Ekuacioni i valës

Nga Wikipedia, Enciklopedia e Lirë

Ekuacioni i valës është një ekuacion diferencial pjesor i rendit të dytë me rëndësi shumë të madhe i cili përshkruan propagimin e një sërë llojesh valësh, si valët e zërit, valët dritore si dhe valët e ujit. Ky ekuacion shfaqet në fusha të ndryshme si në akustikë, elektromagnetizëm, si dhe në dinamikën e fluideve. Historikisht, problemi i një korde vibruese si ai në një instrument muzikor u studiua për herë të parë nga Jean le Rond d'Alembert, Leonard Ojler, Daniel Bernulli, dhe Jozef Luiz Lagranzhi.

Një puls që udhëton përmes një korde me cepa të fiksuara i modeluar nëpërmjet ekuacionit të valës.

Valë sferike që vinë nga një burim pikësor.

Tabela e përmbajtjeve

1 Një paraqitje e përgjithshme
2 Ekuacioni skalar i valës në një dimension hapësinor
- 2.1 Derivimi i ekuacionit të valës
  - 2.1.1 Nga ligji i Hukut
  - 2.1.2 Nga ekuacioni skalar i pergjithshem i transportit
- 2.2 Zgjidhja e problemit të vlerave fillestare
3 Ekuacioni skalar i valës në tre dimensione hapesinore
- 3.1 Valët sferike
- 3.2 Zgjidhja e një problemi te përgjithshëm të vlerave fillestare
4 Ekuacioni skalar i valës në dy përmasa hapesinore
5 Problemi i kondicioneve kufitare
- 5.1 Ne një dimension hapësinor
- 5.2 Në shume dimensione hapësinore
6 Ekuacioni valor johomogjen në një dimension
7 Në sisteme të tjera kordinative
8 Shikoni gjithashtu
9 Referenca
10 Lidhje te jashme

[redakto] Një paraqitje e përgjithshme

Ekuacioni i valës është prototipi i shëmbullit për një ekuacion diferencial pjesor hiperbolik. Në formën e tij më të thjeshtë ekuacioni i valës i referohet një funksioni skalar u që kënaq:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u,$

ku $\scriptstyle\nabla^2$ është operatori i Laplasit dhe c është një konstante e fiksuar e njëjtë me shpejtësinë e propagimit të valës. Per një valë zeri në ajër në 20°C kjo konstante është rreth 343 m/s (shikoni artikullin mbi shpejtësinë e zerit). Per një kordë vibruese shpejtesia mund të ndyshojë shumë, në varësi të densitetit linear të kordes si dhe forcës se tensionit në të. Per një sustë spirale ( Susta) ajo mund të jetë shumë e avashtë , deri në një meter për sekonde. Ekuacione diferenciale me realiste per modelimin e valëve lejojnë që shpejtesia e valës të variojë me frekuencen e valës, ky fenomen njihet si shperhapja e valës ose në terma teknike si dispersioni. Në kete rast , c duhet të zëvëndësohet nga shpejtesia fazore:

$v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.$

Nje korrektesë tjetër qe haset shumë , për modelimin e sistemeve realiste , është se shpejtesia e valës varet gjithashtu edhe nga amplitude e saj, kjo çon në një ekuacion valor jolinear:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \nabla^2 u$

Gjithashtu vini re qe ku nje vale mbivendset mbi nje levizje tjeter (per shembull perhapja e zerit ne nje mjedis levizes si rrjedhja e nje gazi). Ne kete rast madhesia skalare u mund te permbaje nje faktor te Makut (i cili eshte pozitiv per nje vale qe leviz pergjate rrjedhes dhe negativ per nje vale te reflektuar).

Ekuacioni elastik i vales ne tre dimensione pershkrua perhapjen e vales ne nje mjedis izotrop homogjen dhe elastik. Shumica e trupave te ngurte jane elastike, keshtu qe ky ekuacion pershkruan fenomene te ndryshme si valet sizmike ne Toke dhe valet ultrasonike qe perdoren per te detektuar defekte ne materiale. Edhe pse linear ky ekaucion, ka nje forme me komplekse sic tregohet me poshte , sepse duhet qe te marrim parasysh levizjen ne drejtimin tranvers dhe gjatesor:

$\rho{ \ddot{\bold{u}}} = \bold{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \bold{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \bold{u})$

ku:

$\scriptstyle\lambda$ dhe $\scriptstyle\mu$ jane të ashtëquajurit parametrat Lame qe përshkruajnë vetite elastike të mjedisit,
$\scriptstyle\rho$ është dendësia,
$\scriptstyle\bold{f}$ është funksioni i burimit (forca ngacmuese),
and $\scriptstyle\bold{u}$ është zhvendosja.

