Spiralja e djathtë (cos t, sin t, t ) për 0 ≤ t ≤ 4 π me majat e shigjetave që tregojnë drejtimin e rritjes së ndryshores t
Një heliks është një formë si një heqëse tapash ose shkallë spirale . Është një lloj lakore e hapësirës së lëmuar me vija tangjente në një kënd konstant ndaj një boshti fiks. Spiralet janë të rëndësishme në biologji , pasi molekula e ADN-së formohet si dy spirale të ndërthurura, dhe shumë proteina kanë nënstruktura spirale, të njohura si spirale alfa . Fjala heliks vjen nga fjala greke ἕλιξ , "i përdredhur, i lakuar". Një spirale "e mbushur" - për shembull, një rampë "spiral" (spiral) - është një sipërfaqe e quajtur helikoid .
Një spirale e përbërë nga përbërës sinusoidalë x dhe y
Në matematikë , një spirale është një kurbë në hapësirën 3- dimensionale . Parametrimi i mëposhtëm në koordinatat karteziane përcakton një spirale të veçantë; ekuacionet më të thjeshta parametrike për një spirale janë:
x
(
t
)
=
cos
(
t
)
,
y
(
t
)
=
sin
(
t
)
,
z
(
t
)
=
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\cos(t),\\y(t)&=\sin(t),\\z(t)&=t.\end{aligned}}}
Ndërsa parametri
t
{\displaystyle t}
rritet, pika (
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
{\displaystyle x(t),y(t),z(t)}
) gjurmon një spirale të djathtë me hap 2π (ose pjerrësi 1) dhe rreze 1 rreth boshtit
z
{\displaystyle z}
, në një sistem koordinativ të dorës së djathtë.
Në koordinatat cilindrike (
r
,
θ
,
h
{\displaystyle r,\theta ,h}
), e njëjta spirale është e parametrizuar nga:
r
(
t
)
=
1
,
θ
(
t
)
=
t
,
h
(
t
)
=
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}r(t)&=1,\\\theta (t)&=t,\\h(t)&=t.\end{aligned}}}
Një mënyrë tjetër për të ndërtuar matematikisht një spirale është të vizatojmë funksionin me vlera komplekse
e
x
i
{\displaystyle e^{xi}}
si funksion të numrit real
x
{\displaystyle x}
(shih formulën e Euler-it ). Vlera e
x
{\displaystyle x}
-it dhe pjesët reale dhe imagjinare të vlerës së funksionit i japin këtij grafiku tre dimensione reale.
Një spirale rrethore me rreze a dhe pjerrësi a/b shprehet në koordinata karteziane si:
t
↦
(
a
cos
t
,
a
sin
t
,
b
t
)
,
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]}
ka një gjatësi harku prej
A
=
T
⋅
a
2
+
b
2
,
{\displaystyle A=T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}
një lakim të dhënë nga
|
a
|
a
2
+
b
2
,
{\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}},}
dhe një torsion:
b
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}
Një heliks është funksioni me vlera vektoriale
r
=
a
cos
t
i
+
a
sin
t
j
+
b
t
k
v
=
−
a
sin
t
i
+
a
cos
t
j
+
b
k
a
=
−
a
cos
t
i
−
a
sin
t
j
+
0
k
|
v
|
=
(
−
a
sin
t
)
2
+
(
a
cos
t
)
2
+
b
2
=
a
2
+
b
2
|
a
|
=
(
−
a
sin
t
)
2
+
(
a
cos
t
)
2
=
a
s
(
t
)
=
∫
0
t
a
2
+
b
2
d
τ
=
a
2
+
b
2
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}}
Pra, një spirale mund të riparametrizohet në funksion të
s
{\displaystyle s}
, e cila duhet të jetë shpejtësia njësi:
r
(
s
)
=
a
cos
s
a
2
+
b
2
i
+
a
sin
s
a
2
+
b
2
j
+
b
s
a
2
+
b
2
k
{\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }
Vektori tangjent njësi është
d
r
d
s
=
T
=
−
a
a
2
+
b
2
sin
s
a
2
+
b
2
i
+
a
a
2
+
b
2
cos
s
a
2
+
b
2
j
+
b
a
2
+
b
2
k
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }
Vektori normal është
d
T
d
s
=
κ
N
=
−
a
a
2
+
b
2
cos
s
a
2
+
b
2
i
+
−
a
a
2
+
b
2
sin
s
a
2
+
b
2
j
+
0
k
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }
Kurbatura (lakimi) e saj është
κ
=
|
d
T
d
s
|
=
|
a
|
a
2
+
b
2
{\displaystyle \kappa =\left|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right|={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}
Vektori normal i njësisë është
N
=
−
cos
s
a
2
+
b
2
i
−
sin
s
a
2
+
b
2
j
+
0
k
{\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }
Vektori binormal është
B
=
T
×
N
=
1
a
2
+
b
2
(
b
sin
s
a
2
+
b
2
i
−
b
cos
s
a
2
+
b
2
j
+
a
k
)
d
B
d
s
=
1
a
2
+
b
2
(
b
cos
s
a
2
+
b
2
i
+
b
sin
s
a
2
+
b
2
j
+
0
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}}
Torsioni i tij është
τ
=
|
d
B
d
s
|
=
b
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle \tau =\left|{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}\right|={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}