Logaritmet

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Logaritmi i numrit a në bazën e dhënë është numri me të cilin duhet të fuqizohet baza ashtuqë të fitohet numri i dhënë a.

P. sh. logaritmi i 1000 në bazën 10 është 3, sepse 10 në fuqi me 3 na jep 1000 : ashtu 10 × 10 × 10 = 1000 ; logaritmi i 32 në bazën 2 është 5 sepse 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Në gjuhën e fuqive : 103 = 1000, pra log101000  = 3, dhe 25 = 32, pra log232 = 5.

Logaritmi i x në bazën b shkruhet me logb(x) ,

\text{ poqese }x = b^y,\text{ atehere }y = \log_b (x)\,.

Vetitë e logaritmeve[redakto | redakto tekstin burimor]

Le të jenë x dhe b numra real pozitiv atëherë ekziston vetëm një numër real logb(x). Vlera absolute e bazës duhet të jetë e ndryshme nga 0 dhe nga 1 ; zakonisht për bazë merret numri 10, numri e, ose numri 2.

Veti kryesore e logaritmeve është që ata shumëzimin e kthejnë në mbledhje. Kjo sepse :

 b^x \times b^y = b^{x+y} \ ,

pas logaritmit kemi

 \log_b \left(b^x \times b^y \right) = \log_b \left( b^{x+y} \right) \  = x + y = \log_b \left(b^x \right) +  \log_b \left(b^y \right). \

P. sh.

4=2^2 \, \Rightarrow \, \log_2(4)=2 \, ,
8=2^3 \, \Rightarrow \, \log_2(8)=3 \, ,
\log_2(32) = \log_2(4 \times 8) = \log_2(4) + \log_2(8) = 2 + 3 = 5 \, .

shëndrrimi i fuqizimit në shumëzim. Nga identiteti :

 c = b^{\log_b (c )} \ ,

rrjedh se c është fuqi e p :

 c^p = \left(b^{\log_b (c )}\right)^p = b^{p \log_b (c )} \ ,

pas logaritmimit :

 \log_b \left(c^p \right) = p \log_b (c ) \ .

P.sh.

\log_2(64) = \log_2(4^3) = 3\log_2(4) = 6 \, .

gjithashtu me ndihmën e logaritmave pjesëtimi reduktohet në zbritje dhe rrënjëzimi në pjestim. p. sh.

\log_2(16) = \log_2 \left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2(64) - \log_2(4) = 6 - 2 = 4 \, ,
\log_2(\sqrt[3]4) = \frac {1}{3} \log_2 (4) = \frac {2}{3} \, .