Formula e Larmorit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Një antenë Yagi-Uda. Radio valet rrezatohen nga një antenë kur në të elektronet përshpejtohen.

fizike, në fushën e elektrodinamike, formula e Larmorit përdoret për llogaritjen e fuqisë së përgjithshme të rrezatuar nga një pikë ngarkese jorelativiste kur ajo përshpejtohet. Ekuacioni u derivua nga J. J. Larmor1897, në kontekstin e teorisë valore të dritës.

Çdo thërrmije e ngarkuar, kur përshpejtohet ose ngadalësohet (si për shembull një elektron) rrezaton energji në formën e valëve elektromagnetike. Për shpejtësitë që janë të të vogla në krahasim me shpejtësinë e dritës, fuqia e përgjithshme e rrezatuar jepet nga formula e Larmorit :

 P = \frac{e^2 a^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \mbox{ (SI units)}
 P = {2 \over 3} \frac{e^2 a^2}{  c^3} \mbox{ (cgs units)}

ku  a është nxitimi,  e është ngarkesa, dhe  c është shpejtësia e dritës. Një përgjithësim relativist jepet nga Potencialet Liénard-Wiechert.

Derivimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Derivimi 1 : Fusha e një ngarkese në levizje[redakto | redakto tekstin burimor]

M87's Xhet Energjetik. Ndricimi shkaktohet nga rrezatimi sinkrotron, elektrone të energjisë së lartë vine rrotull vijave të fushës magnetike, u zbulua për herë të parë në 1956 nga Geoffrey R. Burbidge në M87 duke konfirmuar parashikimin e Hannes Alfvén dhe Nicolai Herlofson në 1950, dhe Iosif S. Shklovskii në 1953.

Zgjidhja e potencialeve të vonuara[redakto | redakto tekstin burimor]

Në rastin kur nuk ka ndonjë kufi rreth ngarkesave, zgjidhja e vonuar për potencialet skalare dhe vektoriale (ne njësi cgs) të ekuacionit johomogjente valës janë (shikoni Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike)

 \varphi  (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | }   }    }  \rho (\mathbf{r}', t') d^3r' dt'

dhe

 \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = \int { { \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   } \over { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | }   }    }  { \mathbf{J}  (\mathbf{r}', t')\over c} d^3r' dt'

ku


{ \delta \left ( t' + { { \left | \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right | } \over c }  - t \right )   }

është funksioni delta i Dirakut dhe ku korrenti dhe dendësia e ngarkesës janë


\mathbf{J} (\mathbf{r}', t') = e  \mathbf{v}_0(t')  \delta \left ( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0(t')  \right )

\rho (\mathbf{r}', t') = e    \delta \left ( \mathbf{r}' - \mathbf{r}_0 (t') \right )

për një thermije tek  \mathbf{r}_0(t')    që udheton me një shpejtesi   \mathbf{v}_0(t') .

Fusha elektrike dhe magnetike[redakto | redakto tekstin burimor]

Potencialet skalare dhe vektoriale janë të lidhur me fushën elektrike dhe magnetike nga

  \mathbf{E} = - \nabla \varphi  - {1 \over c} {\partial \mathbf{A} \over \partial t}
  \mathbf{B} =  \nabla \times  \mathbf{A} 
   .

Fushat mund të shkruhen

  \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = 

e \left [  { { \left ( \mathbf{n} - { \mathbf{v}_0 \over c }  \right ) \left ( 1-\beta^2 \right )  }  \over { \kappa^3 R^2    } } \right ]_{\mbox{ret}  } 

+ {e \over c} \left [  { { \mathbf{n} \times \left ( \mathbf{n} - { \mathbf{v}_0 \over c }   \right ) \times {  \mathbf{a} \over c }  }  \over { \kappa^3 R    } } \right ]_{\mbox{ret}  }
  \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{n} \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)

ku

   \mathbf{a}   është nxitimi,
   \mathbf{n}   është një vektor njesi në drejtimin e   \mathbf{r} - \mathbf{r}_0   ,
  R   është madhesia e   \mathbf{r} - \mathbf{r}_0   ,
  \kappa \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  1 - \mathbf{n} \cdot { \mathbf{v}_0 \over c  }
   \beta^2 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  {v_0^2 \over c^2 }

dhe termat ne të djathte vlerësohen në një kohë të vonuar

   t' = t - {R \over c}   .

Termi i dyte, është proporcional me nxitimin, dhe paraqet një vale dritë sferike. Termi i parë bie me katrorin e distance dhe paraqet një valë që zvogëlohet në madhësi me distancën.

Derivimi 2 : Duke përdorur mënyrën e Edward M. Purcell[redakto | redakto tekstin burimor]

Derivimi i plotë mund të gjendet tek http://physics.weber.edu/schroeder/mrr/MRRtalk.html

Shikoni gjithashtu[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

  • J. Larmor, "Mbi një teori dinamike te mjedisit elektrike luminefer", Philosophical Transactions of the Royal Society 190, (1897) pp.205-300
  • Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. 
  • Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. 
  • R. P. Feynman, F. B. Moringo, and W. G. Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.