Vlera absolute

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Vlera absolute e nje numri mund te konsiderohet si distanca e tij nga zero-ja.

Në matematikë vlera absolute ose moduli |x| i një numri real x është vlera jo-negative e x pa marrë në konsideratë shenjën e tij. Si rrjedhim për numrat pozitive, më të mëdhenj se zero, |x| = x, ndërsa për numrat negative |x| = −x, dhe për numrin zero |0| = 0. Në boshtin numerik vlera absolute e një numri mund të konsiderohet si largësia e tij nga zeroja.

Përgjithësime të vlerës absolute të numrave reale mund të bëhen dhe për bashkësi të tjera numrash si psh për numrat komplekse, hapësirat vektoriale, fushat etj. Koncepti i Vlerës Absolute është i lidhur me konceptet e magnitudës, distancës, normës.

Terminologji[redakto | redakto tekstin burimor]

Jean-Robert Argand përdori për herë të parë termin "module", dmth 'njësi matëse' në Frëngjisht, në vitin 1806 për vlerën absolute të numrave kompleks [1][2]. Më pas në 1866 ky term u huazua në Anglisht si ekuivalenti Latin i fjalës "modulus".[1] Termi "modul" në frëngjisht u përdor në këtë kuptim nga viti 1806 [3] dhe në anglisht "absolute value" nga viti 1857 [4] .

Shënimi matematikor ose simboli me dy vija vertikale |X| u përdor për herë të parë nga Karl Weierstrass in 1841.[5]. Emërtime të tjera për vlerën absolute janë "vlera numerike" [1] dhe "magnituda".[1]

I njëjti simbol është përdorur në bashkësitë për të treguar kardinalitetin e bashkësisë. Kuptimi i simbolit varet nga konteksi i përdorimit.

Përkufizimi dhe vetitë[redakto | redakto tekstin burimor]

Numrat Reale[redakto | redakto tekstin burimor]

Përkufizimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Për cdo numër real x vlera absolute e tij shënohet me |x| dhe përkufizohet si: |x| = \begin{cases} x, & \mbox{if }  x \ge 0  \\ -x,  & \mbox{if } x < 0. \end{cases} .

Vlera absolute e një numri real x është gjithmonë një numër pozitiv ose 0, por asnjëherë numër negativ.

Vëmë re që |x|=\max(x,-x).

Vetitë[redakto | redakto tekstin burimor]

Për cdo numër real a dhe b vlera absolute gëzon vetitë e mëposhtme:

  • |a| \geqslant 0
  • |a|=0 \Leftrightarrow a = 0
  • |ab|=|a| \times |b|
  • \mbox{Si }b \neq 0,\  \left|\frac{a}{b}\right| =\frac{|a|}{|b|}
  • |a+b| \leqslant |a| + |b|\ (mosbarazim trekëndorsh)
  • |a - b| \geqslant ||a|-|b||\ (mosbarazim trekëndorsh)
  • \left|\sum_{i=1}^n a_i\right|\leqslant \sum_{i=1}^n |a_i|\ (mosbarazim trekëndorsh i përgjithësuar për një familje numrash (a_i)_{1 \leqslant i\leqslant n})
  • |a|=\sqrt{a^2}
  • |a| \leqslant b \Leftrightarrow - b \leqslant a \leqslant b (ku b një numër real pozitiv, nëse b është negativ nuk ka zgjidhje)
  • |a| \geqslant b \Leftrightarrow a \leqslant -b \mbox{ ou } a \geqslant b (nëse b është negativ, atëherë zgjidhje jane të gjithë numrat real)




  1. ^ a b c d Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008
  2. ^ Nahin, O'Connor and Robertson, dhe functions.Wolfram.com.; dhe në Frëngjisht lexo Dictionnaire de la langue française (Littré), 1877
  3. ^ Lazare Nicolas M. Carnot, Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace, p. 105 at Google Books
  4. ^ James Mill Peirce, A Text-book of Analytic Geometry at Google Books. Citimi më i vjeter në Botimin e dytë të Oxford English Dictionary është në 1907. Termi "vlerë absolute" përdoret gjithashtu në kontrast me "vlerën relative".
  5. ^ Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences.