1) Numrat paraqiten si shuma e shesheve. Çështja e representability e numrave si shuma e të shesheve, një çështje shumë të vjetër, ai konsiderohet ende në Aritmetike DIOFANTA (rreth 250 vjet para Krishtit), por e saktë që do të thotë se akuzat e DIOFANTA Neyasen.Pravilny përgjigje kesaj pyetje për herë të parë i dha mathematikanti gjerman Girard (Albert Girard) në vitin 1625 dhe pak më vonë se e fermës. Ndoshta Fermat se kishte prova të tij një rezultat, por prova e parë e njohur është dëshmi e Euler, u botua në 1749. Lehtë për të instaluar, që disa numra nuk janë të përfaqësuara si një shumë e shesheve. Së pari, në sheshin e ndonjë edhe numër nga 0 deri në krahasoni mod 4, dhe sheshin e tek ndonjë nga 1 për të krahasuar mod 4. Ajo pason se shuma e çdo dy sheshet në krahasim me 0 0, 0 ose 1 ose 1 1 mod 4, përkatësisht me 0, 1 apo 2 për mod 4.Takim mënyrë, asnjë nga lloji 4k 3 përfaqësohet shumën e dy shesheve . Por ne mund të shkojnë më tej. Le N numrin e thjeshtë është një faktor i tipit q 4k 3; ekuacion X2 Y2 = N sjell krahasuar X2 =- Y2 (mod N), dhe që prej -1 është një katror nonresidues modulo q, kështu që krahasimi është i tretshëm vetëm nëse x = 0 (mod q) y = 0 (mod q). Pra, x dhe janë të ndarë nga q, që këtej, N ndashëm nga P2 dhe ekuacion X2 Y4 = N mund të reduktohet në Q2. Nëse N = q2N1 dhe N1 ende të jetë i ndarë në q, atëherë të njëjtin arsyetim, tregon se N1 ndarë nga Q2, e kështu me radhë, kështu që ne kemi gjetur se shkalla e saktë e q, ndan N, duhet të jetë edhe. Prandaj, në çdo numër i paraqitur si shuma e shesheve, përmban në zgjerimin e saj vetëm edhe thjeshtë gradë e tipit 4K 3. Ish kusht ishte se N nuk duhet të jetë e llojit të 4K 3. Ky kusht është më e fortë, sepse çdo numri i llojeve të 4K 3 përmban të paktën një faktor i thjeshtë i llojit të 4K 3 tepërm në gradë. Nëse ju hidhni numrin e cila, në përputhje me këtë kusht, sigurisht që nuk përfaqësohet shuma e dy shesheve, numri i mbetur Numrat fillojnë me

1,2,4,5,8,9,10,13,16,17,18,20 ... lexuesit përmes njëpasnjëshme mostrat mund të jenë të kënaqur se secili nga këto shifra është e përfaqësuar si shuma e dy sheshet e tërë. Kjo është e vërtetë edhe në rast të përgjithshme: a është e nevojshme dhe e mjaftueshme për një shumë të representability sheshet e thjeshtë është se çdo faktor i tipit duhet të përfshihen edhe në shkallë. Tani provojnë këtë pohim. Rol të rëndësishëm në provë të identitetit luan, duke përfaqësuar të produktit të dy shumat e shesheve si një shumë prej dy sheshet. Ky identitet (A2 B2) (c2 D2) = (ac bd) 2 (ad-BC) 2 Leonardo i takon nga qyteti i Pizës (i njohur si takzheFibonacci), ai e sjell këtë identitetin Abaka në librin e tij në 1202. Çdo numër se ploteson kushtet e mësipërme, përbëhet nga një koeficient i 2, i thjeshtë vida4K 1 dhe sheshet e thjeshtë type 4K 3, përdorimi i identiteteve të përsëritura (1) tregon se në qoftë se secili nga këta faktorë është e përfaqësuar si shuma e shesheve, atëherë është gjithashtu e numrit të përfaqësuara si një shumë prej dy sheshet. Numri 2, të përfaqësuar në formën e 12 12 dhe në qoftë se q është thjeshtë një lloj të 4K 3, kjo do të jetë në formën e Q2 02. Mbetet për të vërtetuar se çdo lloj i thjeshtë 4K 1 përfaqësuar në formën e X2 Y2, kjo rezultat i kësaj, ne do të instalojë në paragrafin tjetër. Ajo që do të ndjekë të mësipërme është kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për të siguruar që numri i të konsiderohet si një shumë e shesheve. Ne jemi të lejohet të dorëzimit të Deklaratë e X2 ku Y2 X dhe Y mund të jenë faktorët obshie (p.sh., P2 = Q2 02), por është shumë e rëndësishme: kërkesën e përbashkët të lehtësuar x dhe y çon në një rezultat, shumë pak të ndryshme nga i mëparshmi. Më shumë për këtë do të përshkruhet në (5) ku teoria, i cili përfshin çështjen e raportimit si një rast special. Simple type 4K 1. Le të shqyrtuar një klasike prova se çdo lloj kryeministri p 4A, 1 përfaqësuara si një shumë prej dy sheshet, kjo dëshmi i takon, në fakt, Euler. Ajo përbëhet nga dy hapa. Hapi i parë është që të përcaktojë nëse një e shumëfishta r përfaqësuar në formën e z 1, hap i dytë, kemi gjetur se të qarkut të përfaqësuar në formën e a. Hapi i parë i është ekuivalent me prova të zgjidhshmëri i krahasim

   1 = 0 (mod p)

për çdo lloj kryeministri p 4A 1. Ne tashmë e dimë se ky është rasti i Euler kriter për katror residues dhe nonresidues (shih V, 3). Hapi i dytë fillon me prova të ngritur tashmë fakt nga të cilat ajo ka më poshtë se ekziston një numër i plotë pozitiv t për të cilat tr z = 1. Ne mund, sigurisht, të supozojmë që shtrihet mes z - r dhe r (kjo mund të arrihet nga zbritni një të shumta të përshtatshme Z p). Duke marrë këtë, ne kemi marrë t =-<--< lumit. Kështu, në veçanti, se nuk ekziston dhe integers x 2 /, i cili kryhet ekuiteteve tr = x nė (2) ku t - një numër natyrore, një më të vogël të qarkut. Tani tregojnë se në qoftë se m> 1, atëherë ekziston një pozitiv t t më pak, për të cilat ekuacion x = tr një është ende në decidable x dhe të gjithë. Kështu (në qoftë se ajo është e arsyetimit për të përsëritur disa herë) do të ndjekë se zgjidhshmëri e ekuacion r - x në., Ku t - 1. Konsideratat janë si më poshtë. Ne define dy gjithë numrat g / g dhe, në mes të gënjyer-t dhe t (duke përfshirë --

Të vërtetë, nëse është edhe t), që janë të krahasueshme, respektivisht, me x dhe t io modulit: dhe X = (mod m); v = a (mod m). (3) Pastaj UV = xy = O (mod m), në mënyrë që mr = (4) numër i plotë për disa d. Vini re se g nuk mund të jetë e barabartë me O, qysh atëhere, v dhe do të jenë të barabarta për të O, prandaj dhe janë multiples x e t, dhe kjo kundërshton të barazisë (2), sepse nga këtu dhe nga (2) se numër prim p ndarë me numrin e ton ai kënaq pabarazisë

   rin? han?

Z. =-<---- <t. Për të shumëfishohen e barazisë (2) dhe (4), duke përdorur identitetin (1). Kjo i jep tgr = (x y) dhe (v) = (hi yv) (xv - yuf. (5) Është me rëndësi të theksohet se secili nga numrat dhe e chi yv xv - ui është i ndarë në t. Të vërtetë, për shkak të krahasimet (3) hi yv = = 2 / = O (mod t) dhe XV - ui = hu - ooh = O (mod m). Si rrjedhim, (5) mund të ndahen në t, i cili u jep g = X me disa integers X dhe ¥. Kështu ne kemi vërtetuar se sugtsestvuet është një numër g natyrore, për të cilat mengpee t g përfaqësohet si shuma e dy shesheve. Siç kemi thënë, kjo është e mjaftueshme për të provuar se të g representability si një shumë prej dy sheshet. Për të ilustruar këtë provë për të forcoj

shembull. Le p = 277 - kjo është thjeshtë një lloj 4A 1. Ne e dimë se krahasimi i 1 z = O (mod 277) është i tretshëm dhe zgjidhja e saj është e lehtë për të gjetur të përzgjedhjes ose me disa ndihmë; YU table indekseve. Numri 2, = 60 është zgjidhja e këtij krahasimi: 60 1 = 3601 = 277 • 13. Pikėnisja e provave, si në rastin obgtsem shërben barazisë 13 • 277 = 60 1. Pas planit, prova tregon numrin e 60 dhe 1 modulo 13; merrni numrat -5 dhe 1. Simple LLOJ 4fc 1 119 Të analogue i barazisë (4) një ekuitet 13-2 = (-5) 1 Sleduyugtsy hap konsiston në të dy ekuacion shumëzimi dhe zbatimit të identitete (1). Get 13-2-277 = (60 1) ((-5) 12) = (60. (-5) S) 2 (60. 1 - 1. (-5)) = 2 (-299) 2 65. Numrat e drejtë, pasi ai duhet të ndahet nga 13, sokrash e të çon në barazi 2. 277 = (-23) 2 51 Pastaj e përsërit këtë proces. Numrat -23 dhe 5, tregohet në modul 2, japin 1, sootvetstvuyush, ekuacion saj ka formën 2-1 = 12 11 Për të shumëfishohen me atë të mëparshme, ai i barazisë dhe përdorimin e identitetit (1), ne kemi marrë 22. 1. 277 = (-23 5) 2 (-23 - 5) = 2 (-18) 2 (-28) 2. Dhe së fundi, 277 = 92 142. Në lidhje me provuar obsh; teoremë duhet theksuar se e dorëzimit të një lumi vetëm (me përjashtim të qartë mundësinë e zëvendësimit x USL në ndryshimin dhe shenjat e tyre). Farm, duke tërhequr vëmendjen për këtë fakt, atë që quhet «teoremë themelore të drejtën e trekëndëshit»: ai që pason SCB; ETS saktësisht një trekëndësh drejtë, hipotenuzë është e barabartë me atë të një / r, e matur perpendikulare numër i plotë pozitiv. Uniqueness e dorëzimit nuk është e vështirë. Supozoni se ekziston barazia p = y = x X Y. (6) Ne e dimë se krahasimi i 2, 2 1 = O (mod p) ka tamam dy zgjidhje: z = h ± (p mod). Mjetet, x = ± hy (mod p) dhe X = ± hy (mod p). Si shenja të numra x, X, Y nesush; estvenny, ne mund të mendojnë se bëhet x = hy (mod p), X = hy (mod p). (7)

