Bashkësitë

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Bashkësia është koncepti themelor i matematikës bashkohore. Bashkësia përbëhet nga objektet të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Caktimi i bashkësive bëhet në dy mënyra :

  • Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.:  A = (a_{1},a_2,a_3,...,a_n )
  • Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.:  A = \{ x|F(x) \}

Bashkësitë numerike[redakto | redakto tekstin burimor]

Bashkësia e numrave natyral: \mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}

Bashkësia e numrave të plotë: \mathbb{Z} = \{\, \ldots , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots , n, n+1, \ldots \,\}

Bashkësia e numrave racional: \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} |   m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}

Bashkësia e numrave real: \mathbb{R} = \{\ x|- \infty  <x<+ \infty \,\}

Bashkësia e numrave kompleks: \mathbb{C} = \{\ x+iy|x \in\mathbb{R} ,y \in\mathbb{R} ,i= \sqrt{-1} \,\}

Bashkësia e numrave çift: \mathbb{N_+} = \{\ 2n|n\in\mathbb{N} \land n \vdots 2 \,\} ={2,4,6,8,...}

Bashkësia e numrave tek: \mathbb{N_-} = \{\ n|x \in\mathbb{N} \land n \not\vdots 2 \,\}={1,3,5,7,9,...}

Veprimet me bashkësi[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Prerja e bashkësive

Prerja e bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila i përmban elementet e A dhe B

figura.

  • Unioni (apo bashkimi) i bashkësive

Unioni i bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila ka të gjitha elementet e bashkësive A dhe B

figura. Për unionin e bashkësive vlejnë këto ligje :

  1. Ligji i indempotencës

A\cup A=A

  1. Ligji i kumutativ

A\cup B=B\cup A

  1. Ligji asociativ

AU(BUC)=(AUB)UC

  1. Ligji distribtiv
  1. Ligji distribtiv
  • Diferenca e bashkësive

Diferenca e bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë A që nuk i takojnë bashkësisë B

figura.

  • Diferenca simetrike e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive A dhe B

figura.

Relacionet[redakto | redakto tekstin burimor]

Nëse me A shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me  \rho relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elemteve të A-së, atëherë për  \rho themi se është relacion binar. Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e katrorit kartezian : AxB
Vetit e relacionit binar janë:
Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A vlenë relacioni  \rho i cili ka vetitë a \rho b dhe b \rho a atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin binarë.

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A nga relacioni binar  \rho rrjedhë b \rho a atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binarë simetrikë

Në--91.187.109.2 16 shtator 2012 20:07 (CEST) të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
Transitiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A nga relacionet binare a \rho b dhe b \rho a rrjedhë a \rho c atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.

Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë \rho i cili në bashkësinë A është refleksiv, simetrik dhe transitiv. Simboli i relacionit të ekuivalencës është " \sim " .
Relacionet më të rëndësishme të ekuivalencës janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i ekuivalencës mundë të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.

Relacioni i renditjes është relacioni binarë \rho i cili në bashkësinë A është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.
Nëse relacioni i binarë \rho në bashkësinë A është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian AxB i bashkësive jo të zbrazëta A dhe B. Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen :  \rho = \left \{ (a,b)| a \in A \land b \in B \land a \rho b \right \}

Pasqyrimet[redakto | redakto tekstin burimor]

Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë AB quhet relacioni  \rho ndërmjet dy bashkësive A dhe B, i cili ka këtë veti :

 ( \forall x \in A)( \exists !y \in B)(x,y) \in \rho

Elementet e bashkësisë A që pasqyrohen në bashkësinë B janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë B që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me  \rho por me  f , g , h , \psi etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.

  • Shënimi simbolik i pasqyrimit

 f: A \to B ose f: x \to y =f(x) , \forall x \in A

  • Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
  • Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
  • Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

 f(x)=2x , x\in \mathbb{N}


  • Funksioni invers

Nëse për pasqyrimin  f: A \to B vlen që ç´do y element i B dhe ekziston një elementë x i tillë që :

( \forall y \in B)( \exists !x \in A), g:y \to x=g(y)

atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers g të pasqyrimit f.
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive.
Shënimi i pasqyrimit invers f zakonisht shënohet si :f^- Për pasqyrimin f themi se është kodomen i domenit f^- dhe në të njëjtën kohë domeni f është kodomen i f^-.
Figura:

  • Shumëzimi i funksioneve

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit x të bashkësisë A i përgjigjet (ekziston së paku një) element y i bashkësisë B, i tillë që në bashkësinë C ekziston së paku një element z i cili i përgjigjet y.Në gjuhen matematikore kjo duket si :

 ( \forall x \in A)( \exists !z \in C)(g \circ f): x \to z=g{f(x)}.

Veprimet binare[redakto | redakto tekstin burimor]

Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që:

 f: A^2 \to A

Ligjet e veprimeve binare[redakto | redakto tekstin burimor]

  1. ligji komutativ është nëse vlen: ( \forall a , b \in A) a \circ b= b \circ a.
  2. ligji asociativ është nëse vlen: ( \forall a , b , c \in A)( a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c).
  3. ligji distributiv është nëse vlen:  ( \forall a , b , c \in A) a \circ (b * c)=(a \circ b)* (a \circ c).
  • Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A është i përkufizuar veprimi binar  \circ atëherë për (A, \circ) themi se është grupoid.
  • Po që se veprimi binarë  \circ grupoidit (A, \circ) është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
  • Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A ekziston një element e me vetinë:

( \forall a \in A)a \circ e=e \circ a=a ,atëherë për e themi se është element neutral.

Grupet dhe nëngrupet[redakto | redakto tekstin burimor]

Arikulli kryesor: Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Unaza,Trupi dhe Fusha[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Unaza

Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku

  1. (A, \oplus ) është grup abelian,
  2. (A, \otimes ) është grupoid dhe
  3. shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.
  • Trupi

Trup quhet unaza asociative (A, \oplus , \otimes ) nëse (A_1, \otimes ) është grup, ku  A_1 = A| \left \{ 0 \right \}.

  • Fusha

Fushë quhet trupi (A, \oplus , \otimes ) nëse shumëzimi është kumutativ.

Simbolet matematikore[redakto | redakto tekstin burimor]

P