Vini re qe në këtë ekuacion, si forca ashtu edhe zhvendosja jane madhesi vektoriale. Pra , ky ekuacion njihet si ekuacioni vektorial i valës.

Disa forma të ndryshme të ekuacionit të valës gjënden në mekaniken kuantike dhe relativitetin e pergjithshem.

[redakto] Ekuacioni skalar i valës në një dimension hapësinor

[redakto] Derivimi i ekuacionit të valës

[redakto] Nga ligji i Hukut

Ekuacioni i valës në rastin një-dimensional mund të derivohet në mënyrën e meposhtme: Imagjino një sërë masash të vogla m të lidhura me pe (ose susta) të gjatësisë h . Sustat kane një koeficente ngurtesie k:

Ketu u(x) mat distancën nga ekuilibri, të mases që është e pozicionuar tek x. Forcat e aplikuara mbi masën $m$ tek pozicioni $x + h$ janë:

$F_{\mathit{Newton}}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}$

$F_\mathit{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]$

Ekuacioni i lëvizjes për peshën tek pozicioni x+h jepet nga këto dy forca:

$m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$

Ku varësia kohore e u(x) është dhënë në mënyrë eksplicite.

Neqoftese peshat përbëhen nga N pesha të distancuara njësoj mbi gjatesine L = N h e të gjithe mases M = N m, dhe ngurtesia totale e peshave është K = k/N ne mund ta shkruajmë ekuacionin e mëlartëm si:

${\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 [\over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)] \over h^2}$

Duke marrë limitin $N\rightarrow \infty,h\rightarrow 0$ (si dhe duke supozuar se kemi të bejmë me një funksion të vazhdueshëm) marrim:

${\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }$

(KL²)/M është katrori i propagimit te shpejtësise në këtë rast të veçantë.

[redakto] Nga ekuacioni skalar i pergjithshem i transportit

[redakto] Zgjidhja e problemit të vlerave fillestare

[redakto] Ekuacioni skalar i valës në tre dimensione hapesinore

Zgjidhja e problemit me vlera fillestare per ekuacionin e valës në tre përmasa mund të merret nga zgjidhja e ekuacionit për valën sferike. Ky rezultat mund të përdoret për të marrë zgjidhjen e ekuacionit në dy përmasa hapesinore.

[redakto] Valët sferike

Ekuacioni i valës nuk ndryshon nëqoftëse rrotullojmë kordinatat hapësinore, kështu që normalisht, presim që të gjejmë zgjidhje që varen vetëm në distancën radiale nga një pike e dhene. Zgjidhje te tilla duhet te kënaqin

$u_{tt} - c^2 \left( u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \,$

Ky ekuacion duhet të rishkruhet si

$(ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \,$

madhesia ru duhet të kënaqë ekuacionin valor nje-dimensional. Pra sic shihet kemi zgjidhje të formës

$u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \,$

ku F dhe G jane funksione arbitrare. Çdo term mund të interpretohet si një valë sferike që zgjerohet ose kontraktohet me shpejtesi c. Valë te tilla prodhohen nga një burim pikesor, të cilat bëjnë të mundur prodhimin e sinjaleve shume te mprehta forma e së cilave ndryshohet vetëm nga një zvogelim në amplitudë kur r rritet (shikoni ilustrimin e një valë sferike me lart). valë te tilla ekzistojne vetëm në rastin e hapësirave që kanë përmasa me numër tek. Për fat te mirë bota qe ne jetojmë ka tre përmasa hapesinore, kështu që kjo bën të mundur komunikimin me valë akustike ose elektromagnetike.