Për të shumëfishohen e barazisë (6) dhe të aplikojnë identitetin (1). Pastaj të kemi = (X y) x (Y) = (yVf xx (xY - ooh) Pastaj xY - ooh = O (mod p) me anë të (7). Pra, të dyja janë në anën e djathtë të] 9, barazisë dhe mund të jetë i ndarë në lumë. Kjo i jep një ide e 1 si shuma e dy shesheve, dhe vetëm paraqitjen: 1 = (± 1) 0. Kështu, në barazinë e mëparshme, një nga numrat dhe njëzet xY YY - ooh duhet të jetë e barabartë me 0. Nëse

xY - ooh = O, pastaj, si x, y dhe X, Y janë reciprokisht të thjeshtë, qoftë dhe X X = 2 / = F, ose X - X dhe Y. një =- Në mënyrë të ngjashme, në qoftë se njëzet YY - O, pastaj ose X dhe Y = =- X, ose X Y dhe një =- = X. Në secilin rast, të dy përfaqësitë në (6), në thelb të njëjtën gjë. 3. Design për X nga Rd. A simple p l tipit AK të përfaqësuara si unike në x; matematikë përpjekur për të gjetur shprehje për IW x sa i përket r, si dhe hartimin zakonisht sjell më shumë të kënaqur se sa prova të ekzistencës së një net, edhe pse kufiri mes tyre është jo gjithmonë i qartë në proces. Ka katër harton për x dhe y, ato i përkasin Legendre (1808), gaus (1825), Serre (1848) dhe Yakobshtalyu (1906), ne do të tyre shtetërore, pa hyrë në detajet e provave. Nga interes është diversitetin e metodave të përdorura diversitetin e metodave të përdorura në këto harton. Projekti është bazuar në zgjerimin e Legendre / d në pjesë të vazhdueshme. Ky zgjerim ka formë (IV, 9) 11 111 Qi 92 92 9i 2go periudhë përbëhet nga pjesët e simetrik gi, P2, ..., 9i pasuar nga 2do në një formë të zbatueshme jo vetëm të një lloji të thjeshtë 4A, 1, por edhe me ndonjë numër, e jo një katror i përsosur. Risjell (shih IV, I) se në qoftë se nuk simetrik pjesë qendrore anëtare, të zgjidhshmëri e ekuacion x-ru = -1. E kundërta është gjithashtu e vërtetë, edhe pse ai nuk është provuar në (IV, 11). Legendre fillore mënyrë mjaft për të provuar se në qoftë se r - thjeshtë një lloj 4A, 1, pastaj ekuacion x - = ru - 1 është i zgjidhshëm. Si rrjedhim, në sajë të të sapo-formuluar

= 5 1.

1 (5 V29)[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

«2 = (3 V29) = «3 = (2 l/29) = «4 = (3 l/29) = «5 = 5 l/29. «J 2 Al J «J 4 Vazhdueshme për fraksion / 29, pra, është 5, 2, 1, 1, 2, 10. Ne kemi nevojë të plotë privat - një numri = a, që sot e tutje R = 2 dhe Q = 5, dhe 29 = 22 52. Projektimi i dytë ishte propozuar nga gaus, në formë Term i anasjellë teoremë e një element qendror në zgjerimin nga / r dhe nuk ka kohë të formularit 9 92, 9T, 9T, 92, 9i, 290-lejon juve të vendosi një Tani - një plotë private, nachinayush; eesya në mes të kësaj periudhe, domethënë: 1 1 1) dhe al-s 9 milion-i • • • 91 290 9i Ky është thjesht një fraksion periodike të vazhdueshme, një periudhë e cila përbëhet nga Qraj 9 milion-1, • • •, 9i, 29o, 9i, • • •, 9 milion. Që nga ky

simetrik kohë, ne, si në (IV, 9), ne kemi një = - ku denotes një numri të lidhur me a. Supozoni tani, si në formë të Dr Lev Në tërësi P. P dhe i ekuacion aa = - 1 jep P P p = P Q Kjo - ndërtimin Legendre. Si shembull, e konsiderojnë rastin p = 29. Zgjerimi / 29 pjesë e vazhdueshme në të ardhurat si vijon: design këtë më të thjeshtë (edhe pse për të justifikuar atë, dhe jo aq e thjeshtë). Nëse p = AK, 1 vënë (2A:)! X = (mod m), y = (2K) x (mod p), X dhe ku duhet të zgjedhin midis - r dhe pastaj r = x në. Prova u dha Kogpi (Cauchy) dhe Yakobgptalem (Jacobsthal), të dy e provave nuk është shumë e thjeshtë. Për të ilustruar design, ne kemi vendosur përsëri p = 29. Atëherë = = 1716 = 5 (mod 29), prej = tyre = i5 = 2 (mod 29). Kjo design, në dritën e saj fillore, nuk është shumë i përshtatshëm për llogaritje. I treti design - Projekti i Serre (Serret). Ajo, si ndërtimi i Legendre, duke përdorur fractions vazhdueshme, por këtu poshtë në pjesë të vazhdueshme të menaxhimit. Vë në pjesë të vazhdueshme (h kënaq lidhje 1 = O (mod p) dhe O <h <p). Ne mund të provojnë se të vazhdueshme fraksion ka formën 1 111 1 G = 0. h Qi qm qm Qi qo në mënyrë që një pjesë e vazhdueshme fraksion është simetrik dhe qendror member mungon. Përdorimi i simboleve i Kapitulli IV, ne kemi vendosur qOi 9 • • • 5 9 milion U = [9o, 9 ST-1 Atëherë p = x in. Për shembull, në qoftë se r = 29, pastaj / i = 12, si 12 1 = 145 = 5 • 29. Vazhdueshme fraksion Prandaj 2 2 2 I, = [2, 2] = 5, y = [2] = 2.

/ P (p-a) ku një - çdo numër që nuk është i krahasueshëm me të për të mod O p, dhe shtrihet në disa mbledhje të plotë sistemin e zbritjes, të tilla si numri i n = O, 1, 2, ..., r - 1. Është e lehtë për të provuar se S (a) ligp ka mundur dy vlera: një, kur një - mbetje katror, tjetër, kur një - nonresidues katrore. Për më tepër, këto dy është edhe vlerat, sepse me summand n = O është e barabartë me O, dhe komponente, sootvetstvuyugtsie dhe p-p janë të njejta si (1р) = 1. Vë x = LS (R), y = LS (N) l ku R - është një katror radikal, dhe 7V - një katror nonresidues. Atëherë p = x? / 2. Prova e kjo nuk është shumë e vështirë dhe bazohet kryesisht në përdorimin e shkathët e barazisë (18) Kryetarët e P1. Si shembull, të marrë përsëri p = 29. Le i? = 1, dhe TV = 2 (2 - nonresidues katror modulo 29). Vlera e p (p - 1) mod janë të përbërë prej 29 A dhe numrat 6,-5,2,4,7,-12,11,-5,4,-14,5,9,4, secila prej tyre ka ndodhur dy herë. Shuma korresponduese gtsih ata Legendre simbol është e barabartë me 5, kështu që x = 5. Vlera e p (p - 2) mod janë të përbërë prej 29A dhe numrat -1,4,-8,-2,-1,1,10,3,-14,-6,4,-7,-4,-10, Të njëjtën ndërtesë në një formë paksa te ndryshme u propozua në 1855, Smith (H. JS Smith). Ai donte të jepte një provë të thjeshtë dhe të drejtpërdrejtë se çdo lloj kryeministri numrin 4: 1 për të përfaqësuar si një shumë prej dy sheshet. Mos përdorni këtë krahasim, Smith është provuar se të tilla sugtsestvuet / i, që e <h <dhe e vazhdueshme fraksion ka formën (8). Definimi dhe x 2 / si rangpe, ai provoi, pas Serre, se p = x in. Duke iu kthyer tani në ndërtimin Yakobgptalya (Jacobsthal). Është në bazë të ndërtimit, të ngjashëm në konsideratë (P1, 6) në lidhje me shpërndarjen e residues katror. Konsideroni sleduyugtsuyu sasi Legendre simbole:

marrë dy herë çdo. Vlera totale e Legendre simbol është e barabartë me 2, ku y = 2, 4. Prezantimi i katër sheshet. Girard (Gir -- ARD) Fermat dhe vërejtur se çdo numër natyror përfaqësohet si një shumë prej katër sheshet e integers. Duke pasur parasysh se një përfaqësim të tillë të disa komponente mund të jetë zero, kjo mund të jetë paraphrased teoremë si vijon: çdo numër natyror përfaqësohet si një shumë prej jo më shumë se katër sheshet e numrat natyrore. Disa historianë besojnë se ky fakt ishte i njohur tashmë Диофанту i Aleksandrisë: Ai nuk ka deklaruar e kushteve të domosdoshme për representability e një shume të katër sheshet, por vuri në dukje se shuma e dy apo tre sheshet mund të përfaqësohen ligp të një lloji. Euler gjykohen në mënyrë të përsëritur për të provuar këtë teoremë, por jo-uspegpno. Ai dështoi, ndoshta për shkak të faktit se ai u përpoq të pranishëm secilin numër si një shumë prej dy numra, secili që përfaqëson një shumë prej dy sheshet. Në këtë mënyrë, për të provuar këtë teoremë nuk është e lehtë. Provë e parë u dha nga Lagrange në 1740. Lagrange vuri në dukje se ata ishin të punës së Euler. Prova është e ngjashme me vërtetim të Lagrange e teoremë mbi shumën e dy shesheve, diskutohen në paragrafet. 1 dhe 2, dhe pak e vështirë ligp atë. Në këtë rast gjithashtu ka një identitet, vyrazhayugtsee produkt i dy shumat e katër shesheve si shuma e katër sheshet. Kjo identiteti (i përkasin gtsee Euler) ka formën (a b c d) (A B C D) = = (Al V CC dDf (AB - A - CD DC) 4 (9) (AU bd-CA-dBf (ad-S-dAf ST. Për shkak të këtij identiteti të provojnë se çdo kryeministër të numrit të përfaqësuara si shuma e katër sheshet, pastaj representability numra të përbërë do të ndjekin pas të përsëritur përdorimi i identiteteve. Sepse ne e dimë se kryeministri numri 2 dhe të gjithë të thjeshtë 4A type: 1 paraqiten si shuma e dy shesheve, pastaj ligp mbetet për të provuar se Parashtrimi Katër Square 125 thjeshtë çdo lloj AK G përfaqësohet si një shumë prej katër sheshet. Si në seksionin 2, prova të ndahet në dy hapa. Hapi i parë është se disa dëshmi të shumta të numrit të tr r, ku O <m <r, përfaqësohet si një shumë prej katër sheshet. Në sleduyugtsem hap nga këtu, tregon se lumit veten të përfaqësuar në këtë formular. Hapi i parë do të jetë dëshmi e përfunduar në rast se ne krijimin e zgjidhshmëri për krahasim

   ? / 2 1 = O (mod p).

Të vërtetë, ju mund të zgjidhni një zgjidhje me x dhe është numerikisht më të vogla, dhe ne kemi marrë tr një x = 1 0 t <---- <f. Euler dha një provë të thjeshtë ustanavlivayugtsee solubility (10) pa ndonjë llogaritje. Ndoshta krahasimi (10) në formë të x 1 = u (mod p). Çdo katror nonresidues në krahasim me numrin e llojeve, si nga -1 - katror nonresidues për çdo lloj të thjeshta 4: 3 (P1, 3). Kështu, për të zgjidhur të sipërpërmendura krahasim, kjo është e mjaftueshme për të gjetur të katror residues dhe katror nonresidues R R N të tillë që 1 = N N. Nëse të parë në katror nonresidues seri 1, 2, 3, ..., atëherë kjo gjendje ka gjasa të jenë plotësuar, dhe ku duhet solubility krahasim. Vini re, që ra fjala, se solubility e krahasim (10) është një rast special i një teoremë e Chevalley (W, 8). Ne kemi parë se krahasim x y = 0 (mod p) decidable x z nuk është i krahasueshëm me 0. Duke supozuar z O, përcaktimin dhe X dhe Y në mënyrë që x = Xz = Yz merrni nga U2 1 = 0.

Duke iu kthyer tani hap të dytë e provave, duke filluar me një prezantim –

yugtsemusya Procedura e tr = a (11)

ku O <m <f. Ne do të provojë, si në nenin 2 se në qoftë se m> 1, atëherë ekziston g, lezhagtsee në intervalin O <d <m obladayugtsee dhe të njëjtën pronave si v. Kështu, përsëritjen e këtij arsyetimi, mund të merrni, që e ka këtë 1 pronës dhe, prandaj, r përfaqësuara si shuma e katër sheshet. Le të fillojë me një përshtatjen, 6, c, d, është modulo t, ne numrin e define L, B, C, D, në mënyrë që ata ishin, respektivisht, në krahasim me 6, c, d modulo t dhe plotesojne kushtet e -t <t,-t <W, -t <C-t t <D t Sugtsestvuet numri i g, që TG = D. A B C (12) Numri g nuk është e barabartë me zero, sepse përndryshe të gjitha të L, B, C, D, e barabartë me zero, por dhe të gjithë 6,, (i do të kishte qenë e multiples t. Nga (11) ne do të merrni se automjeti është i ndarë në T r ose të ndarë nga tonë, por kjo është e pamundur për shkak r të thjeshtë, por më shumë se 1 ton por më pak se e qarkut. Pastaj kemi APWWWW=-<--------g=t. Por kjo nuk është e mjaftueshme, ne kemi nevojë që ai ishte më pak se rreptėsisht t. Mundësia e d = t osugtsestvitsya vetëm nëse të gjitha L, B, C, D janë të barabarta për të t. Në këtë rast është edhe t dhe L, B, C, D janë të krahasueshme me t modulo v. Pastaj = (mod m); ngjashme krahasimi ka qenë gjithashtu raportoi për 6, me, d. Nga (11) nënkupton se tr = O (mod m), dhe kjo, siç e kemi parë, është e pamundur. Si pasojë, numri në g (12) kënaq pabarazisë O<y<t. Vazhdimi i dëshmi, që të shtoj të barazisë (I) dhe (12) dhe të aplikojnë identitetin (9). Getting tgr=w, (13)

5] e dhënë nga tre KVADRAT 127 ku, nëpërmjet j;, w identifikon katër shprehjet në të drejtën Pjesa (9). Të gjitha këto janë shprehje të një numri në delyagtsiesya t. Në të vërtetë, X = aa V CC = dd = O (mod m), y = AB - A - CD DC = brk - ba - cd DC = O (mod m); hetohen në mënyrë të ngjashme, dhe z W. Ne mund të zvogëlojë të dy pjesët e barazisë (13), pastaj të ketë një ide të g si një shumë prej katër sheshet. Kjo është provë e teoremë është e gjatë. Për të adduce dëshmi të Lagrange teoremë mbi shumën e katër sheshet progtse pak se tij origjinale prova, dhe sugtsestvu përputhet me prova të dhënë nga Euler më vonë. Ndërsa të dhënat e provave mund të ndryshohen, unë nuk e di ndonjë dëshmi elementare dhe të thjeshtë të parimit otlichayugtsegosya nga kjo. 5. Prezantimi i tre shesheve. Ajo është shumë më e vështirë pyetje. Një nga vështirësitë që ky lloj i identitetit (1) apo (9) nuk kanë vend. Të vërtetë, është e lehtë për të kuptuar se produkti i dy numra, njëri prej të cilave është shuma e tre shesheve, nuk është i obliguar veten të jetë shuma e tre sheshet. Për shembull, 3 = 1 1 1 dhe 5 = 2 1 0, ndërsa 15 nuk janë të përfaqësuara si një shumë prej tre sheshet. Si në seksionin 1, ne mund të krijojë ndonjë numër që nuk janë të përfaqësuara si një shumë prej tre sheshet. Çdo kuti është i krahasueshëm me O, 1 ose 4 modulo 8. Rrjedhimisht, shuma e tre sheshet nuk mund të krahasohet me 7 e 8 mod: 7 nuk mund të përfaqësohet si shuma e tre numra, njëri prej të cilave është e barabartë me O, 1 ose 4. Kështu, numri i llojeve 8A: 7 nuk është prezantuar si shuma e tre sheshet. Përveç kësaj, numri delyagtseesya 4, 4T për shembull, të përfaqësuara si një shumë prej tre shesheve, vetëm nëse ai përfaqësoi shumë t. Të vërtetë, çdo kuti e ngjashme të madhësisë O 1 ose mod 4, në mënyrë që shuma e tre sheshet është i ndashëm nga 4 vetëm nëse të gjitha të numëruara edhe-sheshet. Kështu, numri i tipit 4 (8A: 7), 16 (8A: 7) dhe kështu me radhë si shuma e tre sheshet nuk duken. Voobgtse asnjë nga lloji 4 (8A: 7) nuk është shuma e tre sheshet. Ajo rezulton se çdo specie e një numri të përfaqësuara si një shumë prej tre sheshet. Provë e parë të këtij fakti i dha Legendre, por në rrjedhën e provave, ai bëri me dije se çdo arithmetic progresion një, një, 6 dhe 26, ..., ku dhe b janë reciprokisht të thjeshtë, përmban shumë infinitely kryeministër numra. Kjo është hera e parë në 1837 (p.sh., nëpërmjet dyzet vjet pas Legendre) Dirichlet provuar. Gaus e tij në «arithmetic kërkimore» (Disquisitiones Arithmeticae) dha një provë të plotë të teoremë mbi shumën e tre sheshet e prova të bazuara në rezultatet e vështirë zhvilluar teorinë e tij katror format. A ishin bërë dhe prova të tjera, por asnjëri prej tyre nuk është e thjeshtë dhe themelore. Shënim atij që Kapitulli V. klauzolë 1. Lexues i njohur me numra kompleks, mëson e identitetit (1) barazia = af3 një F3, ku një = a - ib, (3 = c - id. Numrat dhe llojeve - ib me një integers dhe b janë të quajtur integers gaus ; ofrojnë një numër si një shumë prej dy sheshet - pastaj gjejmë një numër i plotë gaus - 6 g me normë të barabartë me f. Në gjuhën e Gaussian integers, teoria merr një formë më izyagtsnuyu. Klauzolë 3. Për referimet, shiko vol. P, ch. 6 dhe vol. HI, ch. 2). Këto struktura, voobgtse thonë, nuk japin për x dhe vlerat pozitive, ndërsa r = 29, kemi pranuar dhe x pozitiv. Klauzolë 4. Identiteti (9) gjithashtu i referohet të quaternions, si identitetin (1) i referohet të numra komplekse (shih komentin libër. 1). Gurvits konsiderohen për katër shesheve duke përdorur quaternions, e shohin këtë (9, ch. 20). Klauzolë 5. Prova e teoremë e tre shesheve, të bazuar në të Dirichlet teoremë mbi arithmetic progressions në lule, është dhënë në librin e llandon (, pp. 114-121). Numri i parashtresat. Mungesa e hapësirës nuk ju lejon të flisni për formulën e njohur për numrin e përfaqësitë e n si një shumë të dy dhe katër sheshet. Në këto formula e llogaritur numrin e përfaqësitë e integers (pozitive, negative dhe zero), të dy nuk janë të njëjtë me përfaqësitë janë të ndryshme. Rregulla për llogaritjen e numrit të parashtresat (propozuar nga Legendre) është si më poshtë. Count numri i divisors e p 4zh type 1 dhe numrin e llojin e divisors p

