Numrat natyralë

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Numra natyralë janë numra të plotë si 1,2,3... (ndër këta numra nuk llogaritet numri zero por në kohët e fundit për përparësitë e tij që ka në bashkësinë e numrave natyral përfshihet edhe numri 0). Me fjalë tjera të gjithë numrat e plotë pozitivë konsiderohen numra natyralë :

\mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}

Matematikani i njohur italian G.Peano (1858-1932) në vitin 1899 e aksiomatizoi aritmetikën e numrave natyralë.

Peano përfshiu në numrat natyralë edhe zeron :

\mathbb{N} = \{\,0, 1, 2, 3, \ldots , n  \}

Përkufizimi aksiomatik i numrave natyralë:

Numër natyral quhet çdo elementet i bashkësisë jo të zbrazët N në të cilen është përkufizuar relacioni " është pasardhës i drejtpërdrejtë i " që plotëson këto aksioma :

Aksiomat e Peanos[redakto | redakto tekstin burimor]

  • 1.1 Aksioma - Ekziston numri natyror  \ 0 i cili nuk është pasardhës i drejtpërdrejtë i asnjë numri natyral.
  • 1.2 Aksioma - Për çdo numër natyror a \in \mathbb{N} , ekiston vetëm një numër natyror a^\prime që është pasardhës i tij,
( \forall a, b \in \mathbb{N} ) a=b \Rightarrow a^\prime = b^\prime
  • 1.3 Aksioma - Secili numër natyror a ^\prime \in \mathbb{N} është pasardhës i jo më shumë se një numri natyror  \ a ,
( \forall a, b \in \mathbb{N} ) a^\prime = b^\prime \Rightarrow a=b
  • 1.4 Aksioma e induksionit - Cilado bashkësi e numrave natyrore \mathbb{M} që ka këto veti:
(a) 1 \in \mathbb{M} dhe (b) a \in \mathbb{M} \Rightarrow a^\prime \in \mathbb{M}
përmban të gjithë numrat natyrore,
\mathbb{M}= \mathbb{N} \Leftarrow \begin{cases} \   1 \in \mathbb{M} \\ a \in \mathbb{M} \Rightarrow a^\prime \in \mathbb{M} \end{cases}

Përkufizimi i mbledhjes së numrave natyralë[redakto | redakto tekstin burimor]