Funksionet me shumë variabla

Përkufizimi

Rregulla ƒ sipas së cilës çdo pikë $M(x,y)$ nga një zonë D (domeni i funksionit) në sistemin koordinativ xoy i korrespondohet një dhe vetëm një numër real z nga bashkësia numerike R (kodomeni i funksionit) dhe çdo numri nga R i përgjigjet së paku një pikë nga D, e quajmë funksion me dy variabla. dhe simbolikisht shënohet $z=f(M)$ ose $z=f(x,y).$

Grafiku i funksionit

Grafiku i funksionit f(x, y) = sin(x²)·cos(y²).

Grafiku i funksionit $z=f(x,y).$ zakonisht paraqet një sipërfaqe, ndërprerjet e saj me rrafshe paralele $z=c$ janë lakore, projeksionet e të cilave në rrafshin xOy kanë ekuacionet $f(x,y)=c$ dhe quhen lakore nivelore. Për funksionin me tri variabla quhen sipërfaqe nivelore.

Limiti i funksionit

Rrethinë me rreze δ ose δ-rrethinë të pikës $M_{0}(x_{0},y_{0})\,$ në rrafshin xOy e quajmë bashkësinë e të gjitha pikave $M(x,y)\,$ që gjenden brenda rrethit me rreze δ e me qendër në pikën $M_{0}\,$. Pikën M₀ e quajmë pikë grumbullimi të zonës D në qoftë se në çdo δ-rrethinë të saj ekziston së paku një pikë M₀ e ndryshme nga M e cila i takon zonës D. Pika $M_{0}\,$ mund t'i takojë ose mos t'i takojë zonës D. Numrin A e quajmë limit të funksionit ƒ në pikën e grumbullimit $M_{0}\,$ të domenit D në qoftë se për çdo

$\varepsilon >0$

sado të vogël, mund të gjendet $\delta >0$

e tillë që për çdo pikë $M(x,y)\,$ nga δ- rrethina e pikës $M_{0}\,$ vlen

$|f(x)-A|<\varepsilon$.

simbolikisht shënohet $z=f(M)\,$ ose $z=f(x,y)\,$, ose

$\forall \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0:\forall x\ (0<|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-A|<\varepsilon )\,$

Pika $M\,$ mund të tentoj në pikën $M_{0}\,$ në mënyrë të çfarëdoshme, nëpër ndojnë segment, lakore etj. Nëse eksiston limiti i funksionit ƒ në pikën $M_{0}\,$ atëherë ai nuk varet nga rruga nëpër të cilën $M\rightarrow M_{0}\,$.

Vazhdueshmëria e funksionit

Le të jetë $z=f(x,y)$ funksion i përkufizuar në zonën D dhe M₀(x₀,y₀) një pikë grumbullimi e kësaj zone. Funksioni ƒ quhet i vazhdueshëm në pikën M₀ në qoftë se

$\lim _{a\to c}f(a)=f(c)$

ku a = $M(x,y)$ dhe c = M₀(x₀,y₀).

Funksioni ƒ është i vazhdueshëm në një bashkësi D në qoftë se është i vazhdueshëm në çdo pikë të bashkësisë D. Le të jetë $Z=(x,y)$ funksion i dy variablave dhe Δx e Δy shtesat e variablave x e y, atëherë diferencën

$\Delta z=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {y} +\Delta \mathbf {y} )-f(\mathbf {x,y} ).$

e quajmë shtesa totale e funksionit ƒ në pikën $(x,y)$ , ndërsa diferencat

$\Delta z_{x}=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {y} )-f(\mathbf {x,y} ).$

dhe

$\Delta z_{y}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} +\Delta \mathbf {y} )-f(\mathbf {x,y} ).$

i quajmë shtesa parciale e funksionit ƒ në pikën $(x,y)$ në lidhje me argumentet x e y. Funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën M₀ nëse

$\lim _{a\to c}\Delta z=0$.

ku c = $M(x,y)$ kurse a = $M_{0}(x_{0},y_{0})$.

Në qoftë se

$\lim _{\Delta x\to 0}\Delta z_{x}=0$

atëherë themi se funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën $M_{0}(x_{0},y_{0})$ në lidhje me variablën x. Ndërsa vazhdueshmëria e funksionit sipas y

$\lim _{\Delta y\to 0}\Delta z_{y}=0$.

Nëse funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën $M_{0}(x_{0},y_{0})$ atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë në lidhje me secilën variabël veç e veç. Anasjelltas nuk vlen. Operacionet e funksioneve të vazhdueshme janë funksione të vazhdueshme.

Vazhdueshmëria.

Referenca

• Zenun Loshaj. Matematika 2. Fakulteti elektroteknik në Prishtinë (1996). {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

Për më tepër

• Ekuacionet e shkallës së përgjithshme
• Ekuacione diferenciale
• Funksionet trigonometrike
• Bashkësitë