Shënim atij që KREU V 129 4zh 3. Nëse numri i kompas për të caktuar, respektivisht, përmes Di dhe DS, numri i përfaqësitë e p do të jetë e barabartë me 4: (Di - BR). Për të katër shesheve për të llogaritur numrin e parashtresat është Jacobi, dhe ai e solli atë në një të vetëm të identitetit, svyazyvayugtsego dy seri pakufi. Nëse p është i rastësishëm, atëherë numri i përfaqësitë e një shume të katër sheshet e barabartë 8a (p). Nëse p është edhe, ne kemi vendosur p = 2P ku p është i rastësishëm, atëherë numri i parashtresat dhe do të jetë edhe 24sg (p). Këtu, si në (I, 5), SU (p) denotes shumën e divisors e p. Prova nga këto rezultate mund të gjendet, për shembull, në librin e chs. 16, 20). Numri i përfaqësime si një shumë prej tre sheshet është shumë më kompleks funksion, ajo mund të shprehet në termat e numrit të klasave të katror format (VI, 9).

KAPITULLI VI Katror Forms 1. Hyrje. Në kapitullin V ne Nagai kusht është e nevojshme dhe e mjaftueshme për të representability numrat si shuma e dy shesheve, një kusht që lidhen me shumëzues të thjeshtë se numri. Euler dhe të tjera mathematicians të shekullit tetëmbëdhjetë ishte në gjendje për të gjetur të nevojshme dhe kushtet e mjaftueshme për një representability e 2U ose X Zou; kushtet e tilla janë të shprehura në aspektin e numrit të kryeministrit kompas. Këto matematikë, natyrisht, u përpoqën për të arritur rezultate të ngjashme u obgtsey katror për format. Sipas katror ne forme do të thotë të shprehjes s hu Su yavlyayugtseesya homogjene polinom shkallën e dytë të saj të ndryshueshëm dhe imeyugtsee gjithë coefficients një, 6, pp. Ne limitin veten në konsideratë të dy variablave, apo binary formë, edhe pse ka gjithashtu teorinë e formave në katror tre variablave (tresh formuar) ose nga ndonjë numër të ndryshueshëm. Teoria e formave katror, ishte e para të zhvilluara nga Lagrange në 1773, ai në pronësi shumë e ideve kryesore këtu. Kjo teori u uprogtsena rasgpirena dhe Legendre, dhe gaus, i cili futi shumë koncepte të reja, t'i përdorë ato për të provuar të vështira dhe të thellë theorems uskolzavgpih e Lagrange dhe Legendre. Teoria klasike e katror është se forma e paraqitjes: katror nëse dhënë formë, ajo që është numri? I thjeshtë përgjigje mund të jepet për disa lloj ligp e private, si në x apo x 2U, apo X Zou; obgtsem por në qoftë se një përgjigje për këtë pyetje është shumë larg nga e thjeshtë. Teoria e jep një përgjigje të thjeshtë me disa të tjera pyetje - çështjen e përfaqësimit nuk është në këtë formë të veçantë, por së paku nga një formë e një klasë e formave. Ideja e përgjithshme e teorisë që dalin nga nocioni i ekuivalenca (pjesa 2), janë të rëndësishme në të tjera më të vështirë dhe më të zhvilluar pjesë të teorinë e numrave. Studimi i formave të natyrshme katror hyn në rangun e ideve dhe një mundësi për t'u njohur me ato në kontekstin e ku ata do të trajtohen më me lehtësi. 2. Forma ekuivalente. Konceptet themelore të shoqëruara me forma katror (si dhe me forma të tjera), është nocion

ekuivalencë. Sa më shpejt që të jetë si ju mund të shihni se të dy format e 2 dhe Zhu zh 2U thelb e njëjtë, një është nga një tjetër pozicioneve të variablave. Nuk është e qartë se kështu formën e 2 Ahu do, në fakt, përkon me format e mëparshme. Ky formular mund të jenë të përfaqësuara si 2 (x yf 3y Kur e variablave x dhe të marrin të gjithë vlerën e x numër i plotë dhe do të marrë vlerat, dhe anasjelltas. Është e qartë se çdo pronë e një natyre të përgjithshme në vend, e cila ka formën 2 x 3? / 2, është gjithashtu një tipar i formularin (x 2 y) 3U, dhe anasjelltas. Në veçanti, kjo është e vërtetë për pronat që kanë të bëjnë me representability e numrit të këtyre formave: nëse dihet përfaqësimet e një formë, atëherë sa më shpejt të jetë mund të gjeni prezantimin e këtij numri, dhe formave të tjera. I konsideruar një formë shumë e thjeshtë të lidhur zëvendësim: ku ta vërë XY dhe x = y = U, pastaj 2 = 2x bashkë 4XY 5U Ky zëvendësim është pronë e mëposhtme: nëse x numër i plotë dhe do të marrë vlerat e X dhe ¥ tërësi janë edhe vlerat, dhe anasjelltas. Merrni tani e përgjithshme çështja e zëvendësimit, çfarë lloji të qY px=x,y=rXsy (1) kanë këtë të pronës, dmth, i vendosur një-një korrespondencë midis të gjitha llojet e tërë x,y dhe të gjitha

palë të tjera të gjithë X, Y? Ne nuk të imponojë ndonjë kufizim në coefficients p, q, g, s, edhe pse, natyrisht, është e qartë se ata duhet të jenë të paprekur, si vlera e r = x, y = g korrespondojnë me vlerat X = 1, U = O, dhe vlerat q = x, a = s korrespondojnë me vlerat X = O, U = 1. Nëse të gjitha katër faktor integers, numër i plotë i vlerave të X Y dhe me numër i plotë x dhe vlerat. Ne duam që ajo të jetë e vërtetë. Për të përcaktuar se kur kjo do të zbatohet, është e nevojshme që të shprehin X x dhe nëpërmjet IW. Nëse ju shumëfishohen e parë në barazi s, dhe e dyta nga g dhe heqin një nga një tjetër, ju merrni SX-qy=(ps-qr)X,të ngjashëm En-rx=(ps-qr)Y. Numri ps - qr nuk mund të barabartë me O, pasi që përndryshe sx - qy-ru rx dhe janë gjithmonë të barabarta me O, dhe e variablave x dhe яе do të jetë e pavarur. Marrja Një = ps - qr dhe që ndan të dy të barabartë me A, ne marrjen e shprehur ekuacion X dhe përmes IW me: X=± .-1U,Y=-L,ly.(2) Ja, të gjitha katër raporte duhet të jetë gjithashtu i paprekur. Kjo do të, kuptohet, sepse, në qoftë se A = ± 1. Dhe anasjelltas, të gjitha janë coefficients tërësi vetëm nëse A = ± 1, në të vërtetë, në qoftë se të gjithë katër të koeficienti i të gjithë, kjo do të jetë gjithashtu një numër pqS~gAAAA të barabartë, dhe kjo mund të ligp kur A = ± 1. Kështu, të gjitha coefficients p, q, g, substitutions s duhet të jetë i paprekur dhe numri i ps - qr ± 1 duhet të jetë nëse dhe vetëm nëse është e nevojshme zëvendësimit pronave, p.sh., një krahason çiftit, një palë integers X, dhe F anasjelltas. Shprehja ps - qr përcaktor quhet zëvendësimit. Në mënyrë që të mos e ndërlikojë dalneygpuyu teori, ne përdorim vetëm permutations me përcaktor 1, dhe nuk do të përdorë

