Formula e Leibniz-it për π

Në matematikë, formula e Leibniz për π, e emërtuar sipas Gotfrid Vilhelm Lajbnicit, thotë se

$$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}},$$

një seri e alternuar . Nganjëherë quhet seria Madhava–Leibniz sepse u zbulua për herë të parë nga matematikani indian Madhava i Sangamagramas ose pasuesit e tij në shekullin XIV-XV (shih serinë Madhava ), dhe më vonë u rizbulua në mënyrë të pavarur nga James Gregory në 1671 dhe Lajbnici në vitin 1673. Seria e Tejlorit për funksionin e tangjentës së anasjelltë, e quajtur shpesh seria e Gregorit, është:

$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$

Formula e Lajbnicit është rasti i veçantë ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Konvergjenca

Formula e Lajbnicit konvergjon jashtëzakonisht ngadalë: ajo shfaq konvergjencë nënlineare . Llogaritja e π në 10 numra dhjetorë të saktë duke përdorur mbledhjen e termave të serisë kërkon saktësisht pesë miliardë terma. Për të marrë 4 shifra dhjetore, duhen përdorur 5000 terma të serisë

Megjithatë, formula e Lajbnicit mund të përdoret për të llogaritur π me saktësi të lartë (qindra shifra ose më shumë) duke përdorur teknika të ndryshme të përshpejtimit të konvergjencës . Për shembull, transformimi Shanks, transformimi i Eulerit ose transformimi Van Wijngaarden, të cilat janë metoda të përgjithshme për seritë e alternuara, mund të zbatohen në mënyrë efektive për shumat e pjesshme të serisë Lajbnic. Më tej, kombinimi i termave në çift jep serinë jo-alternuese

$${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}$$

të cilat mund të vlerësohen me saktësi të lartë nga një numër i vogël termash duke përdorur ekstrapolimin e Richardson ose formulën Euler-Maclaurin.