Ekuacioni Fokker–Planck

Një zgjidhje për ekuacionin njëdimensional Fokker–Planck, me termat e driftit dhe difuzionit. Në këtë rast, kushti fillestar është një funksion delta i Dirakut i përqendruar larg shpejtësisë zero. Me kalimin e kohës shpërndarja zgjerohet për shkak të impulseve të rastit.

Në mekanikën statistikore dhe teorinë e informacionit, ekuacioni Fokker-Planck është një ekuacion diferencial i pjesshëm që përshkruan evolucionin kohor të funksionit të densitetit të probabilitetit të shpejtësisë së një grimce nën ndikimin e forcave të tërheqjes dhe forcave të rastit, si në lëvizjen Brauniane . Ekuacioni mund të përgjithësohet edhe në të vëzhgueshme të tjera. Ekuacioni Fokker-Planck ka zbatime të shumta në teorinë e informacionit, teorinë e grafikëve, shkencën e të dhënave, financat, ekonominë etj.

Është emërtuar sipas Adriaan Fokker dhe Maks Plankut, të cilët e përshkruan atë në 1914 dhe 1917. Njihet gjithashtu si ekuacioni i parmë i Kollmogorovit, sipas Andrej Kollmogorovit, i cili e zbuloi në mënyrë të pavarur në 1931.

Një dimension

Në një dimension hapësinor $x$, për një proces Itô të drejtuar nga procesi standard Wiener $W_{t}$ dhe përshkruar nga ekuacioni diferencial stokastik (EDS)

$$dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}$$

me drift $\mu (X_{t},t)$ dhe koeficient difuzioni $D(X_{t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2$, ekuacioni Fokker–Planck për densitetin e probabilitetit $p(x,t)$ të ndryshores së rastit $X_{t}$ është

${\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial t}}[\mu (x,t)p(x,t)]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}[D(x,t)p(x,t)]$Stampa:Equation box 1 

Link between the Itô SDE and the Fokker–Planck equation

Në pasuesen përdoret, use $\sigma ={\sqrt {2D}}$.

Përcaktoni gjeneratorin pambarimisht të vogël: ${\mathcal {L}}$ (the following can be found in Ref.):

$${\mathcal {L}}p(X_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {E} {\big [}p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x{\big ]}-p(x)\right).$$

Probabiliteti i kalimit $\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')$, probabiliteti që të shkohet nga $(t',x')$ tek $(t,x)$, shfaqet ketu; pritja matematike mund të shkruhet si

$$\mathbb {E} (p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x)=\int p(y)\,\mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,dy.$$

Tani zëvëndësojmë përkufizimin e ${\mathcal {L}}$, shumëzoni me $\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')$ dhe integroni mbi $dx$. Limiti merret mbi

$$\int p(y)\int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx\,dy-\int p(x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.$$

Vëreni se

$$\int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(y\mid x'),$$

që është teorema Çapman Kollmogorov. Ndryshimi i ndryshores lolo $y$ në $x$, jep

$${\begin{aligned}\int p(x)\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(x\mid x')-\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\right)\,dx,\end{aligned}}$$

i cili është derivati i kohës. Më në fund arrijmë në

$$\int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)\,\partial _{t}\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.$$

Nga këtu mund të dalë ekuacioni i pasëm i Kollmogorovit. Nëse përdorim operatorin hermitian të konjuguar të ${\mathcal {L}}$, ${\mathcal {L}}^{\dagger }$, të përcaktuar të tillë që

$$\int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)[{\mathcal {L}}^{\dagger }\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')]\,dx,$$

atëherë arrijmë në ekuacionin e parmë të Kollmogorovit, ose ekuacionin Fokker-Planck, i cili, duke thjeshtuar shënimin $p(x,t)=\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')$, në formën diferenciale lexohet si

$${\mathcal {L}}^{\dagger }p(x,t)=\partial _{t}p(x,t).$$

Mbetet çështja e përcaktimit troç të ${\mathcal {L}}$. Kjo mund të bëhen duke marrë pritjen matematike nga forma integralee lemës së Itôs:

$$\mathbb {E} {\big (}p(X_{t}){\big )}=p(X_{0})+\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}\left(\partial _{t}+\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2}\right)p(X_{t'})\,dt'\right).$$

Pjesa që varet nga $dW_{t}$ zhduket për shkak të vetisë së martingalës.

