Formula e Larmorit

Një antenë Yagi-Uda. Radio valet rrezatohen nga një antenë kur në të elektronet përshpejtohen.

Në fizike, në fushën e elektrodinamike, formula e Larmorit përdoret për llogaritjen e fuqisë së përgjithshme të rrezatuar nga një pikë ngarkese jorelativiste kur ajo përshpejtohet. Ekuacioni u derivua nga J. J. Larmor në 1897, në kontekstin e teorisë valore të dritës.

Çdo thërrmije e ngarkuar, kur përshpejtohet ose ngadalësohet (si për shembull një elektron) rrezaton energji në formën e valëve elektromagnetike. Për shpejtësitë që janë të të vogla në krahasim me shpejtësinë e dritës, fuqia e përgjithshme e rrezatuar jepet nga formula e Larmorit :

$P = \frac{e^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \mbox{ (SI units)}$

$P = {2 \over 3} \frac{e^2 a^2}{ c^3} \mbox{ (cgs units)}$

ku $a$ është nxitimi, $e$ është ngarkesa, dhe $c$ është shpejtësia e dritës. Një përgjithësim relativist jepet nga Potencialet Liénard-Wiechert.

Derivimi

Derivimi 1 : Fusha e një ngarkese në levizje

M87's Xhet Energjetik. Ndricimi shkaktohet nga rrezatimi sinkrotron, elektrone të energjisë së lartë vine rrotull vijave të fushës magnetike, u zbulua për herë të parë në 1956 nga Geoffrey R. Burbidge në M87 duke konfirmuar parashikimin e Hannes Alfvén dhe Nicolai Herlofson në 1950, dhe Iosif S. Shklovskii në 1953.

Zgjidhja e potencialeve të vonuara

Në rastin kur nuk ka ndonjë kufi rreth ngarkesave, zgjidhja e vonuar për potencialet skalare dhe vektoriale (ne njësi cgs) të ekuacionit johomogjente valës janë (shikoni Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike)

$\varphi (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c } - t \right ) } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } } } \rho (\mathbf{r}', t') d^3r' dt'$

dhe

$\mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c } - t \right ) } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } } } { \mathbf{J} (\mathbf{r}', t')\over c} d^3r' dt'$

ku

${ \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c } - t \right ) }$

është funksioni delta i Dirakut dhe ku korrenti dhe dendësia e ngarkesës janë

$\mathbf{J} (\mathbf{r}', t') = e \mathbf{v}_0(t') \delta \left ( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0(t') \right )$

$\rho (\mathbf{r}', t') = e \delta \left ( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t') \right )$

për një thermije tek $\mathbf{r}_0(t')$ që udheton me një shpejtesi $\mathbf{v}_0(t')$.

Fusha elektrike dhe magnetike

Potencialet skalare dhe vektoriale janë të lidhur me fushën elektrike dhe magnetike nga

$\mathbf{E} = - \nabla \varphi - {1 \over c} {\partial \mathbf{A} \over \partial t}$

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$.

Fushat mund të shkruhen

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = e \left [ { { \left ( \mathbf{n} - { \mathbf{v}_0 \over c } \right ) \left ( 1-\beta^2 \right ) } \over { \kappa^3 R^2 } } \right ]_{\mbox{ret} } + {e \over c} \left [ { { \mathbf{n} \times \left ( \mathbf{n} - { \mathbf{v}_0 \over c } \right ) \times { \mathbf{a} \over c } } \over { \kappa^3 R } } \right ]_{\mbox{ret} }$

$\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{n} \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)$

ku

$\mathbf{a}$ është nxitimi,

$\mathbf{n}$ është një vektor njesi në drejtimin e $\mathbf{r} - \mathbf{r}_0$,

$R$ është madhesia e $\mathbf{r} - \mathbf{r}_0$,

$\kappa \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 1 - \mathbf{n} \cdot { \mathbf{v}_0 \over c }$

$\beta^2 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {v_0^2 \over c^2 }$

dhe termat ne të djathte vlerësohen në një kohë të vonuar

$t' = t - {R \over c}$.

Termi i dyte, është proporcional me nxitimin, dhe paraqet një vale dritë sferike. Termi i parë bie me katrorin e distance dhe paraqet një valë që zvogëlohet në madhësi me distancën.

Derivimi 2 : Duke përdorur mënyrën e Edward M. Purcell

Derivimi i plotë mund të gjendet tek http://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html

Shikoni gjithashtu

• Teoria atomike
• Rrezatimi i ciklotronit
• Ekuacioni i vales elektromagnetike
• Ekuacioni i vales

Referenca

• J. Larmor, "Mbi një teori dinamike te mjedisit elektrike luminefer", Philosophical Transactions of the Royal Society 190, (1897) pp.205-300
• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. 

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. 

• R. P. Feynman, F. B. Moringo, and W. G. Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.