Teorema e Pitagorës

Demonstrimi grafik i teoremës së Pitagorës

Teorema e Pitagorës thotë: Në çdo trekëndësh këndrejtë shuma e katrorëve të ndërtuar mbi katete është e barabartë me katrorin e ndërtuar mbi hipotenuzë.

$a^2+b^2=c^2.\,\!$

Përgjithësimi i teoremës së Pitagorës quhet Teorema e kosinusit ose teorema e Al-Kasshit.

Vërtetimi

Skeda:Proof-Pythagorean-Theorem.svg Ky vërtetim bazohet në proporcionalitetin e brinjëve të trekëndshave të ngjajshëm.

Le të jetë ABC një trekëndësh këndi i drejtë i të cilit është në kulmin C, shih figurën. Lëshojmë lartësinë nga kulmi C, dhe dhe e shënojmë me H pikëprerjen e saj me brinjën AB. Atëherë trekëndëshi ACH është i ngjajshëm me trekëndëshin ABC, sepse të dy kanë një kënd të drejtë (sipas përkufizimit të lartësisë), dhe këndin te kulmi A e kanë të përbashkët. Me arsyetime të ngjajshme mund të tregojmë se trekëndëshi CBH është i ngjajshëm me trekëndëshin ABC. Nga ngjajshmëria përfundojmë se ...

$BC=a, AC=b, \text{ dhe } AB=c, \!$

kështuqë

$\frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ dhe } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,$

prej këtu

$a^2=c\times HB \mbox{ dhe }b^2=c\times AH. \,$

Nëse i mbledhim këta brazime fitojmë se

$a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .\,\!$

Me fjalë tjera kjo është teorema e Pitagorës:

$a^2+b^2=c^2.\,\!$

Lidhje të jashtme

• Pythagorean Theorem (më shumë se 70 vërtetime të ndryshme )
• Pythagorean Theorem and Right triangle formulas