Funksioni kuadratik

Në algjebër, një funksion kuadratik, një polinom kuadratik, një polinom i shkallës 2, ose thjesht një kuadratik, është një funksion polinom me një ose më shumë ndryshore në të cilat termi i shkallës më të lartë është i shkallës së dytë.

Një polinom kuadratik me dy rrënjë reale (kalimet e boshtit x ) dhe kështu nuk ka rrënjë komplekse . Disa polinome të tjera kuadratike kanë minimumin e tyre mbi boshtin x, në këtë rast nuk ka rrënjë reale dhe dy rrënjë komplekse.

Për shembull, një funksion kuadratik univariant (me një ndryshore të vetme) ka formën

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0$

në ndryshoren e vetme x . Grafiku i një funksioni kuadratik univariant është një parabolë boshti i simetrisë së së cilës është paralel me boshtin y, siç tregohet në të djathtë.

Nëse funksioni kuadratik është vendosur i barabartë me zero, atëherë rezultati është një ekuacion kuadratik . Zgjidhjet e ekuacionit univariant quhen rrënjët e funksionit univariate.

Rasti bivariativ për sa i përket ndryshoreve x dhe y ka formën

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!$

me të paktën njërën nga a, b, c nuk është e barabartë me zero, dhe një ekuacion që vendos këtë funksion të barabartë me zero sjell një seksion konik (një rreth ose elips tjetër, një parabolë ose një hiperbolë ).

Një funksion kuadratik në tre ndryshore x, y dhe z përmban ekskluzivisht termat x ², y ², z ², xy, xz, yz, x, y, z dhe një konstante:

$f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$

me të paktën një nga koeficientët a, b, c, d, e, ose f të termave të shkallës së dytë që nuk është zero.

Në përgjithësi mund të ketë një numër arbitrar të madh të variablave, në këtë rast sipërfaqja rezultuese e vendosjes në zero të një funksioni kuadratik quhet katërkëndësh, por termi i shkallës më të lartë duhet të jetë i shkallës 2, të tilla si x ², xy, yz, etj.

Etimologjia

Mbiemri quadratic vjen nga fjala latine quadrātum (" katror "). Një term si x 2 quhet katror në algjebër sepse është sipërfaqja e katrorit me brinjën x .

Terminologjia

Koeficientët

Koeficientët e një polinomi shpesh merren si numra realë ose kompleksë, por në fakt, një polinom mund të përcaktohet mbi çdo unazë .

Gradë

Kur përdorin termin "polinom kuadratik", autorët ndonjëherë nënkuptojnë "të kesh gradë saktësisht 2", dhe nganjëherë "që kanë gradë më së shumti 2". Nëse diploma është më pak se 2, kjo mund të quhet një " rast i degjeneruar ". Zakonisht konteksti do të përcaktojë se cili nga të dy ka për qëllim.

Ndonjëherë fjala "urdhër" përdoret me kuptimin e "shkallës", p.sh. një polinom i rendit të dytë.

Variablat

Një polinom kuadratik mund të përfshijë një ndryshore të vetme x (rasti univariate), ose shumë variabla të tillë si x, y dhe z (rasti shumë variabël).

Rasti me një ndryshore

Çdo polinom kuadratik me një ndryshore të vetme mund të shkruhet si

$ax^{2}+bx+c,\,\!$

ku x është ndryshorja, dhe a, b dhe c paraqesin koeficientët . Në algjebrën elementare, polinomet e tilla shpesh lindin në formën e një ekuacioni kuadratik $ax^{2}+bx+c=0$ . Zgjidhjet e këtij ekuacioni quhen rrënjët e polinomit kuadratik dhe mund të gjenden përmes faktorizimit, plotësimit të katrorit, grafikimit, metodës së Njutonit, ose përmes përdorimit të formulës kuadratike . Çdo polinom kuadratik ka një funksion kuadratik të shoqëruar, grafiku i të cilit është një parabolë .

Rasti bivariate

Çdo polinom kuadratik me dy ndryshore mund të shkruhet si

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!$

ku x dhe y janë ndryshoret dhe a, b, c, d, e dhe f janë koeficientët. Polinomet e tilla janë thelbësore për studimin e seksioneve konike, të cilat karakterizohen nga barazimi i shprehjes për f ( x, y ) me zero. Në mënyrë të ngjashme, polinomet kuadratike me tre ose më shumë variabla korrespondojnë me sipërfaqet katërkëndëshe dhe mbishfaqjet . Në algjebrën lineare, polinomet kuadratike mund të përgjithësohen në nocionin e një forme kuadratike në një hapësirë vektoriale .

