Transformimi i Furierit në kohë diskrete

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

analizën e Furierit, Transformimi i Furierit në kohë diskrete (TFKD) (angl: discrete-time Fourier transform (DTFT)) është një nga format e veçanta të analizës së Furierit. Si i tillë, ai transformon një funksion në një funksion tjetër, i cili jep paraqitjen e sinjalit (funksionit) në fushën e frekuencave, ose thjesht "TFKD", të funksionit origjinal (i cili zakonisht është një funksion në fushën kohore). Duhet thënë se TFKD kërkon si input (funksion eksitues) një funksion që është diskret. Sinjale te tilla merren duke marre kampione nga një funksion i vazhdueshëm në kohë, si p.sh. zëri i një personi.

Paraqitja e TFKD-së në fushën e frekuencave është gjithmonë një funksion periodik. Meqenëse një periodë e funksionit përmban të gjithë informacionin unik të funksionit, zakonisht thuhet se TFKD-ja është transformimi tek një fushe frekuencash e cila është e fundme (me gjatësinë e një periode), në krahasim me të gjithë vijën reale.

Përcaktimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Po te kemi nje bashkesi diskrete te numrave reale ose komplekese : x[n], \; n\in\mathbb{Z} (numra të plotë), transformimi i Furierit në kohë diskrete (ose TFKD) i x[n]\, zakonisht shkruhet si:

X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}.

Lidhja me marrjen e kampioneve të funksionit (samplimin)[redakto | redakto tekstin burimor]

Periodiciteti[redakto | redakto tekstin burimor]

Transformimi invers[redakto | redakto tekstin burimor]

Transformimi i meposhtem jep nje sekeuence diskrete ne kohe:

x[n]\, = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(\omega)\cdot e^{i \omega n} \, d \omega
= T \int_{-\frac{1}{2T}}^{\frac{1}{2T}} X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f nT}\, df.

Integrali eshte mbi nje periode te plote te TFKD, e cila do te thote se kampionet nga x[n] jane ne te njejten kohe koeficentet e zgjerimit të serisë së Furierit te TFKD.   Limitet infinite te integrimit ndryshojne transformimin ne tarnsformimin e Furierit me vazhdimësi kohore, [inversi], i se ciles prodhon nje sekuence impulsesh Diraku. Pra:


\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df
&=\int_{-\infty}^\infty \left(T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\ e^{-i 2\pi f T n}\right)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} T\cdot x(nT) \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi f T n}\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t - n T).
\end{align}

Sekuenca me gjatësi te fundme[redakto | redakto tekstin burimor]

Diferenca midis TFKD dhe transformimeve të tjera të Furierit[redakto | redakto tekstin burimor]

TFKD eshte e kuderta e serive te Furierit, per vete faktin se kjo e fundit ka nje input periodik te vazhdueshem dhe nje spekter diskret. Aplikimet e dy transformimeve jane shume te ndryshme megjithate. TDF dhe TFKD mund te shikohen si rezultatet logjike te aplikimit te transformimit standart te Furierit tek bashkesite me informacione diskrete.

Lidhja me transformimin Z[redakto | redakto tekstin burimor]

Tabele e transformimeve te Furierit në kohë diskrete[redakto | redakto tekstin burimor]

Disa çifte transformimesh te zakonshme jepen me poshte. Notacioni i meposhtem aplikohet :

\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0           & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases}
\operatorname{tri}(t) = \and (t) = 
\begin{cases}
1 + t; & - 1 \leq t \leq 0 \\
1 - t; & 0 < t \leq 1 \\
0 & \mbox{otherwise} 
\end{cases}
Fusha kohore
 x[n] \,
Fusha e frekuencave
  X(\omega) \,
Shënime
\delta [n] \! 1 \!
\delta [n - M] \! e^{-i \omega M} \! numer i plote M
\sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta[n - M m] \, \sum_{m = -\infty}^{\infty} e^{-i \omega M m} = \frac{1}{M}\sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta \left( \frac{\omega}{2\pi} - \frac{k}{M} \right) \, numer i plote M
u[n]\! \frac{1}{1-e^{-i \omega}} \!
e^{-ian} \!  2\pi \delta (\omega + a)  \, numer real a
\cos (a n) \! \pi \left[ \delta (\omega - a) + \delta (\omega + a) \right] numer real a
\sin (a n) \! \frac{\pi}{i} \left[ \delta (\omega - a) - \delta ( \omega + a) \right] numer real a
 \mathrm{rect} \left[ { ( n - M/2 ) \over M  } \right]  { \sin[ \omega (M+1) / 2 ] \over \sin( \omega / 2 ) } \,  e^{ -i \omega M / 2 } numer i plote M
\operatorname{sinc} [(a + n)] e^{i a \omega} \! numer real a
W\cdot \operatorname{sinc}^2(W n)\, \operatorname{tri} \left( { \omega \over 2\pi W } \right) numer real W
0 < W \le 0.5
W\cdot \operatorname{sinc} [ W (n + a)] \operatorname{rect} \left( { \omega \over 2\pi W } \right) \cdot e^{j a \omega} numer real W, a
0 < W \le 1
 
