Ekuacioni Marchenko

Në fizikën matematike, më konkretisht problemi njëdimensional i shpërndarjes së anasjelltë, ekuacioni Marchenko (ose ekuacioni GLM ), i emërtuar sipas matematikanëve Israel Gelfand, Boris Levitan dhe Vladimir Marchenko, rrjedh duke llogaritur transformimin Furier të relacionit të shpërndarjes:

$K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\int _{r}^{\infty }K(r,r^{\prime \prime })g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm {d} r^{\prime \prime }=0$

Ku $g(r,r^{\prime })\,$ është një bërthamë simetrike, e tillë që vlen vetia simetrike $g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),\,$ e cila llogaritet nga të dhënat e shpërndarjes. Duke zgjidhur ekuacionin Marchenko, fitohet bërthama e operatorit të transformimit $K(r,r^{\prime })$ nga i cili mund të lexohet potenciali. Ky ekuacion rrjedh nga ekuacioni integral Gelfand-Levitan, duke përdorur paraqitjen Povzner-Levitan .

Zbatim në teorinë e shpërndarjes

Supozoni se për një potencial $u(x)$ për operatorin e Schrödingerit $L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x)$, merren të dhënat e shpërndarjes $(r(k),\{\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}\})$, ku $r(k)$ janë koeficientët e reflektimit nga shpërhapja e vazhdueshme, të dhëna në funksion $r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$, dhe parametrat realë $\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0$ janë nga spektri i kufizuar diskret.

Atëherë përcaktohet

$$F(x)=\sum _{n=1}^{N}\beta _{n}e^{-\chi _{n}x}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }r(k)e^{ikx}dk,$$

ku $\beta _{n}$ janë konstante jo zero, që janë zgjidhje për ekuacionin GLM

$$K(x,y)+F(x+y)+\int _{x}^{\infty }K(x,z)F(z+y)dz=0$$

për $K$ lejon rikuperimin e potencialit duke përdorur formulën

$$u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).$$