Funksioni Gama

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
grafiku i funksionit Gama

Funksioni gama është një funksion në matematikë i cili shënohet me shkronjën greke Γ i cili është zgjërim i një funksioni tjetër të ashtuquajtur faktoriel për numrat real dhe kompleks. Për numrin kompleks z me pjesë reale pozitive, funksioni gama përkufizohet me shprehjen

 \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt\;.

Ky përkufizim mund të zgjërohet në pjesën e mbetur të rrafshit kompleks por jo për nummrat e plotë negativ.

Nëse n është numër i plotë pozitiv atëherë vlen barazimi

 \Gamma(n) = (n-1)!\,

kjo jep lidhjen me faktorielin.

Përkufizimi alternativ[redakto | redakto tekstin burimor]

Zgjërimi në rrafshin kompleks

Shënimin Γ(z) e futi Adrien-Marie Legendre. Nëse pjesa reale e numrit kompleks z është pozitive (Re[z] > 0), atëherë numri i plotë


\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt

konvergjon apsolutisht. Duke shfrytëzuar integrimin parcial mund të tregojmë se

\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \,\!

prej këtu rrjedh relacioni

n! = n×(n-1)!

Γ(1) e njehsojmë analitikisht:

 \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1.

Me kombinimin e këtyre dy relacioneve tregojmë se faktorieli është rast i veçantë i funksionit gama:

\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

për të gjithë numrat natyral n.

Vlera të veçanta të funksionit gama[redakto | redakto tekstin burimor]


\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

Referencat[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
  • Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
  • Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997
  • Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
  • Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

Lidhje të jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]

Për më shumë[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
  • G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
  • Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.)
  • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)