[redakto] Zgjidhja e një problemi te përgjithshëm të vlerave fillestare

Ekuacioni i valës është linear në u kështu që nuk influencohet nga zhvendosja translative përgjatë hapësirës ose kohës. Kjo bën të mundur që ne mund te prodhojmë një sërë zgjidhjesh duke zhvendosur dhe mbledhur valë sferike. Le të jetë φ(ξ,η,ζ) një funksion arbitrar i tre variablave të pavarura, dhe le të jetë forma valore sferike F një funksion delta: pra, le të jetë F një limit i dobët funksionesh, integrali i të cilave është njësi, por mbeshtetja e të cilave (rajoni ku funksioni nuk është zero) tkurret tek origjina. Le ta zëme se kjo familje e valëve sferike kane si qendër (ξ,η,ζ), dhe le të jetë r distanca rrezore nga kjo pikë. Pra

$r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \,$

Nëqoftëse u është një superpozim i disa valëve te tilla me një funksion mesatar φ, atëhere

$u(t,x,y,z) = \frac{1}{4\pi c} \iiint \varphi(\xi,\eta,\zeta) \frac{\delta(r-ct)}{r} d\xi\,d\eta\,d\zeta; \,$

Ku emëruesi 4πc është vetëm për ta berë manipulimin më të lehtë.

Nga përcaktimi i funksionit delta, u mund të shkruhet gjithashtu si

$u(t,x,y,z) = \frac{t}{4\pi} \iint_S \varphi(x +ct\alpha, y +ct\beta, z+ct\gamma) d\omega, \,$

ku α, β, dhe γ janë kordinatat e sferës me rreze njësi S, dhe ω është element i siperfaqes tek S. Ky rezultat merr interpretimin që u(t,x) është t herë vlerën mesatare të φ në një sfere me rreze ct me qendër tek x:

$u(t,x,y,z) = t M_{ct}[\phi]. \,$

Nga kjo del që

$u(0,x,y,z) = 0, \quad u_t(0,x,y,z) = \phi(x,y,z). \,$

Vlera mesatare është një funksion çift i t, kështu që nëqoftëse

$v(t,x,y,z) = \frac{\part}{\part t} \left( t M_{ct}[\psi] \right), \,$

atëhere

$v(0,x,y,z) = \psi(x,y,z), \quad v_t(0,x,y,z) = 0. \,$

Këto formula japin zgjidhjen e problemit të vlerës fillestare për ekuacionin e valës. Ato tregojnë që zgjidhja në një pike të dhënë P, të dhënë nga (t,x,y,z) varet vetëm tek informacioni i sferës me rreze ct që kryqëzohet nga koni i dritës i vizatuar në anë të kundërt nga P. Kjo ‘’nuk’’ varet nga informacioni brenda kësaj sfere. Pra brëndësia e sferëes është një lakunë për zgjidhjen. Ky fenomen quhet principi i Hygensit. Ai është i vertetë për një numër tek përmasash hapësinore,përvec rastit një-përmasor. Nga kjo rrjedh që kjo s'është e vërtetë për përmasa me numër çift. Fenomeni i lakunave është studiuar shume nga Atijah, Bott dhe Garding (1970, 1973).

[redakto] Ekuacioni skalar i valës në dy përmasa hapesinore

Ky artikull sipas rregullores mbi shkronjat ë, Ë, Ç, ç, bjen në kundërshtim me rregulloren e Wikipedisë në gjuhën shqipe, për këtë arsye nuk mund të merret si i saktë derisa të rregullohet.

Ne dy dimensione hapesinore, ekuacioni i vales eshte

$u_{tt} = c^2 \left( u_{xx} + u_{yy} \right). \,$

Ne mund te perdorim teorine tre-dimensionale per te zgjidhur kete problem neqftese e shikojme u si nje funksion ne tre dimensione qe eshte i pavarur nga dimensioni i trete. Neqoftese

$u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y), \,$

atehere formula per zgjidhjen tre-dimensionale behet

$u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,\,$

ku α dhe β jane dy kordinatat e para te sferes me rreze njesi, dhe dω eshte elementi i siperfaqes se sferes. Ky integral mund te rishkruhet si nje integral mbi diskun D me qender (x,y) dhe rreze ct:

$u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta. \,$

Tani duket qarte qe zgjidhja tek (t,x,y) varet jo vetem tek koni dritor ku

$(x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2, \,$

por edhe tek informacioni ne brendesi te konit.

[redakto] Problemi i kondicioneve kufitare

[redakto] Ne një dimension hapësinor

Nje korde fleksible qe zgjatet mes dy pikave x=0 dhe x=L kenaq ekuacionin e vales per t>0 dhe 0 < x < L. Ne pikar kufitare, u mund te kenaqi nje varietet te cfaredoshem te kondicioneve kufitare. Nje forme e pergjithshme e cila eshte praktike per aplikime jepet nga

$-u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,$

$u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,$

ku a dhe b jane jo-negative. Rasti kur u kerkohet qe te behet zero tek pikat kufitare eshte limiti i kesaj kondite kur a ose b arijne vlera infinite. Metoda e ndarjes se variablave ne thelb konsiston ne kerkimin e zgjidhjeve te ketij problemi ne formen speciale

$u(t,x) = T(t) v(x).\,$

Nje rrjedhoje e kesaj eshte se

$\frac{T''}{c^2T} = \frac{v''}{v} = -\lambda. \,$

Ajgenvlera λ duhet te percaktohet ne menyre qe te marrim nje zgjidhje joelementare te problemit te vlerave kufitare

$v'' + \lambda v=0, \,$

$-v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,$

Ky eshte rasti i vecante i problemit te pergjithshem te teorise se Sturm-Ljuvilit. Neqoftese a dhe b jane positive, ajgenvlerat jane te gjitha positive, dhe zgjidhjet ne kete rast jane funksione trigonometrike. Nje zgjidhje qe kenaq konditat fillestare integralo-katrore per u dhe u_t mund te merret nga zgjerimi i ketyre funksioneve ne serine e duhur trigonometrike.

[redakto] Në shume dimensione hapësinore

Nje zgjidhje e ekuacionit te vales ne dy dimensione hapesinore me kondita kufitare me zhvenosje zero pergjate gjithe anes se jashtme.

Rasti nje-dimesional i teorise se vlerave fillestare kufitare mund te zgjerohet ne nje numer arbitrar dimensionesh hapesinore. Konsideroni nje fushe D ne hapesiren 'x m-dimensionale ', pergjate kufirit B. Atehere ekuacioni i vales mund te kenaqet neqoftese x eshte ne D dhe $t > 0$ . Pergjate kufirit te D, zgjidhja u duhet te kenaqe

$\frac{\part u}{\part n} + a u =0, \,$

ku n eshte vektori njesi perpendikular me drejtim jashte B, dhe a eshte nje funksion jo-negative i percaktuar tek B. Rasti kur u behet zero tek B eshte rasti limit per a kur arrin infinitin. Konditat kufitare jane

$u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,$

kurf dhe g jane te percaktuara ne D. Ky problem mund te zgjidhet duke zgjeruar f dhe g tek ajgenfunksionet e funksionit Laplasian ne D, te cilat kenaqin konditat kufitare. Pra ajgenfunksioni v kenaq

$\nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,$

ne D, dhe

$\frac{\part v}{\part n} + a v =0, \,$

neB.

Ne rastin e dy dimensioneve hapesinore, ajgenfunksionet mund te interpretohen si modat e vibrimit te nje membrane daulleje te zgjatur rreth kufirit B. Neqoftese B eshte nje rreth, keto ajgenfunksione kane nje komponent kendor qe eshte nje funksion trigonometrik i kendit polar θ, te shumezuar me nje funksion Bezeli (te rendit te plote) te komponentit rrrezor. Per detaje te me teperme shikoni ekuacioni i Helmholcit.

Neqoftese kufiri eshte nje sfere ne tre dimensione hapesinore, komponentet kendore te ajgenfunksioneve jane harmonikat sferike, dhe komponentet rrezore jane funksione Bezeli te rendit gjysem te plote.

[redakto] Ekuacioni valor johomogjen në një dimension

Ekuacioni valor johomogjen në një dimension merr formen e meposhtme:

c 2 u x x (x, t) - u t t (x, t) = s (x, t)

Me kondita fillestare te dhena nga

u (x,0) = f (x)

u t (x,0) = g (x).

Funksioni $s (x, t)$ zakonisht quhet funksioni burim sepse në praktikë ai pershkruan effektet e burimeve te valës dhe mjedist qe i permban ato. Shembuj fizike te funksionit te burimit perfshine forcën qe eksiton një korde, ose ngarkesen ose densitetin e ngarkeses tek madhesia e Lorencit në elektromagnetizem.

Nje metode per zgjidhjen e problemit te vleres fillestare (me vlerat e dhena fillestare) është te marrim avantazh nga vetia e ekuacionit qe zgjidhjet e tij zbatojne parimin e kauzalitetit. Pra, per cdo pike $(x i, t i)$ , vlera e $\scriptstyle u(x_i,t_i)$ varet vetem tek vlerat $\scriptstyle f(x_i + c t_i)$ dhe $\scriptstyle f(x_i - c t_i)$ si dhe vlerat e funksionit $\scriptstyle g(x)$ midis $\scriptstyle (x_i - c t_i)$ dhe $\scriptstyle (x_i + c t_i)$ . Kjomund te shikohte tek formula e d'Alembertit, e dhene me lart, ku keto madhesi jane te vetmete qe paraqiten në te. Fizikisht, neqoftese propagimi maksimal i shpejtesise është $\scriptstyle c$ , atehere asnje pjese e valës qe nuk mund te propagoje te një pike e dhene në një kohe te dhene mund te kete ndikim mbi amplitude në te njëjtën pike në te njëjtën kohe.

Ne terma te zgjidhjes, kjo veti do te thote se per cdo pike te dhene në një vije te konsideruar, e vetmja zone qe duhet te merret në considerate është zona qe perfshin te gjitha piket qe ndikojne në menyre kauzale piken qe merret në considerate. Shenojeni kete zone qe ndikon mbi pikat me $\scriptstyle (x_i,t_i)$ si $\scriptstyle R_C$ . Supozo se integrojme ekuacioni johomogjen te valës mbi kete rajon.

$\iint \limits_{R_C} \left ( c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right ) dx dt = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt.$

Per ta thjeshtuar kete perdorim teoremen e Grinit qe te thjeshtojme anen e majte dhe te marrim rrezulatatin e meposhtem:

$\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt.$

Ana e majte është shuma e tre integraleve kurbolineare perreth kufirit te rajonit te kauzalitetit. Keto jane shume te thjeshta per tu llogaritur

$\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.$

Melart, termi qe do integrohet në lidje me kohen zhduket sepse intervali kohor i perfshire është zero, pra $d t = 0$ .

Per dy anet e tjera te rajonit, duhet vene në pah se $\scriptstyle x \pm c t$ është konstante, pra $\scriptstyle x_i \pm c t_i$ , ku shenja zgjidhte si duhet. Duke perdorur kete , ne mund te marrim relacionin $\scriptstyle dx \pm c dt = 0$ , duke zgjedhur te njëjtën shenje:

$\int_{L_1} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) \,$

$= \int_{L_1} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\,$

$= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,$

Si dhe per segmentin kufitar final:

$\int_{L_2} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right )$

$= - \int_{L_2} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right )$

$= - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left ( c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right )$

$= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,$

Duke e vndosur keto tre rezultate se bashku në integralin origjinal:

$- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt$

$2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt$

$2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt$

$u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left ( t_i - t \right )}_{x_i - c \left ( t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,$

[redakto] Në sisteme të tjera kordinative

Ne tre përmasa, ekuavioni i valës, kur shkruhet në kordinata elliptike cilindrike, mund te zgjidhet me metoden e ndarjes se variablave, e cila jep ekuacionin diferencial te Mathju.

[redakto] Shikoni gjithashtu

Ekuacioni i Helmholcit
Ekuacioni valor akustik
Ekuacioni i valës elektromagnetike
Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike
Efekti Dopler
Ekuacioni i Shrodingerit
Justifikimi teorik dhe eksperimental per ekuacionin e Shrodingerit
operatori i Laplasit
Vibrimet e daulles rrethore
Aspektet matematike te ekaucionit valor dikutohen tek Dispersive PDE Wiki.

[redakto] Referenca

M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
"Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
"Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)

[redakto] Lidhje te jashme

Nonlinear Wave Equations nga Stephen Wolfram dhe Rob Knapp dhe Nonlinear Wave Equation Explorer nga Stephen Wolfram, dhe The Wolfram Demonstrations Project.