Ekuacioni i Puasonit

Siméon Denis Poisson

Ekuacioni i Poisson-it është një ekuacion diferencial i pjesshëm eliptik me dobi të gjerë në fizikën teorike . Për shembull, zgjidhja e ekuacionit të Puasonit është fusha potenciale e shkaktuar nga një ngarkesë elektrike e caktuar ose shpërndarja e dëndësisë së masës; me një fushë potenciale të njohur, atëherë mund të llogaritet fusha elektrostatike ose gravitacionale (e forcës). Është një përgjithësim i ekuacionit të Laplasit, i cili gjithashtu shihet shpesh në fizikë. Ekuacioni është emërtuar sipas matematikanit dhe fizikantit francez Siméon Denis Poisson .

Deklarata e ekuacionit

ku integrali është mbi të gjithë hapësirën.

$$\varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}r',$$

Ekuacioni i Poisson-it është

$$\Delta \varphi =f,$$

Në koordinatat karteziane tredimensionale, ai merr formën

$$\nabla ^{2}\varphi =f.$$

Kur $f=0$ në mënyrë identike, marrim ekuacionin e Laplasit .

Ekuacioni i Poisson-it mund të zgjidhet duke përdorur funksionin e Grinit :

$$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).$$

Graviteti Njutonian

Në rastin e një fushe gravitacionale g për shkak të një objekti tërheqës masiv me dëndësi ρ, ligji i Gausit për gravitetin në formë diferenciale mund të përdoret për të marrë ekuacionin përkatës të Poisson-it për gravitetin:

$$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .$$

Meqenëse fusha gravitacionale është konservatore (dhe jorrotulluese ), ajo mund të shprehet në termat e një potenciali skalar ϕ :

$$\mathbf {g} =-\nabla \phi .$$

Duke e zëvendësuar këtë në ligjin e Gausit,

$$\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,$$

jep ekuacionin e Puasonit për gravitetin:

$$\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$$

Nëse dendësia e masës është zero, ekuacioni i Puasonit reduktohet në ekuacionin e Laplasit. Funksioni përkatës i Grinit mund të përdoret për të llogaritur potencialin në distancën r nga një masë pikësore qendrore m (dmth. zgjidhja themelore ). Në tre dimensione potenciali është

$$\phi (r)={\frac {-Gm}{r}},$$

Dinamika e lëngjeve

Për ekuacionet e pangjeshme Navier–Stokes, të dhëna nga

$${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}$$

Ekuacioni për fushën e presionit $p$ është një shembull i një ekuacioni jolinear Poisson:

$${\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}$$