permutations me përcaktor -1. E zëvendësimit të specieve (1) me numër i plotë dhe coefficients përcaktor të barabartë me 1 quhet unimodular zëvendësimit. Dy format e lidhur unimodular zëvendësimit, të referuara si ekuivalente. Për shembull, ne kemi parë se formën e 2 mund të konvertohet në formë Zou 2x 4XY zëvendësim XY = x, y = Y; unimodular është kjo veti, atëherë këto forma janë ekuivalente. Jo ndreqim e letrave për të treguar të ndryshueshëm dhe të ndryshimit të tyre me çdo ndërrim, ai është i përshtatshëm për të treguar formën katror hu s me? / 2 nëpërmjet (a, 6, c) dhe simbolikisht shprehin ekuivalenca e dy forma si vijon: (2,0,3) - (2,4,5). Origjinali sample (2,0,3) - (3,0,2) kërkon sqarim. E zëvendësimit, për ndryshimin e variablave, gjegjësisht zëvendësimit x = Y = X, në përputhje me përkufizimin e mëparshme nuk është unimodular, sepse përcaktor saj është e barabartë me -1. Në vend të kësaj, megjithatë, ju mund të përdorni të zëvendësimit x = X Y =- një, e cila është transformuar unimodular dhe (2,0,3) për të (3,0,2). Aplikuara në kushte të përgjithshme, ky zëvendësim i jep (a, 6, c) - (c, -6, a). (3) Duke përdorur termi «ekuivalenca», ne supozojmë se proporcioni i ekuivalenca e të dy formave të ketë disa prona të thjeshta, dhe nëse jo, përdorimin e një termi të tillë mund të jetë mashtruese. Këto prona janë si më poshtë: (i) çdo formë të barabartë me veten (a) në qoftë se një formë është ekuivalente me një tjetër, e dytë është ekuivalente me formën e parë (P1), dy forma të një ekuivalent i tretë, të barabartë me njëri - tjetër. Të gjitha këto fakte të pasojnë menjëherë nga përcaktimi i ekuivalenca e formave. Së pari, çdo formë është ekuivalente me veten: kjo ekuivalenca kryen të njëjtat zëvendësimit x - H, një - Y. Së dyti, në qoftë se një formë është transferuar në një tjetër zëvendësim (1), i dyti është konvertuar në formën e prapme zëvendësimit (2) , ku A = 1. Së fundi, i treti pohim vijon nga fakti se të dy unimodulyarnyepodstanovki aplikohet një pas një tjetër, ju mund të zëvendësojë një unimodular zëvendësimit. Të vërtetë, në qoftë se ju përdorni zëvendësues X=pxqY,GCy=sy,atëherë zëvendësues X = P q7], Y = R St], këto substitutions mund të zëvendësohet nga një zëvendësim x=p (PCQv) q (RcA)y=r(Pq7])s(RA). Që rezultoi zëvendësimit është numër i plotë dhe coefficients përcaktor të barabartë me (Rr qR)(rQ SS)-(pQqS)(PRSR) = = (Ps-qr) (PS-QR) = 1. Me sa duket (siç kemi vënë në dukje në një rast të veçantë) se detyra e paraqitjes në mënyrë të barabartë për regpaetsya forma ekuivalente. Një vëzhgues i ngjashëm mund të jetë bërë në lidhje me problemin e vet të paraqitjes. Ata thonë se numri në fakt përbën një formë (a, 6, c), në qoftë se p = s hu-soo, ku X IW - reciprokisht të thjeshtë integers. Unimodular zëvendësimit converts çdo palë x thjeshtë, një palë pantallona të thjeshta reciproke X, Y dhe mbrapa, të vërtetë, në qoftë se kanë hy X një faktor të përbashkët, e x dhe kanë të njëjtat të përbashkët faktor. Si pasojë, në qoftë se dy forma janë ekuivalente, atëherë ekziston një zëvendësim unimodular, transformon vetë paraqitja e parë në formën e vet të paraqitjes në këtë numër, e dytë të formularit. 3. Discriminants. Discriminant katror formë (a, 6, c) quhet numri - 4as. Kështu, discriminant formë (2,0,3) është e barabartë me -24, discriminant formë (2,4,5) gjithashtu është e barabartë me 42 - 4 • 2 • 5 = -24. Vini re se janë ekuivalente discriminants forma. Kjo është mënyra më e lehtë për të provuar një përllogaritje të drejtpërdrejta. Të vërtetë, të zëvendësimit të aplikohet (1) për të formuar s hu-soo;

3] discriminants 135 të marrë formën HL BXY SD, ku A = Ar rg Strategjisë; B = 2apq b (ps qr) 2crs] (4) C = aq 65 c. Ju mund të shikoni se -AU = (6 - ac) (ps - qrf. (5) Sepse - gr = 1, forma (a, 6, c) dhe (L, B, C) të kenë të njëjtin discriminant. Identiteti (5), natyrisht, nuk varet nga natyra e coefficients r, d, g, 5 zëvendësimit. Kjo është një thjesht algjebrik marrëdhëniet, në mënyrë që të takohemi këtu me një rast special shumë obsh; gjendjen e saj. Funksioni i coefficients e algjebrik formë, për shembull - 4as në rastin tonë, nuk menyayugtsayasya në formën e konvertimit të zëvendësimit me një përcaktor të vetëm quhet algjebrik invariant e formularit. Discriminants e binary format katror - e thjeshta një shembull i tillë invariant. Ekuivalent të ketë të njëjtin format discriminant, por në formën e një discriminant mund të mos jenë të barasvlefshme. Për shembull, forma (1,0,6) dhe (2,0,3) të kenë të njëjtin discriminant -24, por nuk janë të barasvlershme. Për të verifikuar këtë, është e mjaftueshme për të vërejnë se formën e x do të përfaqësojë numri 1, me ta; 1iu = = 0, herë të dytë si një formë e 2 Zou në çdo tërë x s dhe merr vlerën 1. Discriminant katror formë d - numër i plotë, pozitive, negative ose zero. Jo çdo numër i plotë mund të jetë një formë discriminant: 6 - 4as = 6 (mod 4), një kuti e ngjashme të madhësisë O 1 ose mod 4. Prandaj, duhet të jenë të krahasueshme d të O 1 ose mod 4. Vlerat e mundëshme discriminant si vijon: -11, -8, -7, -4, -3, O, 1, 4, 5, 8, 9, ...

Secili nga këto shifra është discriminant e të paktën një formular. Të vërtetë, le d - një numër të krahasueshme me të O 1 ose mod 4, ne mund t'i kënaqë barazinë - Aas = (i, duke supozuar një = 1 dhe marrjen b O ose e barabartë me 1,

në varësi të d nëse është i krahasueshëm me O ose 1 por mod 4, pastaj do të jetë e barabartë për të, respektivisht, me ose-d - - 1). Kështu, ne kemi marrë për çdo formë të caktuar dd discriminant: (l, 0,-rf) ose (l, 0, - (rf l-)) në varësi të cilën të krahasimet, d = O (mod 4) apo d = 1 (mod 4) bëhet. Kjo formë është e quajti kryesore formën e discriminant d. Në veçanti, formë kryesore është një formë e discriminant -4 (1,0,1); ose, si primar formën e discriminant 5 - një formë e (1,1, -1), ose x hu - në. Ka një ndryshim të rëndësishëm në mes të formave të pozitive dhe negative format e discriminant. (Ne nuk do të konsiderojë formën e një zero discriminant, si forma të tilla janë thjesht sheshet e formave lineare.) Konsideroni të parë format e discriminant negative. Shumëfishohen për të formuar 4A dhe «të plotë për të zgjedhur një kuti»: Aaah su hu) = Aah Aahu 4as? / = (2ah byf (4as - 9) në. Numri 4as - pozitivisht. Pra, nëse edhe një nga numrat X IW JO mirë, ai mori një shprehje pozitive, dhe në qoftë se X dhe O janë të barabartë, kjo është edhe shprehje e barabartë me 0. Kështu, të gjithë numrat në formë, e kanë të njëjtën shenjë: ata janë të gjitha pozitive, dhe në qoftë pozitive, dhe negative nëse një negativ. Kjo formë është e quajti një veçanti, më saktësisht, një caktuara pozitive ose negative, në varësi të veçanta dhe emërtim. Negativ përcaktuar formën gjithmonë mund të transformohet në një pozitiv duke ndryshuar shenja të coefficients, prandaj, duke eksploruar disa forma, është e mjaftueshme për të marrë në konsideratë pozitive formën definitive. Shembuj të përcaktuar forma pozitive mund të shërbejë si forma të (1,3,7) ose discriminant -19 (5, -7,5), discriminant -51. Konsideroni tani në formën e discriminant pozitiv. Për këto forma të shprehjes 4as - negative; polozhim4as-6 =- DJ pastaj d> Oi, ne mund të plotë, duke siguruar një kuti, nxjerr në formën e multipliers. Getting Aa (hu su s) = (2ah nga / dy) (nga 2ax - l / dy) = = 4 (x - 9U) (x - (ru) 9 dhe ku (fi formular janë të b ±-VD Ne supozojmë se një here nuk është e barabartë me zero. Numrat 9 dhe (p - numrat reale, e cila, duke folur në përgjithësi, nuk janë të arsyeshëm. Nënshkruajnë e punës (s - 9U) (x - (ru) varet nga nëse gënjen fraksion midis 9 dhe Mon, ose jashtë intervalit mes të ata. Pra, si janë ato vende të tjera, ju mund të marrë formën e dy vlerave pozitive dhe negative. Ky formular quhet pacaktuar. Ku një zero, bile edhe më të lehtë, në këtë rast për të formuar faktorët decomposes Su në (h), dhe e qartë , duke i marrë të dy vlerave pozitive dhe negative. Shembuj të pacaktuar forma: (3,1, -1) ose discriminant 13 (1,4,1) discriminant 12. Vini re se, si në shembullin e fundit, e formuar me coefficients pozitiv mund të pasigurt. Pra, format e discriminant negative janë të vendosur, dhe formën e pozitiv discriminant - pasigurt. Hapi i parë i teorisë mbi të cilën është problemi reduktohet në dorëzimin e barasvlerë, është njëlloj të caktuara, dhe për forma të pacaktuar. Në të ardhmen, teorinë e pacaktuar është dukshëm forma të ndryshme nga teoria e formave të caktuara, për shkak të mungesës së hapësirës, ne do të marrë në konsideratë vetëm disa forma. 4. Dorëzimi i të formularit. Gjej numrat të cilat janë dorëzuar formularin (a, 6, c), është e mjaftueshme për t'u marrë parasysh paraqitjen e tyre. Njohja e numrit të përfaqësuara në fakt, mund të merret duke shumëzuar numrin e pahijshme representable në sheshet e gjithë numrat.

Supozoni se numri dhe formën e pronës (abjc). Le litarë numër, e dorëzimit p = ar rg SU (6) (besoj se litarë reciprokisht të thjeshta). Nëse një formë të caktuar, të themi një identifikim pozitiv, ne do të marrë një pozitiv, nëse të njëjtën formë të padefinuar, atëherë mund të dyja p pozitive dhe negative. Le të supozojmë se p nuk është e njëjtë në zero, mundësinë e p = O luchgpe konsiderohet më vete (dhe nuk është e interesante). Si e litarë të thjeshtë në mënyrë reciproke, ne mund të gjeni dhe integers q ps - qr = 1. Aplikoni tani unimodular zëvendësimit (1) kanë gjetur këtu r, d, g, sa (si). Një krahasim i barazisë (6) me i pari i equations (4) se i pari e mori formën faktor është P. Kështu, ne forme nagpli (nhj), baras me formë (a, 6, c) dhe me një koeficient të paragrafi i parë të kundërtën, çdo formë, e para faktor i cili është e barabartë me p, faktikisht paraqet numrin e p (në I, = 1, y = 0), pastaj një pronë e çdo forme (si), një formë ekuivalente me faktor i parë P. Pra, (a, 6, c) në fakt paraqet numrin dhe vetëm ata që plotësojnë një nga të parët coefficients e formave ekuivalente. Në pamje të parë kjo mund të duket se kjo qasje të problemit është vështirë se do asgjë, megjithatë, është e bazuar të gjitha pasuese teori. Problemi boils down tani në paraqitjen e çështjes së ekuivalenca në kuptimin që tani është e mjaftueshme për të dini se çdo formë e barasvlershme me faktorin e parë dhe formën (si). Nga vygpe formuluar një parim i përgjithshëm, ju mund të bëni një konkluzion të thjeshtë por të rëndësishëm. Forma e (p, / g /) nuk mund të jetë e barabartë me formë (a, 6, c) në qoftë se nuk është e njëjtë discriminant formë discriminant (a, 6, c), pra, nëse nuk është përmbushur barazisë - 4p1 = d, (7) ku d = b - Aas - discriminant e kësaj forme. Me fjalë të tjera, duhet të ketë një / g, të cilat h? - D shumëfishohen 4P,

p.sh., krahasimi duhet të decidable = D (mod 4P), (8) ku p = fq (Ne kemi për të marrë një modul krahasim 4P, 4P dhe jo, si mund të p negative.) Nën disa kufizime të vërtetë. Kjo është: nëse ju e krahasoni (8) është i tretshëm, pastaj sugtsestvuet formën e tipit (p, / g /) discriminant d; të vërtetën, këtë formular nuk është i detyruar të jetë ekuivalente me para-zgjedhur forme (si) Mund të jetë e ardhshme , i treti përfundim: nëse një duhur ndaj çdo forme të discriminant d, pastaj decidable krahasim (8). Në anën tjetër, në qoftë se krahasimi është i tretshëm, pastaj një pronë është një formë e discriminant d. Në disa raste është e thjeshtë se të gjitha format e discriminant d janë ekuivalente me njëri-tjetrin. Pastaj e zgjidhshmëri krahasim (8) është e domosdoshme dhe kusht i mjaftueshëm për të siguruar që ajo në fakt përbën një formë të (a, 6, c) discriminant d. Në paragrafin sleduyugtsem, ne ky parim të zbatohet në tri raste të tilla. Por së pari është e nevojshme për të bërë një koment shtesë. E mësipërme obsh; s parim kërkon për të zgjidhur krahasim (8), dhe pastaj të gjeni se a është i barasvlershëm me formë (a, 6, c) formën (p, / g /), ku / h është barazi? - Ani = d. Kjo do të çojë në konsideratë të një numri të rasteve të pakufi, në qoftë se zgjedhur si zgjidhje të ndryshme h krahasojnë (8). Pa fakt, por me vlerat e konsiderojnë / g, udovletvoryayugtsie kusht 0h <2P, (9) Të vërtetë, nëse h - çdo vendim për të krahasuar (8) dhe (p, / g /) - sootvetstvuyugtsaya atë në formë katror, atëherë ne mund të aplikoni për këtë formë të zëvendësimit X = X uy, një = Y, dhe ku - arbitrare një numër i plotë. Ky zëvendësim converts formën (p, / g /) në formë p (h uYf X (X uy) Y lY. E para faktor të rezultojnë formë është ende e barabartë me p, dhe mesatare raport është tashmë h 2ip. Si rrjedhim, me dy forma të parë faktor p dhe mesatare, otlichayush; imisya në shumë e 2P ekuivalente. Kështu që është e mjaftueshme për t'u marrë parasysh formën në të cilën h kënaq dhe lidhje (8) dhe pabarazisë (9). 5. Tre shembuj. Konsideroni të parë formën e discriminant x -4. Në paragrafin 7 është e vërtetuar se të gjitha format e discriminant -4 janë ekuivalente me njëri-tjetrin. Sepse obsh; parimin e saj ajo vijon se një numër i plotë dhe e pronës ishte një formë e nëse x dhe vetëm në qoftë se krahasimi është i tretshëm / G = -4 (mod 4P). Si udovletvoryayush; ajo në krahasim me këtë duhet të jetë edhe h, atëherë ne mund të ndajë të dy anët e kësaj krahasim me 4, dhe në vend që të marrë në konsideratë krahasim -1 = (N Mod). (10) Çështja e zgjidhshmëri i këtij krahasimi është qartazi e lidhur me teorinë e residues katror. Së pari, sipas obsh; tij parimi upravlyayush; ajo

krahasimeve mbi zgjidhshmëri përbërë modulus (E, 6), është e mjaftueshme për të përcaktuar në se krahasimi është i tretshëm -1 = (Mod /) (11) për çdo shkallë të një numër prim, vhodyash; saj zgjerimin seksion Krahasimi (I) nuk mund të jetë i zgjidhshëm, nëse e qarkut ka formën AK 3, sepse -1 është një katror nonresidues për këtë modul (P1, 3). Nëse p është thjeshtë një lloj 4A: 1, siç është i njohur, me g = 1 ky krahasim është i tretshëm, -1 sepse është një katror residues e një moduli të tillë. Është e lehtë për të provuar nga induksion se krahasimi është i pranishëm dhe nëse i zgjidhshëm për çdo metrikë g. Për shembull, në qoftë se është g 2, pastaj të marrë hi hi ku -1 = (mod p), dhe të përpiqen të kënaqin lidhje -1 h = (mod p), marrja e hi h = TP, ku t - i ri i panjohur. Ne kemi h = l (hi tpf hl = l l 2thip TP.

5] Tre shembuj të 141 Kjo shprehje është e ndarë në lumin nëse (hl l) 2th = 0 (mod p); Këtu e parë termi është supozimin e një numër i plotë. Kjo - në krahasim i lineare t; është i tretshëm, si 2hi nuk mund të krahasohet me të O mod f. I njëjti arsyetim vlen për nivelet më të larta, për të trajtuar një krahasim me d = 3, të marrë numrin e / i tillë që W i2 = -1 (mod p), dhe vë h = h2 TP si rezultat ne përsëri për të marrë lineare krahasimi i t modulo f. Kjo zgjidhet problemi në krahasim e zgjidhshmëri (a) për llojin e zakonshëm 4A: 1, dhe 4A: 3. Ajo mbetet një numër prim 2. Për këtë numër, me g = 1 krahasimi është i qartë decidable (vendimi është një / g = 1). Por nuk është i tretshëm, nëse g 2, si dhe çdo kuti e ngjashme të madhësisë O ose 1 deri në mod 4, dhe kështu nuk mund të krahasohet me -1 për mod 2, me g 2. Prandaj, krahasuar (10) është i zgjidhshëm nëse dhe vetëm nëse nuk ka p thjeshtë faktorët IK type 3 dhe nuk i ndashëm nga 4. Kjo është - e domosdoshme dhe një kusht i mjaftueshëm për përfaqësimin e tyre në formë të px në. Duke supozuar se çdo kuti e shumëzimit, ju merrni kusht për representability e një shume të dy sheshet (ose të pahijshme të vërtetë), tashmë e themeluar në Kapitullin V. Si një shembull të dytë, e konsiderojnë një formë definitive pozitive në x hu discriminant -7. Në paragrafin 7 është e vërtetuar se të gjitha format e discriminant -7 ekuivalente mes veti. Duke marrë këtë, ne duhet të vendosë se cilat janë numrat dhe krahasoni decidable = -7 (Mod 4n). (12) Marrë për naivitet se p është i rastësishëm, në mënyrë që p 4 dhe janë reciprokisht të thjeshtë. Krahasimi / g = -7 (mod 4), sigurisht, është i tretshëm, për shembull, kur h = 1, krahasim / g = -7 (mod p) është i tretshëm për shembull të thjeshtë, ku -7 është katror i residues p mod. Katror reciprocitetit ligjit na tregon atë që r kanë këtë pronë. R Nëse nuk është e barabartë me 7,

që është 1 për të thjeshta p type 7k 1, 7k 2 ose 7A: 4 dhe të barabartë - 1 për kryeministër p 7A type: 3, 7k 5 ose 7k P. Ashtu si më parë, ajo mund të tregohet se në qoftë se krahasimi është i tretshëm për disa modul të thjeshtë, atëherë ai është i tretshëm dhe për këtë çdo e thjeshtë. Mbetet për t'u marrë parasysh rastin r = 7, në këtë rast, krahasimi u? = -7 (Mod 7), me sa duket, është i tretshëm (/ g = 0), por një krahasim i Y? = -7 (Mod 7) nuk është decidable. Kështu, krahasuar (12) në qoftë se është i tretshëm p dhe vetëm nëse nuk është i ndashëm nga 3 thjeshtë llojet e 7k, 7k u 7k P dhe nuk është i ndashëm nga 49. Ky është një kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për vetë representability tek numri i p në formën e hu. Si shembull përfundimtare, e konsiderojnë një formë të papërcaktuar x - 2U discriminant 8. Të gjitha format e discriminant 8 janë ekuivalente me njëri-tjetrin, edhe pse ne nuk i arsyetojnë. Në këtë rast, krahasimi duhet të konsiderohet = 8 (mod 4n), ku p = p, e cila mund të zëvendësohet nga e krahasojmë h? = 2 (mod p). Krahasimi i h? = 2 (mod p) është i tretshëm për llojin e thjeshtë 8A r: 1 ose 8A: - 1, por nuk i zgjidhshëm nëse p - thjeshtë një lloj të 8A: 3 ose 8A: - 3. Nëse] 9 = 2, krahasimi është i zgjidhshëm nëse g = 1, dhe nuk i zgjidhshëm me g 2. Kështu, një numër (pozitiv ose negativ) e pronës është një formë e x - 2U nëse dhe vetëm nëse nuk është prim p divisors nga lloji i 8K dhe 8K 3 - 3 dhe nuk i ndashëm nga 4. Natyrisht, nuk ndodh gjithmonë kështu, se gjendja e të pacaktuar representability varet vetëm në formë dhe të njëjtën p për dhe p-p. Arsyeja për këtë është fakti që këtu formën x - x-2U dhe 2U janë ekuivalente (si të gjitha format e discriminant 8 janë ekuivalente me njëri-tjetrin). 6. Reduktimi pozitivisht disa forma. Sugtsestvuet infinitely shumë forma e discriminant d] mund të jetë i ndarë në klasë, subsuming të dy format në një klasë nëse dhe vetëm nëse ato janë ekuivalente. Ndërsa ne do të shohim më vonë, numri i klasave të formave ekuivalente të discriminant d natyrisht. 6] Zvogëlimi i caktuar pozitive-Forms 143 Supozoni se për çdo formë të formave ekuivalente është e dëshirueshme që të gjeni një formular të thjeshtë. Kjo është arritur me pomogtsyu sjellë teori. Teoria është ndërtuar për të sjellë në mënyra të ndryshme për të përcaktuar dhe të paqartë forma, ne do t'i kufizojë konsideratë e disa formave këtu. Teoria e formave të pacaktuar vështirë të lidhur, dhe mungesa e hapësirës nuk lejon ne që të përshkruajë bazën e kësaj teorie. Bring pozitiv teorinë e formave të caktuara u ndërtua Lagrange. Shënim parë se pozitive-përcaktuar formën e një coefficients janë pozitive dhe c; b mund të jetë pozitiv ose negativ. Ne të përqëndrohet në një dhe 6 dhe të marrë në konsideratë dy ekuivalenca e operacioneve, i cili me pomogtsyu një nga këto shifra mund të reduktohet pa ndryshimin e të tjera. Këto operacione janë si më poshtë: (I) Në rast se c <a, formën (a, 6, c) është zëvendësuar nga një formë ekuivalente (s, -6, a). (P) Nëse unë 6> a, i formuar (a, 6, c) është zëvendësuar nga një formë e ekuivalente (a, 6i, CI), ku bi = b 2ia dhe një numër i plotë dhe është vendosur në mënyrë që unë dhe 6i, me ci mund të jetë për të gjetur të barazisë BL - iaci = d. Të ekuivalenca e (I) osugtsestvlyaetsya një zëvendësim x = =- X, dhe ekuivalenca në (W) - zëvendësim x = X Y = uy përdoren në fund të hap 4. Duke përdorur; YU operacion (I) ne mund të reduktuar, por jo vlerat e ndryshimit Unë 6, al ndihmë; YU operacion (P) 6 rënie, pa ndryshuar dhe vlerat. Nëse ndonjë formë të caktuar, ne mund të aplikoni këtë operacion deri sa të gjeni një formular, i cili nuk i plotëson asnjë nga supozimet e nevojshme që të thahen; estvleniya këto operacione, është e qartë se kjo formë mund të merret nga i përcaktuar numri i hapa. Të coefficients këtë formular të kënaqin pabarazitė dhe me një Unë dhe 6. (13) Kështu, ne kemi vërtetuar se çdo formë definitive pozitive është ekuivalente me formularin e faktorëve të cilët i përmbushin kushtet (13).

Si një ilustrim, të aplikojë procesin e përshkruara në formën (10,34,29) discriminant -4. Këtu 6> një, duke përdorur (II), se do b përkisnin të intervalit prej - 10 deri 10; këtë b zbres nga një prej 20 të shumta të përshtatshme, në këtë rast, 40. Pas heqje të kemi formuar (10, -6,?), E cila Në një faktor i tretë është i panjohur për discriminant. Denoting këtë raport përmes ci, ne gjejmë (-6) - 40ci = -4, ku ci = 1. Formë e re e ka formën (10, -6,1), tani është duke aplikuar një operacion (I), kemi marrë formën (1, 6,10). Pastaj aplikoni (II), e cila do të na çojë në këtë rast, në formën e një mesatare zero. Ne do të marrë formën (1, O?), E cila Në një faktor i panjohur tretë është e barabartë me 1 (se është e vendosur në discriminant vlera). Kështu, ne kemi vërtetuar se kjo formë është e barabartë me formë (1, 0,1). Ndodh që origjinal formën e aplikimit ploteson kushtet e të dy operacione (I) dhe (II). Për shembull, nëse një formë të caktuar (15,17,10), ne mund të fillojnë të përdorin ose (I), pastaj i marrin formë (10, -17,15), ose me përdorimin e (II), e pastaj të marrë formën (15 , -13, 8). Pas kthimit në pabarazitė (13), duke vënë në dukje se në dy raste, ne mund të aplikohen me sukses asnjë nga këto operacione, edhe në qoftë se kushtet (13) janë përmbushur. Së pari, nëse b =- një, e pastaj, duke përdorur (II), mund të jetë për zėvendėsuar dhe b. Së dyti, në qoftë se A, pastaj zbatimin e operacionit (I), mund të ndryshojë shenjë e 6, të marra në mënyrë të tillë që b është pozitive ose zero. Duke marrë parasysh këto dy mundësi, ne gjejmë se çdo formë definitive pozitive është ekuivalente me formularin e faktorëve të cilët i përmbushin kushte: ose një dhe një-<6 a,. . ose c = 06 dhe një a. Në qoftë se faktorët formë pėrmbushin kushtet (14), është e quajti të pranishëm. Ka patur një teoremë me rëndësi të mrekullueshme dhe se ekziston një dhe vetëm një formë të reduktuara të barabartë me këtë formular. Relevant prova nuk është shumë e vështirë, por kërkon të gjitha të njëjtën reasonings më të shkathët se përdoret më sipër. Ideja themelore e provë është

gjetjen e një invariant interpretimin e coefficients e formën që tregon se të reduktohet formë të barabartë me këtë formular

unik. Për shembull, kjo mund të tregohet se të parë një faktor i dhënë formë është numri më i vogël, pronë e të formularit. Për shkak të mungesës së hapësirës ne prova e heq këtë fakt. Çështja e ekuivalenca e dy forma mund të jetë (e për shkak se teoremë), zgjidhet deri në përshtatjen e këtyre formave. Në qoftë se të dyja janë forma të dhënë të njëjtën gjë, e formave origjinale janë ekuivalente, përndryshe, këto nuk janë forma ekuivalente. 7. Duke pasur parasysh formën. Nga pabarazitė (14) lehtë poshtë se atje ka vetëm një numër i caktuar i formave të negativ discriminant d. Të vërtetë, ne kemi vendosur d =- Z), atëherë D, pozitivisht dhe Aas-Y = D. (15) Që nga fuqi (14) 6 Al, e Zas D. Ka vetëm një numër i caktuar i një integers pozitive dhe c të kënaqshme ky kusht, me një zgjedhje të një c dhe (për shkak të (15)) për b nuk është më shumë se dy mundësitë, dhe ku duhet rezultatin e dëshiruar. Numri i të formave të të njëjtit, natyrisht, me numrin e klasave të barasvlefshme me forma, që nga çdo klasë ka saktësisht një formë të reduktuar. Ky numër është numri i klasave të discriminant d. Ndoshta mënyra më e shpejtë për të kthyer formën e discriminant eshte si vijon. Shënim parë se 6 dhe Al 4as = D u. Përveç kësaj, është edhe b, nëse = O (mod 4), dhe i pakualifikuar, në qoftë se = 3 (mod 4) (korrespondon me këtë rast d = 1 (mod 4)). Noticing këtë, ai duhet të jetë mbi të gjitha vlerat b sekret përshtatshme paritet (pozitiv dhe negativ) deri sa të yJD dhe (b D) në formë të Al në të gjitha mënyrat e mundshme, dhe pastaj hedhin triples dhe 6, me të cilat nuk i pėrmbushin kusht (14). Për shembull, në rast d = -4, në mënyrë që = 4, N l / dhe 6chetno, ku 6 = 0. Më tej, 4as = 4, kështu që një = c = 1. Ka vetëm një formë të reduktuar (1,0,1). Ky është i pari shembull i seksionin 5. Konsideroni tani shembull të dytë, paragrafi 5, supozohet se d = -7, dhe rrjedhimisht, D = 7. Pastaj në 6, përveç kësaj, 6 është i rastësishëm, pastaj 6 = 1 ose -1. Pastaj Aas = 1 7 = 8, ku një = 1, = 2. Mundėsia = 6 - 1 duhet të rënë për shkak se nuk është në përputhje me (14). Kështu, në këtë rast, ne kemi vetëm një formë (1,1,2). Në këtë mënyrë, kjo është lehtë të përpilojnë një tavolinë e formave. Tabela II është e përbërë nga format me discriminant nga -3 në -83. Mark * do të thotë një të ashtuquajtur IDLI-tive format - forma në të cilat një coefficients, 6, janë të ndryshme nga 1 obgtsy divider. Imprimitivnaya formën ekzakte të shumëfishta është një e disa formave primitive discriminant e më pak. Këto forma të discriminant formuar një sistem të formave përfaqësuese e discriminant, sistemi i përfaqësuesit e përfshin një formë e çdo klase e formave ekuivalente. Teoria e klauzolës 4 specifikon e nevojshme dhe e mjaftueshme kusht për përfaqësimin e tyre të paktën një nga këto forma, dhe ky është rezultat i kësaj, të referuara në paragrafin 1. Ku SCB; ETS është vetëm një formë të reduktuar, problemi është zgjidhur në paraqitjen e plotë. E vetmja formë të reduktuar në këtë rast është kryesore formë, sepse ai ploteson kushtet (14). Ndonjëherë në gjendje për të zgjidhur problemin e prezantimit dhe në ato raste ku ka më shumë se një e dhënë formë. Konsideroni parë (me përjashtim të imprimitivnye format) nga këto raste, përkatësisht rast d = -15. Këtu janë të rreshtuar dy forma: (1,1,4) dhe (2,1,2). Supozoni se p të parë prej tyre, në mënyrë Një = (2 yf 15u = (2 yf (mod 15). Në qoftë se p nuk është i ndashëm nga 15 vjeç, është e lehtë për të instaluar, dhe që është i krahasueshëm me një nga numrat 1, 4, 6, 9, 10 mod 15. Në mënyrë të ngjashme, në qoftë se një formë dytë është dorëzuar, ne gjejmë se p është i krahasueshëm me atë të

6, с 6, с Ь, с 1, 1 1, 11 0, 16 0, 1 0, 11 0, 8* 1, 2 2, 6* 0, 4*

-2,4 1, 17 0, 3 1, 12 0, 17 2, 2* 1, 4 -1,6 2, 6 -2,6 -1,4 1, 18 0, 2* 0, 12 0, 6* -1,9 0, 5 0, 4 1, 6 4, 4* -1,6 1, 6 0, 13 3, 5 3, 5 -3, 5 -1,3 0, 13 0, 18 0, 6 0, 9 1, 14 0, 6* 1, 7 1, 7 1, 19 3, 3* -1,7 5, 5* 2, 4* 0, 14 0, 19 2, 10* 1, 4 2, 5 2, 5 -1,4 -2,5 -2, 5 0, 8 1, 15 1, 20 0, 4* 1, 10 -1,5 -1, 10 0, 15 0, 5 -1, 5 0, 9 2, 8* 0, 20 2, 4* 0, 10* 0, 3* 1, 16 1, 10 -2,7 -1,8 0, 5 -1,5 4, 6* 3, 6* 1,21 1, 2, 0, 10 0,5 3, 3, 1, 7 -1, 7

Numrat 2, 3, 5, 8, 12 mod 15. Prandaj, ne lehtë mund të bëjnë dallimin e numrit të përfaqësuara të parë formën e përfaqësuar nga numrat formën e dytë, me përjashtim, ndoshta, në multiples e 15. Për të shprehur këtë dallim, gaus futur konceptin e gjini, të dy konsiderohen vetëm forma të them se ata i përkasin të ndryshme genera. Teoria e lindjes, megjithatë, është shumë e ndërlikuar dhe të gjerë për të përshkruar këtu. Kjo mundësi që të bëjnë dallimin ndërmjet numrit të dhënë nga dy forma të ndryshme, të ofruara nga Su-Sh; estvovaniem të këtij moduli (në rastin 15), për të cilin përfaqësohet nga numri dy forma të ndryshme për të përmbushur të ndryshme krahasimet në këtë modul. Kur ky modul nuk është (siç ndodh ndonjëherë), detyra e parashtrimit të veçanta të një formë të sugtsestvu, egtse nuk zgjidhet. Ne mund, për shembull, për të gjetur një kusht për representability e nje forme dhe u lli h /, por nuk e dimë se çdo obsh thjeshta, rregullat e saj, vendimtare; pyetjen e tij, për të cilat nga këto forma të thahen; estvlyaetsya paraqitjes . 8. Numri i parashtresat. Teoria e seksionit 4 jep një kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për përfaqësimin e tyre një formë e discriminant d; ky kusht është që të krahasojnë të zgjidhshmëri e (8). Ju mund të bëni sleduyugtsy hap për të dhe për të shkuar në përcaktimin e numrit të plotë parashtresat e tyre dhe të gjitha format e dhënë discriminant d. Shënoj këtë numër përmes R (n). Nëse SCB; ETS është vetëm një formë të reduktuar discriminant d (p.sh., x, me d = -4), ne te merrni numrin e përfaqësitë e kësaj forme. Ne kemi një teori këtu, me disa të ndihmojë; YU e cila është e vendosur nga R (n)] detajet e provave, ne do të duhet të fshihen. Marrë për natyrshmëri që vetëm një reciprokisht d. Nga këto, në veçanti, se çdo formë e discriminant përfaqësimin stavlyayush; nd p, primitiv si obsh; një faktor s, 6, dhe e ndan p, dhe Te fillojme me të njëjtat konsiderata si në seksionin 4. Ne kemi parë se secili nga idetë e tij dhe formën (a, 6, c), thonë p = ar rg strategji, (16) 8] Numri i paraqitjeve 149 zëvendësim është përgjegjës nga një formë (a, 6, c) në formë të një ekuivalent (p, / i, /) me faktorin e parë dhe e dytë faktor formën (p, / g, /) kënaq lidhje = D (mod 4n) (17) dhe pabarazisë A / g <2n. (18) Për të llogaritur numrin e përgjithshëm të përfaqësime i? (N), ne duhet të llogarisë se sa numra kënaq h (17) dhe (18) dhe numri i parashtresat (16) është një dhe e njëjta h. Le të fillojë me llogaritjen e dytë. I njëjti / g nuk mund të përshkruhet me dy forma të ndryshme: këto forma do të ishte e barabartë me një formë dhe të njëjtën (p, / g /), e cila është e pamundur. Nëse dy përfaqësitë dhe formën (a, 6, c) të çojë në të njëjtin numër / g, përkatëse substitutions mund të kombinohet (duke përdorur të parë, e para zëvendësimit, dhe zëvendësim, pjesa e prapme e dytë) në mënyrë që ajo do të largohem zëvendësim transformon (a, 6, c) të vetë. Është e lehtë për të parë se numri i parashtresat dhe të çojnë në të njëjtat vlera e / g, të barabartë me numrin e unimodular substitutions që konvertohet (s, 6, c) të vetë. Kjo ngre pyetjen se ne ende nuk e kanë konsideruar. Unimodular zëvendësimit, transformon veten në formë, e quajti të zëvendësimit automorphic, automorphism, apo formë. Në të gjitha format, ka dy qartë automorphism: zëvendësimit të njëjtën x = a = Y dhe negative ekuivalente zëvendësimit x =- xy =- U. Në përgjithësi, nuk ka të tjera automorphisms, por ka dy përjashtime. Forma X ka dy automorphism: x = uu dhe =- X x =- F, 2 / = X, dmth, vetëm katër automorphism. Forma x hu kanë pasur katër automorphism shtesë: (I) X Y = x, y =- X (II) x =--X Y, y = X (III) = U x, y =- X-U, (IV) U =- x, y = X Y, pra, vetëm gjashtë automorphisms. Ajo mund të jetë provuar se automorphism listën e plotë të numrit të automorphisms, thonë w, është e barabartë me 6 nëse d = -3; w është 4, në qoftë se d = -4; 2 w mirë dhe në të

raste të tjera. Kjo vlen vetëm për format primitive; imprimitivnaya 2 2U formë është, natyrisht, të njëjtën automorphisms si një formë e x. Kështu, numri i përgjithshëm i R (n) të tyre dhe të perceptimeve të dhënë të gjitha format e discriminant d është bërë nga D herë të numrit të vlerave të h, në lidhje të kënaqshme (17) dhe pabarazisë (18). Ajo mbetet tani për të gjetur një numër të zgjidhjeve të krahasojnë (17), ne kufi veten në konsideratë të posaçme rast d = -4. Our para-dydush saj dhe një sugjerim që reciprokisht vetëm në këtë rast thjesht do të thotë uljen e krahasim paritet tepërm paragrafi (17) në 4 dhe të pabarazisë (18) 2, të gjeni numrin e zgjidhjeve -1 = (N Mod) (19) subjekti 0h <n, (20) Sipas obsh; atij (II, 6), ky numër është i barabartë me produktin e numrit të vendimeve krahasimet -1 = (Mod /) (21) për të gjitha fuqitë e zakonshëm, sostavlyayush; ato f. Krahasimi (21) nuk është i tretshëm për të gjithë p 4A type: 3 dhe ka dy zgjidhje, nëse p = 4: të 1ig = 1. Duke përdorur; YU metodë përdoret në paragrafin 5, lehtë mund të provojnë se nëse p = 4A: 1, dhe kur ai> 1 do të jetë saktësisht dy zgjidhje. Kështu, numri i zgjidhjeve (19) është e barabartë me O, nëse p është së paku një faktor i tipit 4A: 3 dhe nëse është 2 p s është lloj tjetër i thjeshtë multipliers 4A: 1 dhe të një lloji të vetëm shumëzues 4A: 3. Sa për formën e x është në w = 4, numri i tyre përfaqësitë e tek dhe një formë e x është e barabartë me 4-2% s nëse është një lloj të ndryshme të thjeshtë faktorët 4A: 1 nuk ka një shumëzues lloji të vetëm IK 3. Nëse p është e thjeshtë, së paku, një faktor i tipit 4A: 3, formën e vetë me x nuk është numri i P. Submissions mund të ndahen në grupe prej 8 përfaqësimet në secilin grup janë fituar duke paraqitur një ndryshim i karaktere X dhe unë duhet të zëvendësojnë x. Prandaj, numri i të ndryshme përfaqësime sugtsestvenno nuk është 4 • 2 dhe 2 ".

9] Numri i klasave 151 9. Numri i klasave. Shënoj me C (d) numri i klasave të formave të discriminant të barabartë me numrin e format e discriminant d. Kufizo konsideron veten për thjeshtësi discriminant për të cilën çdo formë e primitiv dhe ata quhen themelore discriminants. Këtu janë disa shembuj nga tabela II: P (-3) = 1, P (-4) = 1, P (-51) = 2, P (-71) = 7. Ne mund, sigurisht, për të interpretuar C (d) numri i triples (një