Format e një funksioni kuadratik univariate

Një funksion kuadratik univariant mund të shprehet në tre formate:

• $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ quhet forma standarde ,
• $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ quhet formë e faktorizuar, ku r 1 dhe r 2 janë rrënjët e funksionit kuadratik dhe zgjidhjet e ekuacionit përkatës kuadratik.
• $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ quhet formë kulmi, ku h dhe k janë koordinatat x dhe y të kulmit, përkatësisht.

Koeficienti a është e njëjta vlerë në të tre format. Për ta shndërruar formën standarde në formë të faktorizuar, duhet vetëm formula e kuadratit për të përcaktuar dy rrënjët r 1 dhe r 2 . Për të shndërruar formën standarde në formë kulmi, duhet një proces i quajtur plotësimi i katrorit . Për të shndërruar formën e faktorizuar (ose formën e kulmit) në formë standarde, duhet të shumëzohen, zgjerohen dhe / ose shpërndahen faktorët.

Grafiku i funksionit univariant

$f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!$

$f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!$

$f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}\!$

Pavarësisht nga formati, grafiku i një funksioni kuadratik univariant $f(x)=ax^{2}+bx+c$ është një parabolë (siç tregohet në të djathtë). Në mënyrë ekuivalente, ky është grafiku i ekuacionit kuadratikdypjesësh $y=ax^{2}+bx+c$ .

• Nëse a > 0, parabola hapet lart.
• Nëse a < 0, parabola hapet poshtë.

Koeficienti a kontrollon shkallën e lakimit të grafikut; një madhësi më e madhe e a jep grafit një pamje më të mbyllur (të lakuar ashpër).

Koeficientët b dhe a së bashku kontrollojnë vendndodhjen e boshtit të simetrisë së parabolës (gjithashtu x koordinata e kulmit dhe parametri h në formën e kulmit) e cila është në

$x=-{\frac {b}{2a}}.$

Koeficienti c kontrollon lartësinë e parabolës; më konkretisht, është lartësia e parabolës ku ajo kap boshtet y .

Kulmi

Kulmi i një parabolë është vendi ku kthehet; prandaj, quhet edhe pika e kthesës . Nëse funksioni kuadratik është në formë kulmi, kulmi është (h, k ) . Duke përdorur metodën e plotësimit të sheshit, mund të kthehet forma standarde

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$

në

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}$

pra kulmi, (h, k ), i parabolës në formë standarde është

$\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).$

Nëse funksioni kuadratik është në formë të faktorizuar

$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$

mesatarja e dy rrënjëve, dmth.,

${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$

është koordinata x e kulmit, dhe prandaj kulmi (h, k ) është

$\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!$

Kulmi është gjithashtu pika maksimale nëse a < 0, ose pika minimale nëse a > 0 .

Vija vertikale

$x=h=-{\frac {b}{2a}}$

që kalon nëpër kulm është edhe boshti i simetrisë së parabolës.

Pikët maksimale dhe minimale

Duke përdorur llogaritjen, pika kulmore, duke qenë një maksimum ose minimum i funksionit, mund të merret duke gjetur rrënjët e derivatit :

$f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.$

x është një rrënjë e f '(x) nëse f' (x) = 0 rezulton në

$x=-{\frac {b}{2a}}$

me vlerën përkatëse të funksionit

$f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,$

pra përsëri koordinatat e pikës kulmore, (h, k ), mund të shprehen si

$\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).$

Rrënjët e funksionit univariant(me një ndryshore)

Rrënjët e sakta

Rrënjët (ose zero ), r 1 dhe r 2, të funksionit kuadratik univariant

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}$

janë vlerat e x për të cilat f ( x ) = 0 .

Kur koeficientët a, b dhe c, janë reale ose komplekse, rrënjët janë

$r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$

$r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

E lidhur sipërme në madhësinë e rrënjëve

Moduli i rrënjëve të një kuadratike $ax^{2}+bx+c\,$ nuk mund të jetë më e madhe se ${\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,$ ku $\phi$ është raporti i artë ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$ [ rëndësia? ]

Rrënja katrore e një funksioni kuadratik univariant

Rrënja katrore e një funksioni kuadratik univariant krijon një nga katër seksionet konike, pothuajse gjithmonë ose në një elips ose në hiperbolë .

Nëse $a>0\,\!$ atëherë ekuacioni $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ përshkruan një hiperbolë, siç mund të shihet nga katrorizimi i të dy palëve. Drejtimet e akseve të hiperbolës përcaktohen nga ordinata e pikës minimale të parabolës përkatëse $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ . Nëse ordinata është negative, atëherë boshti kryesor i hiperbolës (përmes kulmeve të tij) është horizontale, ndërsa nëse ordinata është pozitive, atëherë boshti kryesor i hiperbolës është vertikal.

Nëse $a<0\,\!$ atëherë ekuacioni $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ përshkruan ose një rreth ose elips tjetër ose asgjë fare. Nëse ordinata e pikës maksimale të parabolës përkatëse $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ është pozitive, atëherë rrënja e saj katrore përshkruan një elips, por nëse ordinata është negative atëherë ajo përshkruan një vend të zbrazët të pikave.

Përsëritje

Për të përsëritur një funksion $f(x)=ax^{2}+bx+c$, njëri zbaton funksionin në mënyrë të përsëritur, duke përdorur prodhimin nga një përsëritje si hyrje në tjetrën.

Nuk mund të arrihet gjithmonë në përfundimin e formës analitike të $f^{(n)}(x)$, Që do të thotë ^n-të përsëritje të $f(x)$ . (Mbishkrimi mund të shtrihet në numra negativë, duke iu referuar përsëritjes së anasjelltë të $f(x)$ nëse e anasjellta ekziston. ) Por ka disa raste që mund të trajtohen në mënyrë analitike.

Për shembull, për ekuacionin përsëritës

$f(x)=a(x-c)^{2}+c$

një ka

$f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!$

ku

$g(x)=ax^{2}\,\!$ dhe $h(x)=x-c.\,\!$

Pra, me induksion,

$f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!$

mund të merret, ku $g^{(n)}(x)$ lehtë mund të llogaritet si

$g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!$

Më në fund, ne kemi

$f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c\,\!$

si zgjidhje.

Shikoni bashkësinë Topologjike për më shumë detaje në lidhje me marrëdhëniet midis f dhe g . Dhe shih polinomin kuadratik kompleks për sjelljen kaotike në përsëritjen e përgjithshme.

Harta logjistike

$x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1$

me parametrin 2 < r <4 mund të zgjidhet në raste të caktuara, njëra prej të cilave është kaotike dhe njëra prej tyre jo. Në rastin kaotik r = 4 zgjidhja është

$x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )$

ku parametri fillestar i gjendjes $\theta$ është dhënë nga $\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$ . Për racionale $\theta$, pas një numri të kufizuar të përsëritjeve $x_{n}$ hartat në një sekuencë periodike. Por pothuajse të gjitha $\theta$ janë iracionale, dhe, për irracionale $\theta$, $x_{n}$ kurrë nuk përsëritet – është jo-periodik dhe shfaq varësi të ndjeshme nga kushtet fillestare, kështu që thuhet se është kaotike.

Zgjidhja e hartës logjistike kur r = 2 është

$x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$

për $x_{0}\in [0,1)$ . Që kur $(1-2x_{0})\in (-1,1)$ për çdo vlerë të $x_{0}$ përveç pikës fikse të paqëndrueshme 0, termi $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ shkon në 0 ndërsa n shkon në pafundësi, pra $x_{n}$ shkon në pikën e qëndrueshme fikse ${\tfrac {1}{2}}.$

Funksioni kuadratik bivariant (dy ndryshore)

Një funksion kuadrar dyvariant është një polinom i shkallës së dytë të formës

$f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$

ku A, B, C, D dhe E janë koeficientë fiks dhe F është termi konstant. Një funksion i tillë përshkruan një sipërfaqe kuadratike. Vendosja $f(x,y)\,\!$ e barabartë me zero përshkruan kryqëzimin e sipërfaqes me rrafshin $z=0\,\!$, i cili është një vend i pikave ekuivalente me një seksion konik .

Minimumi / maksimumi

Nëse $4AB-E^{2}<0\,$ funksioni nuk ka maksimum ose minimum; grafiku i tij formon një paraboloid hiperbolik.

Nëse $4AB-E^{2}>0\,$ funksioni ka një minimum nëse A > 0, dhe një maksimum nëse A <0; grafiku i tij formon një paraboloid eliptik. Në këtë rast minimumi ose maksimumi ndodh në $(x_{m},y_{m})\,$ ku:

$x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},$

$y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.$

Nëse $4AB-E^{2}=0\,$ dhe $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ funksioni nuk ka maksimum ose minimum; grafiku i tij formon një cilindër parabolik.

Nëse $4AB-E^{2}=0\,$ dhe $DE-2CB=2AD-CE=0\,$ funksioni arrin maksimumin / minimumin në një linjë - një minimum nëse A > 0 dhe një maksimum nëse A <0; grafiku i tij formon një cilindër parabolik.

Referencat

• Algjebra 1, Glencoe, 
• Algjebra 2, Sakson, 

Linqe te jashtme

• Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld.