Vektori

Sistemi koordinativ

Sistemi koordinativ me vektorin ${\vec {a}}$

Vektorët janë madhësi që karakterizohen me një numër skalar, me drejtimin dhe me kahun e caktuar. Madhësitë si gjatësia, syprina, vëllimi, pesha, masa, temperatura, dendësia, puna, energjia etj. karakterizohen vetëm me numër (i cili shprehë raportin ndërmjet madhësisë dhe njësisë për matjen e saj).

Mirëpo, ekzistojnë edhe madhësi të tjera, si për shembull, forca, shpejtësia, nxitimi, translacioni, rotacioni etj., të cilat përveç numrit karakterizohen edhe me drejtimin dhe kahun. Madhësitë që karakterizohen vetëm me numër quhen madhësi skalare ose skalarë, ndërsa madhësitë që karakterizohen me numër, me drejtim dhe me kahun quhen madhësi vektoriale ose vektorë. Gjeometrikisht çdo madhësi vektoriale mund të paraqitet me një segment të orientuar i cili ka gjatësinë, drejtimin dhe pikën e fillimit (origjinën) të caktuar. Vija e drejtë tregon drejtimin e vektorit, gjatësia e vijës tregon vlerën ose intensitetin , maja e shigjetës tregon kahun, ndërsa pika a tregon pikën e zbatimit.

Segmenti i orientuar zakonisht përkufizohet si segmenti $\mathbf {AB}$ skajet e të cilit merren si dyshe e renditur $\mathbf {(A,B)}$ të pikave $\mathbf {A}$ dhe $\mathbf {B}$ quhet segment i orientuar dhe shënohet me ${\vec {AB}}$. Madhësitë vektoriale paraqiten me një shigjetë mbi shkronjën përkatëse ose duke e theksuar më shumë madhësinë vektoriale.

Madhësitë skalare dhe vektoriale

Në përgjithësi, në mesin e madhësive, në rend të parë dallojmë ato madhësi të cilat janë të përcaktuara vetëm me vlerë numerike të tyre, me fjalë tjera, madhësi të cilat përcaktohen me një real, i cili paraqet marrëdhënien e një madhësie të tillë ndaj njësisë së zgjedhur.

Madhësitë papërcaktuara me një numër real (me numrin e tyre matës në lidhje me njësinë e zgjedhur) quhen madhësi skalare ose shkurt skalarë. Skalarët paraqiten në boshtin numerik me pika përkatëse dhe krahasohen ndërmjet vete duke krahasuar vlerat numerike të tyre. Dy skalarë janë të barabartë në qoftë se, në lidhje me njësinë e njëjtë, kanë vlera të njëjta numerike d.m.th., në qoftë se numrat matës të tyre janë të barabartë.

Vektorë të kundërt

Vektorët simbolikisht shënohen me ${\vec {AB}}$, ${\vec {a}}$, etj. Le të jetë $\mathbf {AB}$ një segment i dhënë me gjatësi $\mathbf {d}$, atëherë dihet se vektori ${\vec {AB}}$ mund të paraqitet si një segment i orientuar në të cilin dallojmë pikën e fillimit $\mathbf {A}$ dhe pikën e mbarimit $\mathbf {B}$. Vektorët ${\vec {AB}}$ dhe ${\vec {BA}}$ kanë kahun e kundërt dhe quhen vektorë të kundërt edhe nëse drejtimin dhe intensitetetin e kanë njejtë.

Zero vektor

Drejtëza e përcaktuar nga pikat $\mathbf {A}$ dhe $\mathbf {B}$ quhen bartës i vektorit ${\vec {AB}}$ dhe shënohet $d={\vec {(AB)}}$. Vektori tek i cili pika e fillimit përputhet me pikën e mbarimit quhet zero vektor, ky vektor ka gjatësinë e barabartë më zero dhe shenohet me ${\vec {0}}$.

Vektorë njësie

Vektori me gjatësi 1 quhet vektor njësie ose ort. Dy vektorë janë të barabartë në qoftë se kanë drejtim në njëjtë, kahe të njëjta dhe vlera numerike të barabarta. Në qoftë se së paku njëea nga këto tri veti nuk plotësohet, atëherë themi se vektorët nuk janë të barabartë.

Radius vektorë

Vektorët me fillim në një pikë të fiksuar të hapësirës quhen vektorë të lidhur për një pikë (radius vektorë). Për shembull ekuacioni

$|{\vec {r}}|=1,({\vec {r}}={\vec {OM}})$

ku me ${\vec {r}}$ kemi shënuar vektorin me fillim në një pikë të dhënë ${\vec {O}}$, ndërsa pika e mbarimit është çfarëdo pikë $\mathbf {M}$, paraqet bashkësinë e të gjitha pikave $\mathbf {M}$ me largësi nga pika $\mathbf {O}$, të barabartë me 1; në rrafsh bashkësia e këtyre pikave paraqet rreth, ndërsa në hapësirë sferë. Prandaj

$|{\vec {r}}|=1$

do të jetë ekuacioni i rrethit njësi, respektivisht ekuacioni i sferës njësi.

Vektorë kolinearë

Të gjithë vektorët të cilët shtrihën në një drejtëz të njëjtë quhen vektorë të lidhur për drejtëz ose vektorë kolinearë. Vektorët të cilët janë të lidhur për drejtëz të njëjtë, në qoftë se kanë intensitetin e barabartë, dhe kahe të njëjta, atëherë ata do të jenë të barabartë. Vektorët e një drejtëze të barabartë me vektorin ${\vec {a}}$ në drejtëz ë njëjtë formojnë një klasë ekuivalence, ndërsa vektori ${\vec {a}}$ quhet i lirë. Në veçanti, vektorët në boshtin numerik kanë kahe të njëjta me kahe të boshtit ose të kundërt me të.

Vlera algjebrike $\mathbf {MN}$ e vektorit ${\vec {MN}}$, në boshtë të dhënë, është numri real $+|{\vec {MN}}|$ ose $+|{\vec {MN}}|$ varësisht nga fakti se a ka kahe të njëjta vektori ${\vec {MN}}$ me boshtin numerik apo kahe të kundërta me të

$\mathbf {M} N=+|MN|$

ose

$\mathbf {M} N=-|MN|$

Vlera algjebrike e zero-vektori, d.m.th. e vektorit me intensitet zero është $\mathbf {O}$. Le të jetë ${\vec {a}}$ një vektor i dhënë, atëherë vektorin - njësi me drejtim të njëjtë dhe kahe të njëjta sikurse vektori ${\vec {a}}$ e shënojmë ort ${\vec {a}}$ (ose, bie fjala, ${\vec {a}}_{O}$), prandaj për çfarëdo vektori ${\vec {a}}$ të ndryshëm nga zero - vektori, do të jetë:

${\vec {a}}=|{\vec {a}}|\cdot ort{\vec {a}}$

ose

${\vec {a}}=|{\vec {a}}|\cdot {\vec {a}}_{O}$

respektivisht

${\vec {a}}_{O}={\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}$

Vektor-njësie i boshtit

Drejtëza e orientuar ose boshti, siç dihet është i caktuar me drejtimin dhe kahun e vet e kjo do të thotë se është i caktuar me çfarëdo vektori të vet me kahe të njëjta. Zakonisht, për vektor të tillë në drejtëz mirret vektor-njësie i cili atëherë quhet vektor-njësie i boshtit ose ort i boshtit.

Në boshtin 1 (Figura lartë) le të jetë vektorët ${\vec {AB}}$ dhe ${\vec {CD}}$ me vektornjësinë ${\vec {u}}$. Vektori ${\vec {AB}}$ ka kahe të njëjta me boshtin $l$ (d.m.th. kahe pozitive), ndërsa vektori ${\vec {CD}}$ me kahe të kundërt, atëherë duke pasur parasysh relacionin ${\vec {a}}=|{\vec {a}}|\cdot {\vec {a}}_{O}$ do të jetë:

${\vec {AB}}=|{\vec {AB}}|\cdot {\vec {u}}$

dhe

${\vec {CD}}=-|{\vec {CD}}|\cdot {\vec {u}}$

Meqë vlerat algjebrike të këtyre vektorëve në boshtin $l$ janë:

$AB=|{\vec {AB}}|$

dhe

$CD=-|{\vec {CD}}|$

do të kemi

${\vec {AB}}=AB\cdot {\vec {u}}$

dhe

${\vec {CD}}=CD\cdot {\vec {u}}$

Në përgjithësi, në qoftë se me $\mathbf {a} _{u}$ shënojmë vlerën allgjebrike të vekorit ${\vec {a}}$ në boshtin $l$ atëherë do të jetë:

${\vec {a}}=a_{u}\cdot {\vec {u}}$

Shembull: Le të jenë dhënë vektorët ${\vec {CD}}$ dhe ${\vec {MN}}$ në boshtin $l$

Qartëzi shihet se numri $|{\vec {CD}}|=4$ është vlera algjebrike e vektorit ${\vec {CD}}$ në boshtin $l$, ndërsa numri $-|{\vec {MN}}|=-3$ do të jetë vlera algjebrike e vektorit ${\vec {MN}}$ në boshtin të njëjtë.

Le të jetë në boshtin $l$ i dhënë një vektor-njësie ${\vec {u}}$ me pikën e fillimit $\mathbf {O}$

Vektor-pozite

Çdo pikë $\mathbf {M}$ e boshtit $l$ është përcaktuar me vektorin ${\vec {OM}}$ i cili quhet vektor-pozite i pikës $\mathbf {M}$ ndaj pikës $\mathbf {O}$. Vlera algjebrike e vektorit ${\vec {OM}}$ është abshisa $\mathbf {x}$ e pikës $\mathbf {M}$; në qoftë se kahu i vektorit ${\vec {OM}}$ është i njëjtë me kahun e boshtit $l$ atëherë $\mathbf {x}$ është numër real pozitiv, respektivisht, në qoftë se kahu i vektorit ${\vec {OM}}$është i kundërt me kahun e boshtit $l$ atëherë $\mathbf {x}$ do të jetë numër real negativ. Në këtë mënyrë çdo pike $\mathbf {M}$ në boshtin $l$ i përgjigjet vetëm një vektor ${\vec {OM}}$ respektivisht vetëm një numër real $\mathbf {x}$ (vlera algjebrike e vektorit ${\vec {OM}}$). Pikës $\mathbf {O}$ i përgjigjet zero-vektori respektivisht numri zero. Anasjelltas, çdo numri real $\mathbf {x}$ i përgjigjet në boshtin $l$ vetëm një pikë $\mathbf {M}$ e tillë që të jetë

$x=|{\vec {OM}}|$

respektivisht

$x=-|{\vec {OM}}|$

Numrit zero i përgjegjet pika $\mathbf {O}$.

Le të jenë dhënë dy vektorë ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$. Në qoftë se ekziston numri real $\mathbf {\lambda }$ i tillë që të plotësohet barazimi

${\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {b}}$

atëherë vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$ janë linearisht të varur ose kolinear. Në qoftë se numri $\mathbf {\lambda }$ nuk ekziston atëherë vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$ janë linearisht të pavarur ose jokolinear. Në qoftë se ${\vec {a}}$ është zero-vektor, atëherë $\mathbf {\lambda } =0$, prandaj është kolinear me çdo vektor ${\vec {b}}$. Gjithmonë mund të zgjedhen $\mathbf {\lambda } _{1}$ dhe $\mathbf {\lambda } _{2}$ të tilla që të jetë

$\lambda =-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}$

prandaj nga ${\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {b}}$ rrjedh

$\lambda _{1}{\vec {a}}+\lambda _{2}{\vec {b}}=0$

Shembull: Le të jenë vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$ linearisht të varur e po ashtu ndërmjet veti edhe ektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$. Të tregohet se janë linearisht të varur edhe vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}+{\vec {c}}$.

Zgjidhje: Nga hipoteza se vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$ janë linearisht të varur rrjedh se ekzistojnë numrat realë $\mathbf {\alpha }$ dhe $\mathbf {\beta }$ (së paku njëri prej tyre i ndryshëm nga zero) të tillë që të jetë:

$\alpha {\vec {a}}+\beta {\vec {b}}={\vec {0}}$

Nga ana tjetër gjithashtu supozohet se vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {c}}$ janë linearisht të varur, prandaj ekzistojnë gjithashtu numrat realë $\mathbf {\gamma }$ dhe $\mathbf {\delta }$ (së paku njëri prej tyre i ndryshëm nga zero) të tillë që të jetë:

$\gamma {\vec {a}}+\delta {\vec {c}}={\vec {0}}$

Në qoftë se $\mathbf {\beta } =0$, atëherë $\mathbf {\alpha } \neq 0$ prandaj nga $\alpha {\vec {a}}+0\cdot {\vec {b}}={\vec {0}}$ rrjedh se ${\vec {a}}={\vec {0}}$, prandaj vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {a}}+{\vec {c}}$ janë linearisht të varur. Në mënyrë analoge përfundojmë në qoftë se $\delta =0$. Supozojmë tash se $\beta \neq 0$ dhe $\delta \neq 0$. Atëherë do të jetë:

$\alpha \delta {\vec {a}}+\beta \delta {\vec {b}}={\vec {0}}$

$\gamma \beta {\vec {a}}+\delta \beta {\vec {c}}={\vec {0}}$

respektivisht (në qoftë se i mbledhim tejpërtej të dy barazimet)

$(\alpha \delta +\gamma \beta ){\vec {a}}\pm \beta \delta ({\vec {b}}\pm {\vec {c}})={\vec {0}}$

ku $\beta \delta \neq 0$ që do të thotë se vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}+{\vec {c}}$ janë linearicht të varur.

Këndi ndërmjet dy vektorëve

Kënd i orientuar

Le të jenë vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$ të tillë që ${\vec {a}}={\vec {OA}}$ dhe ${\vec {b}}={\vec {OB}}$ me pikë $\mathbf {O}$ të përbashkët. Le të jetë ${\vec {a}}({\vec {OA}})$ vektori i parë, ndërsa ${\vec {b}}({\vec {OB}})$ vektori i dytë, d.m.th. çifti i vektorëve është çifti i renditur.

Kënd ndërmjet vektorëve ${\vec {OA}}$ dhe ${\vec {OB}}$ është ai kënd për të cilin duhet rrotulluar vektorin e parë ${\vec {OA}}$, në rrafsh, të cilin e përcaktojnë vektorët ${\vec {OA}}$ dhe ${\vec {OB}}$, rreth pikës 0, në mënyrë që drejtimi dhe kahu i tij të përputhen me drejtimin dhe kahun e vektorit ${\vec {OB}}$.

Është e qartë se rrotullimi i vektorit mund të bëhet në dy kahe: Në kahun i cili është i kundërt me kahun e rrotullimit ë akrepave të orës ose në kahun e rrotullimit të tyre. Rrotllimi i parë mirret (sipas marrëveshjes) si pozitiv, ndërsa ai i dyte negativ. Në këtë mënyrë fitohet këndi pozitiv, respektivisht negativ dhe quhet kënd i orientuar.

Thuhet se vektori ${\vec {OA}}$ në rast të parë përshkruan këndin pozitiv, ndërsa në rastin e dytë kënd negativ. Simbolikisht shënohet $\sphericalangle ({\vec {OA}},{\vec {OB}})$ ose $\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ e shpesherë edhe shkurt vetëm $({\vec {OA}},{\vec {OB}})$ ose $({\vec {a}},{\vec {b}})$.

Në qoftë se vektori ${\vec {OA}}$ rrotullohet, siç e përshkruam në sipër, pasi të përshkruajë këndin $\mathbf {\alpha }$ respektivisht $\mathbf {\alpha } -2\pi$ atëherë me drejtim dhe kahe përputhet me vektorin ${\vec {OB}}$. Në të dy rastet vektori ${\vec {OA}}$ mund të rrotullohet edhe më tutje deri sa të përputhet prapë me vektorin ${\vec {OB}}$, atëherë këndi të cilin e përshkruan ai është e qartë se do të jetë $\mathbf {\alpha } +2\pi$ respektivisht $\mathbf {\alpha } -2\pi$. Një mënyrë e tille e rrotullimi e vektorit ${\vec {OA}}$ mund të vazhdojë pa kufi. Pra, do të fitohen këndet

$\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=\sphericalangle ({\vec {OA}},{\vec {OB}})=\alpha \pm 2k\pi ,k\epsilon Z$

ku $\mathbf {Z}$ është bashkësia e të gjithë numrave të plotë.

Pra, qartas po shihet se $\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$, respektivisht $\sphericalangle ({\vec {OA}},{\vec {OB}})$ nuk është plotësisht i caktuar derisa nuk tregohet kahu u rrotullimit dhe numri i rrotullimeve të plota.

Gjithë atë që e cekëm në lidhje me këndin ndërmjet vektorëve ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$ respektivisht këndin ndërmjet vektorëve ${\vec {OA}}$ dhe ${\vec {OB}}$ mund të thuhet edhe për këndin ndërmjet vektorëve ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$, respektivisht vektorëve ${\vec {Ob}}$ dhe ${\vec {Oa}}$ d.m.th. për $\sphericalangle ({\vec {b}},{\vec {a}})$ respektivisht $\sphericalangle ({\vec {OB}},{\vec {OA}})$.

$\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=\alpha +2k_{1}\pi$

dhe

$\sphericalangle ({\vec {b}},{\vec {a}})=-\alpha +2k_{2}\pi ,k_{1},k_{2}\epsilon Z$

atëherë

Fizika

$({\vec {a}},{\vec {b}})+({\vec {b}},{\vec {a}})=2k\pi$

ku

$\mathbf {k} =k_{1}+k_{2}$