tekstin burimor]

Numrat e Stirling të llojit të parë dhe të dytë janë inverz njëri me tjetrin:

\sum_{n=0}^{\max\{j,k\}} (-1)^{n-k} \left[{n\atop j}\right] \left\{{k\atop n}\right\} = \delta_{jk}

dhe

\sum_{n=0}^{\max\{j,k\}} (-1)^{n-k} \left\{{n\atop j}\right\} \left[{k\atop n}\right] = \delta_{jk}

ku \delta_{jk} është simboli Delta e Kroneckerit.

Abramowitz dhe Stegun i japin këto lidhje apo formula simetrike në mes numrave të Stirlingut të llojit të parë dhe të dytë.

\left[{n\atop k}\right] = (-1)^{n-k} \sum_{j=0}^{n-k} (-1)^j {n-1+j \choose n-k+j} {2n-k \choose n-k-j} \left\{{n-k+j\atop j}\right\}

and

\left\{{n\atop k}\right\} = (-1)^{n-k} \sum_{j=0}^{n-k} (-1)^j {n-1+j \choose n-k+j} {2n-k \choose n-k-j} \left[{n-k+j\atop j}\right].

Referencat[redakto | redakto tekstin burimor]