Koeficientët e binomit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Koeficientët e binomit përkufizohen për një numër natyral n dhe për të gjithë numrat natyral k jo më të mëdhenj se n si numri i nënbashkësive me k elemente të një bashkësie me n elemente. Shënojmë {n \choose k} (lexohet « n mbi k » ). Duke përdorur faktorielin mund të shënojmë :

{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Këta numra paraqiten në shumë degë të matematikës : zhvillimi i binomit, zbërthimi në seri të pafundme , numri i kombinacioneve pa përsëritje, kanë zbatim në teorinë e gjasës etj.

Përkufizimi algjebrik[redakto | redakto tekstin burimor]

\frac{n (n -1)(n - 2)\cdots (n - k +1)}{k!} = \begin{cases}\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!} & \mbox{nëse } k \in [\![0;n]\!] \quad\mbox{(1)} \\\qquad 0 & \mbox{përndryshe}\end{cases}

Koeficientët e binomit e plotësojnë relacionin rekurent:

 {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} \qquad \mbox{(2)}

i ciliquhet formula e Pascalit.

Ky relacion na mundëson të formojmë trekëndëshin e Pascalit për vlera të vogla të n :

rreshti 0:    1
rreshti 1:    1   1
rreshti 2:    1   2   1
rreshti 3:    1   3   3   1
rreshti 4:    1   4   6   4   1
rreshti 5:    1   5   10  10  5   1
rreshti 6:    1   6   15  20  15  6   1
rreshti 7:    1   7   21  35  35  21  7   1

Binomi i Newtonit[redakto | redakto tekstin burimor]

Koeficientët e binomit paraqiten gjatë zbërthimit të fuqisë së n të binomit x + y :

 (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^k \qquad (3)

Nëse p.sh e vërejmë rreshtin e pestë të trkëndëshit të Pascalit kemi se :

\ (x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5\, .

Shih edhe[redakto | redakto tekstin burimor]