Procedura Gram-Shmit

Procedura e ortogonalizmit Gram-Shmit është një metodë nga algjebra lineare që aplikohet për të marrë një bashkësi vektorësh bazë ortogonalë nga nje bashkësi vektoresh linearisht te pavarur ne nje hapesire vektoriale. Metoda është një proces iterativ. Le te supozojme se kemi nje bashkesi vektoresh te cilet janë linearisht te pavarur (nuk mund te shprehen si kombinim linear njëri nga tjetri). Procedura Gram- Shmit kete bashkësi vektoresh e transformon ne nje bashkësi vektorësh linearisht të pavarur dhe ortogonal njëri me tjetrin me fjalë tjera në bazë ortogonale.

Proçeduara Gram–Shmit

Le te percaktojme nje operator projektimi te dhene nga

$\mathrm {proj} _{\mathbf {u} }\,\mathbf {v} ={\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }\mathbf {u} ={\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\mathbf {u} \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle },$

ku <u, v> japin produktin e brendshem te vektoreve u dhe v. Ky operator projekton vektorin v ortogonalisht mbi vektor u.

Procesi Gram–Shmit aplikohet si me poshte:

	$\mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},$		$\mathbf {e} _{1}={\mathbf {u} _{1} \over \|\mathbf {u} _{1}\|}$
	$\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{2},$		$\mathbf {e} _{2}={\mathbf {u} _{2} \over \|\mathbf {u} _{2}\|}$
	$\mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,\mathbf {v} _{3},$		$\mathbf {e} _{3}={\mathbf {u} _{3} \over \|\mathbf {u} _{3}\|}$
	$\mathbf {u} _{4}=\mathbf {v} _{4}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,\mathbf {v} _{4}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,\mathbf {v} _{4}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{3}}\,\mathbf {v} _{4},$		$\mathbf {e} _{4}={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}$
	$\vdots$		$\vdots$
	$\mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\,\mathbf {v} _{k},$		$\mathbf {e} _{k}={\mathbf {u} _{k} \over \|\mathbf {u} _{k}\|}$

Dy hapat e para te procedures Gram–Schmidt.

Sekuenca u₁, …, u_k eshte bashkesia e vektoreve ortogonale. Gjithashtu vektoret e normalizuar e₁, …, e_k formojne nje bashkesi ortonormale.