\begin{cases}
0 & n=0 \\
\frac{(-1)^n}{n} & \mbox{elsewhere}
\end{cases}
j \omega punon si nje filtër diferencues
\frac{W}{(n + a)} \left\{ \cos [ \pi W (n+a)] - \operatorname{sinc} [ W (n+a)] \right\} j \omega \cdot \operatorname{rect} \left( { \omega \over \pi W } \right) e^{j a \omega} numra reale W, a
0 < W \le 1
\frac{1}{\pi n^2} [(-1)^n - 1] | \omega | \!

\begin{cases}
0; & n \mbox{ odd} \\
\frac{2}{\pi n} ; & n \mbox{ even}
\end{cases}

\begin{cases}
j & \omega < 0 \\
0 & \omega = 0 \\
-j & \omega > 0
\end{cases}
Transformimi i Hilbertit
\frac{C (A + B)}{2 \pi} \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A - B}{2\pi} n \right] \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A + B}{2\pi} n \right] Trapezoid signal.png Numra realë A, B
complex C

Vetitë[redakto | redakto tekstin burimor]

Kjo tabelë tregon marrëdheniet midis transformimeve të përgjithshme të Furierit në kohë diskrete. Në këtë artikull po përdorim notacionin e mëposhtëm:


Kolona e pare paraqet nje përshkrim të vetisë, kolona e dytë tregon funksionin në fushën kohore, dhe kolona e tretë tregon spektrin në fushën e frekuencave:

Vetitë Fusha kohore x[n] \! Fusha e frekuencave X(\omega) \! Shënime
Lineariteti a x[n] + b y[n] \!  a X(e^{i \omega}) + b Y(e^{i \omega}) \!
Zhvendosja në kohë x[n - k] \! X(e^{i \omega}) e^{-i \omega k} \! numer i plote k
Zhvendosja në frekuencë (modulimi) x[n]e^{ian} \! X(e^{i (\omega-a)}) \! numer real a
Pasqyrimi kohor x[- n] \! X(e^{-i \omega}) \!
Konjugimi kohor x[n]^* \! X(e^{-i \omega})^* \!
Pasqyrimi kohor & konjugimi x[-n]^* \! X(e^{i \omega})^* \!
Derivati në frekuencë \frac{n}{i} x[n] \! \frac{d X(e^{i \omega})}{d \omega} \!
Integrali në frekuencë \frac{i}{n} x[n] \! \int_{-\pi}^{\omega} X(e^{i \vartheta}) d \vartheta \!
Konvulimi në kohë x[n] * y[n] \! X(e^{i \omega}) \cdot Y(e^{i \omega}) \!
Shumëzimi në kohë x[n] \cdot y[n] \! \frac{1}{2 \pi} X(e^{i \omega}) * Y(e^{i \omega}) \!
Korrelacioni \rho_{xy} [n] = x[-n]^* * y[n] \! R_{xy} (\omega) = X(e^{i \omega})^* \cdot Y(e^{i \omega}) \!

Vetitë simetrike[redakto | redakto tekstin burimor]

Transformimi i Furierit mund të dekompozohet në pjesën reale dhe imagjinare ose në pjesë çift dhe tek.
X(e^{i \omega}) = X_R(e^{i \omega}) + iX_I(e^{i \omega}) \!
ose
X(e^{i \omega}) = X_E(e^{i \omega}) + X_O(e^{i \omega}) \!

Fusha kohore
x[n] \!
Fusha e frekuencave
X(e^{i \omega}) \!
x^*[n]\! X^*(e^{-i \omega}) \!
x^*[-n]\! X^*(e^{i \omega}) \!

Shih edhe[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer: Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series 1999, ISBN 0-13-754920-2
  • William McC. Siebert: Circuits, Signals, and Systems. MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. Cambridge, MA: MIT Press 1986
  • Boaz Porat: A Course in Digital Signal Processing, S. pp. 27-29 and 104-105, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6