Numrat natyralë

Numra natyralë janë numra të plotë si 1,2,3... (ndër këta numra nuk llogaritet numri zero por në kohët e fundit për përparësitë e tij që ka në bashkësinë e numrave natyral përfshihet edhe numri 0). Me fjalë tjera të gjithë numrat e plotë pozitivë konsiderohen numra natyralë :

$\mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}$

Matematikani i njohur italian G.Peano (1858-1932) në vitin 1899 e aksiomatizoi aritmetikën e numrave natyralë.

Peano përfshiu në numrat natyralë edhe zeron :

$\mathbb{N} = \{\,0, 1, 2, 3, \ldots , n \}$

Përkufizimi aksiomatik i numrave natyralë:

Numër natyral quhet çdo elementet i bashkësisë jo të zbrazët $N$ në të cilen është përkufizuar relacioni " është pasardhës i drejtpërdrejtë i " që plotëson këto aksioma :

Aksiomat e Peanos

• 1.1 Aksioma - Ekziston numri natyror $\ 0$ i cili nuk është pasardhës i drejtpërdrejtë i asnjë numri natyral.
• 1.2 Aksioma - Për çdo numër natyror $a \in \mathbb{N}$ , ekiston vetëm një numër natyror $a^\prime$ që është pasardhës i tij,

$( \forall a, b \in \mathbb{N} ) a=b \Rightarrow a^\prime = b^\prime$

• 1.3 Aksioma - Secili numër natyror $a ^\prime \in \mathbb{N}$ është pasardhës i jo më shumë se një numri natyror $\ a$,

$( \forall a, b \in \mathbb{N} ) a^\prime = b^\prime \Rightarrow a=b$

• 1.4 Aksioma e induksionit - Cilado bashkësi e numrave natyrore $\mathbb{M}$ që ka këto veti:

(a) $1 \in \mathbb{M}$ dhe (b) $a \in \mathbb{M} \Rightarrow a^\prime \in \mathbb{M}$

përmban të gjithë numrat natyrore,

$\mathbb{M}= \mathbb{N} \Leftarrow \begin{cases} \ 1 \in \mathbb{M} \\ a \in \mathbb{M} \Rightarrow a^\prime \in \mathbb{M} \end{cases}$