Induksioni Matematik

Induksioni (i kundërt me deduksionin ) ashtu si edhe metoda induktive në këtë rast shkon nga ajo që është e përveçme dhe e veçantë duke arritur në atë që është e përgjithshme . Induksioni matematik është një metodë e provës matematikore që përdoret zakonisht për të vërtetuar se një pohim është i vërtetë për të gjithë numrat natyrorë, duke filluar me një numër natyror, ose i vërtetë për të gjithë anëtarët e një sekuence të pafundme.

Forma më e thjeshtë dhe më e përdorur e induksionit matematik dëshmon se një pohim i caktuar është i vërtetë për të gjithë numrat natyrorë n dhe përbëhet nga dy hapa:

1. Baza: tregohet se pohimi është i saktë për n = 1 ose për ndonjë vlerë fillestare.

2. Kontroll induktiv ose supozim induktiv: supozohet se pohimi në bazë është i vlefshëm për n = m.

3. Përfundim: vërtetohet se pohimi është i vlefshëm për n = m + 1, pra saktësia e pohimit në rastin e përgjithshëm, për çdo numër n1.

Për shembull:

- "Toka është planet".

- "Toka bën pjesë në sistemin diellor".

kurse konkludimi sipas induksionit

- "Planetet janë pjesë të sistemit diellor".

Metoda induktive është mënyrë e zbatimit të konkluzioneve sistematike, ku në mbështetje të fakteve të ndara dhe të posaçme vie deri te konkluzioni për gjykim të përgjithshëm, nga vrojtimi i rasteve konkrete të veçuara, si dhe të fakteve arrihet deri te konkluzionet e përgjithshme. Mënyra induktive e të konkluduarit ka rëndësi të madhe në shkencë, sepse me këtë mundësohet që nga njohuritë dhe faktet e veçanta, vjen deri te përgjithësimi dhe formësimi i ligjshmërive, përkatësisht deri te dituritë për fakte dhe ligjshmëri të reja.

Shumë fjalorë e përcaktojnë arsyetimin induktiv si derivim i parimeve të përgjithshme nga vëzhgimet specifike, edhe pse disa burime nuk pajtohen me këtë qasje.

Shembuj: Të vërtetohet barazimi :

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ Shohim se është për n=1.

Zgjidhje :-

-Hapi 1 : atëherë $1^{2}={\frac {1(1+1)(2+1)}{6}}={\frac {(1\cdot 2\cdot 3)}{6}}={\frac {6}{6}}=1$ Shohim se është i vërtetë për n=1.

-Hapi 2 :Supozojmë se është e vërtetë për n=k , $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}$

-Hapi 3: Pasi is htojmë të dy anëve të tij (k+1)² , marrim:

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}}+(k+1)^{2}$

Shndrrëojmë anën e djathë të këtij barazimi në këtë mënyrë:

${\displaystyle {\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}}+(k+1)^{2}={{\frac {k+1}{6}}(2k^{2}+7k+6)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{6}}}$Për rrjedhojë:

${\displaystyle {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}={\frac {(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}}}+(k+1)^{2}}$

Gjë që tregon se shprehja për (k+1) është një pohim i vërtet . Ky aryetim është i vërtetë për të gjitha k natyrorë, prandaj , në bazë të induksionit të vërtetë ky pohim është i vërtetë.