Atëherë për një pjesëz nën kushtet e lemës së Itos, duke përdorur:

$${\mathcal {L}}=\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2},$$

mund të përllogaritet lehtësisht, duke përdorur integrimin me pjesë, se

$${\mathcal {L}}^{\dagger }=-\partial _{x}(\mu \cdot )+{\frac {1}{2}}\partial _{x}^{2}(\sigma ^{2}\cdot ),$$

që na sjell tek ekuacioni Fokker-Planck:

$$\partial _{t}p(x,t)=-\partial _{x}{\big (}\mu (x,t)\cdot p(x,t){\big )}+\partial _{x}^{2}\left({\frac {\sigma (x,t)^{2}}{2}}\,p(x,t)\right).$$

Dimensionet më të larta

Në përgjithësi, nëse

$$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},$$

ku $\mathbf {X} _{t}$ dhe ${\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)$ janë vektorë N-dimensionalë, ${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)$ është një matricë $N\times M$ dhe $\mathbf {W} _{t}$ është një proces standard Wiener M -dimensional, dendësia e probabilitetit $p(\mathbf {x} ,t)$ për $\mathbf {X} _{t}$ plotëson ekuacionin Fokker–PlanckStampa:Equation box 1${\frac {\partial }{\partial t}}p({\textbf {x}},t)=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}[\mu _{i}({\textbf {x}},t)p({\textbf {x}},t)]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}[D_{i}j({\textbf {x}},t)p({\textbf {x}},t)]$

me vektor drift ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})$ dhe tensori i difuzionit ${\textstyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}$, dmth

$$D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).$$

Nëse në vend të një EDS Itô , konsiderohet një EDS Stratonovich ,

$$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\circ d\mathbf {W} _{t},$$

ekuacioni Fokker–Planck do të shprehet si:  : 

$${\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]\right\}$$

Shembuj

Procesi Wiener

Një proces standard skalar Wiener krijohet nga ekuacioni diferencial stokastik

$$dX_{t}=dW_{t}.$$

Këtu termi i driftit është zero dhe koeficienti i difuzionit është 1/2. Kështu është ekuacioni përkatës Fokker–Planck

$${\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},$$

e cila është forma më e thjeshtë e ekuacionit të difuzionit . Nëse kushti fillestar është $p(x,0)=\delta (x)$, zgjidhja është

$$p(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-{x^{2}}/({2t})}.$$

Shpërndarja e Bolcmanit në baraspeshën termodinamike

Ekuacioni Langevin i mbingarkuar

$$dx_{t}=-{\frac {1}{k_{B}T}}(\nabla _{x}U)dt+dW_{t}$$

jep $\partial _{t}p={\frac {1}{2}}\nabla \cdot ({\frac {p}{k_{B}T}}\nabla U+\nabla p)$ . Shpërndarja Bolcman $p(x)\propto e^{-U(x)/k_{B}T}$ është një shpërndarje baraspeshe, dhe duke supozuar $U$ rritet mjaftueshëm shpejt (d.m.th., pusi potencial është mjaft i thellë për të kufizuar grimcën), shpërndarja Bolcman është ekuilibri unik.

Procesi Ornstein-Uhlenbeck

Procesi Ornstein-Uhlenbeck është një proces i përcaktuar si

$$dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}.$$

me $a>0$ . Fizikisht, ky ekuacion mund të motivohet si më poshtë: një grimcë në masë $m$ me shpejtësi $V_{t}$ duke lëvizur në një mjedis, p.sh., një lëng, do të përjetojë një forcë fërkimi që i reziston lëvizjes, madhësia e së cilës mund të përafrohet si e përpjesshme me shpejtësinë e grimcave $-aV_{t}$ me $a=\mathrm {konstante}$ . Grimcat e tjera në mjedis do të godasin rastësisht grimcën ndërsa përplasen me të dhe ky efekt mund të përafrohet me një term të zhurmës së bardhë; $\sigma (dW_{t}/dt)$ . Ligji i dytë i Njutonit shkruhet si

$$m{\frac {dV_{t}}{dt}}=-aV_{t}+\sigma {\frac {dW_{t}}{dt}}.$$

Duke marrë $m=1$ për thjeshtësi dhe ndryshimin e shënimit si $V_{t}\rightarrow X_{t}$ çon në formën e njohur $dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}$ .

Ekuacioni përkatës Fokker–Planck është

$${\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=a{\frac {\partial }{\partial x}}\left(x\,p(x,t)\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},$$

Zgjidhja stacionare ( $\partial _{t}p=0$ ) është

$$p_{ss}(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {ax^{2}}{\sigma ^{2}}}}.$$