Integrimi me pjesë

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

analizë, integimi me pjesë është një rregull që transformon integralin e prodhimit të funksioneve në integrale më të thjeshta. Ky rregull bazohet tek formula për derivatin e prodhimit të funksioneve.

Nëqoftëse u = f(x), v = g(x), dhe diferencialet du = f '(xdx dhe dv = g'(xdx, atëhere rregulli i integrimit me pjesë pohon se

\int u\, dv=uv-\int v\, du,\!

pra:

\int f(x) g'(x)\, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx.\!

Rregulli[redakto | redakto tekstin burimor]

Supozoni se f(x) dhe g(x) janë dy funksione të diferencueshme dhe të vazhdueshme. Rregulli i prodhimit pohon se

(f(x)g(x))' = f(x) g'(x) + f'(x) g(x)\!

Duke integruar të dyja anët marrim:

f(x) g(x) = \int f(x) g'(x)\, dx + \int f'(x) g(x)\, dx\!

Duke rriregulluar termat kemi:

\int f(x) g'(x)\, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx\!

Nga barazimi i mëlartëm marrim rregullin e integrimit me pjesë, i cili pohon se, në një interval të dhënë me pika fundore a dhe b,

\int_a^b f(x) g'(x)\, dx = \left[ f(x) g(x) \right]_a^b - \int_a^b  f'(x) g(x)\, dx\!

ku përdorim simbolikën e zakonshme

\left[ f(x) g(x) \right]_a^b = f(b) g(b) - f(a) g(a).\!

Rregulli del të jetë i vërtetë duke përdorur rregullin e prodhimit për derivatet dhe teoremën themelore të analizës matematike. pra


\begin{align}
f(b)g(b) - f(a)g(a) & = \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) )\, dx \\
& = \int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x)\, dx.
\end{align}

Në tekstet shkollore, rregulli jepet duke përdorur integralin e pacaktuar në formën

\int f(x) g'(x)\, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx\!

ose , nqs u = f(x), v = g(x) dhe diferencialet du = f ′(xdx dhe dv = g′(xdx, atëhere merr formën :

\int u\, dv=uv-\int v\, du.\!