Bashkësitë

Bashkësia është koncepti themelor i matematikës bashkohore. Bashkësia përbëhet nga objektet të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Caktimi i bashkësive bëhet në dy mënyra :

• Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.: $A = (a_{1},a_2,a_3,...,a_n )$
• Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.: $A = \{ x|F(x) \}$

Bashkësitë numerike

Bashkësia e numrave natyral: $\mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}$

Bashkësia e numrave të plotë: $\mathbb{Z} = \{\, \ldots , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}$

Bashkësia e numrave racional: $\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} | m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$

Bashkësia e numrave real: $\mathbb{R} = \{\ x|- \infty <x<+ \infty \,\}$

Bashkësia e numrave kompleks: $\mathbb{C} = \{\ x+iy|x \in\mathbb{R} ,y \in\mathbb{R} ,i= \sqrt{-1} \,\}$

Bashkësia e numrave çift: $\mathbb{N_+} = \{\ 2n|n\in\mathbb{N} \land n \vdots 2 \,\}$ ={2,4,6,8,...}

Bashkësia e numrave tek: $\mathbb{N_-} = \{\ n|x \in\mathbb{N} \land n \not\vdots 2 \,\}$={1,3,5,7,9,...}

Veprimet me bashkësi

• Prerja e bashkësive

Prerja e bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila i përmban elementet e $A$ dhe $B$

figura.

• Unioni (apo bashkimi) i bashkësive

Unioni i bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila ka të gjitha elementet e bashkësive $A$ dhe $B$

figura. Për unionin e bashkësive vlejnë këto ligje :

1. Ligji i indempotencës

$A\cup A=A$

1. Ligji i kumutativ

$A\cup B=B\cup A$

1. Ligji asociativ

$AU(BUC)=(AUB)UC$

1. Ligji distribtiv

1. Ligji distribtiv

• Diferenca e bashkësive

Diferenca e bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë $A$ që nuk i takojnë bashkësisë $B$

figura.

• Diferenca simetrike e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive $A$ dhe $B$

figura.

Relacionet

• Relacionet binare

Nëse me $A$ shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me $\rho$ relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elemteve të $A$-së, atëherë për $\rho$ themi se është relacion binar. Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e katrorit kartezian : $AxB$
Vetit e relacionit binar janë:
Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ vlenë relacioni $\rho$ i cili ka vetitë $a \rho b$ dhe $b \rho a$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin binarë.

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ nga relacioni binar $\rho$ rrjedhë $b \rho a$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binarë simetrikë

Në--91.187.109.2 16 shtator 2012 20:07 (CEST) të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
Transitiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ nga relacionet binare $a \rho b$ dhe $b \rho a$ rrjedhë $a \rho c$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.

• Relacioni i ekuivalencës

Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë $\rho$ i cili në bashkësinë $A$ është refleksiv, simetrik dhe transitiv. Simboli i relacionit të ekuivalencës është " $\sim$ " .
Relacionet më të rëndësishme të ekuivalencës janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i ekuivalencës mundë të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.

• Relacioni i renditjes

Relacioni i renditjes është relacioni binarë $\rho$ i cili në bashkësinë $A$ është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.
Nëse relacioni i binarë $\rho$ në bashkësinë $A$ është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).

• Relacionet ndërmjet dy bashkësive

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian $AxB$ i bashkësive jo të zbrazëta $A$ dhe $B$. Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen : $\rho = \left \{ (a,b)| a \in A \land b \in B \land a \rho b \right \}$

Pasqyrimet

Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë $A$ në $B$ quhet relacioni $\rho$ ndërmjet dy bashkësive $A$ dhe $B$, i cili ka këtë veti :

$( \forall x \in A)( \exists !y \in B)(x,y) \in \rho$

Elementet e bashkësisë $A$ që pasqyrohen në bashkësinë $B$ janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë $B$ që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me $\rho$ por me $f , g , h , \psi$ etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.

• Shënimi simbolik i pasqyrimit

$f: A \to B$ ose $f: x \to y =f(x) , \forall x \in A$

• Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
• Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
• Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

$f(x)=2x , x\in \mathbb{N}$

• Funksioni invers

Nëse për pasqyrimin $f: A \to B$ vlen që ç´do $y$ element i $B$ dhe ekziston një elementë $x$ i tillë që :

$( \forall y \in B)( \exists !x \in A), g:y \to x=g(y)$

atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers $g$ të pasqyrimit $f$.
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive.
Shënimi i pasqyrimit invers $f$ zakonisht shënohet si :$f^-$ Për pasqyrimin $f$ themi se është kodomen i domenit $f^-$ dhe në të njëjtën kohë domeni $f$ është kodomen i $f^-$.
Figura:

• Shumëzimi i funksioneve

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit $x$ të bashkësisë $A$ i përgjigjet (ekziston së paku një) element $y$ i bashkësisë $B$, i tillë që në bashkësinë $C$ ekziston së paku një element $z$ i cili i përgjigjet $y$.Në gjuhen matematikore kjo duket si :

$( \forall x \in A)( \exists !z \in C)(g \circ f): x \to z=g{f(x)}.$

Veprimet binare

Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që:

$f: A^2 \to A$

Ligjet e veprimeve binare

1. ligji komutativ është nëse vlen:$( \forall a , b \in A) a \circ b= b \circ a.$
2. ligji asociativ është nëse vlen:$( \forall a , b , c \in A)( a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c).$
3. ligji distributiv është nëse vlen: $( \forall a , b , c \in A) a \circ (b * c)=(a \circ b)* (a \circ c).$

• Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ është i përkufizuar veprimi binar $\circ$ atëherë për $(A, \circ)$ themi se është grupoid.
• Po që se veprimi binarë $\circ$ grupoidit $(A, \circ)$ është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
• Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ ekziston një element $e$ me vetinë:

$( \forall a \in A)a \circ e=e \circ a=a$ ,atëherë për $e$ themi se është element neutral.

Grupet dhe nëngrupet

Arikulli kryesor: Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Unaza,Trupi dhe Fusha

• Unaza

Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku

1. $(A, \oplus )$ është grup abelian,
2. $(A, \otimes )$ është grupoid dhe
3. shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.

• Trupi

Trup quhet unaza asociative $(A, \oplus , \otimes )$ nëse $(A_1, \otimes )$ është grup, ku $A_1 = A| \left \{ 0 \right \}$.

• Fusha

Fushë quhet trupi $(A, \oplus , \otimes )$ nëse shumëzimi është kumutativ.

Simbolet matematikore

P