Procedura Gram-Shmit

Procedura e ortogonalizmit Gram-Shmit është një metodë nga algjebra lineare që aplikohet për të marrë një set vektoresh bazë ortogonalë nga nje set vektoresh te pavarur ne nje hapesire vektoriale. Metoda është një proces iterativ. Le te supozojme se kemi nje bashkesi vektoresh te cilet te pavarur nga njeri tjetri (nuk mund te jepen si nje shume lineare e njeri tjetrit). Procedura Gram- Shmit e zbatuar mbi kete set vektoresh e transformon bashkesine e melartme ne nje set ku cdo vektor eshte perpendikular me njeri-tjetrin.

Proçeduara Gram–Shmit

Le te percaktojme nje operator projektimi te dhene nga

$\mathrm {proj} _{\mathbf {u} }\,\mathbf {v} ={\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }\mathbf {u} ={\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\mathbf {u} \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle },$

ku <u, v> japin produktin e brendshem te vektoreve u dhe v. Ky operator projekton vektorin v ortogonalisht mbi vektor u.

Procesi Gram–Shmit aplikohet si me poshte:

	$\mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},$		$\mathbf {e} _{1}={\mathbf {u} _{1} \over \|\mathbf {u} _{1}\|}$
	$\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{2},$		$\mathbf {e} _{2}={\mathbf {u} _{2} \over \|\mathbf {u} _{2}\|}$
	$\mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,\mathbf {v} _{3},$		$\mathbf {e} _{3}={\mathbf {u} _{3} \over \|\mathbf {u} _{3}\|}$
	$\mathbf {u} _{4}=\mathbf {v} _{4}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{4}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,\mathbf {v} _{4}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{3}}\,\mathbf {v} _{4},$		$\mathbf {e} _{4}={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}$
	$\vdots$		$\vdots$
	$\mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\,\mathbf {v} _{k},$		$\mathbf {e} _{k}={\mathbf {u} _{k} \over \|\mathbf {u} _{k}\|}$

Dy hapat e para te procedures Gram–Schmidt.

Sekuenca u₁, …, u_k eshte bashkesia e vektoreve ortogonale. Gjithashtu vektoret e normalizuar e₁, …, e_k formojne nje bashkesi ortonormale.