Identiteti i Beltramit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Identiteti i Beltramit është një identitet në analizën e variacionit. Ai pohon se një funksion u i cili është një ekstremal i integralit

I(u)=\int_a^b f(x,u,u') \, dx

kënaq ekuacionin diferencial


\frac{d}{dx}\left(f-u'\frac{\partial f}{\partial u'}\right)-\frac{\partial f}{\partial x}=0.

Prova[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit na thotë se


\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial u'}=0.

Tani merrni në konsiderate diferencialin e përgjithshëm të funksionalit f(x,u,u'). Duke zëvendësuar ekuacionin e Ojler-Lagranzhit në të, ne marrim


\begin{align}
\frac{df}{dx} &= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial u} u' + u'' \frac{\partial f}{\partial u'} \\
& = \frac{\partial f}{\partial x} +  u' \left(\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial u'}\right) +  u'' \frac{\partial f}{\partial u'}.
\end{align}

Po të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të Ojler-Lagranzhit me u'. Dy termat e fundit mund te eliminohen, duke zbatuar ligjin e prodhimit për diferencimin tek \frac{d}{dx}\left(u'\frac{\partial f}{\partial u'}\right) ne drejtim te kundërt.

Rezultati mund të rirregullohet si:


\frac{d}{dx}\left(f-u'\frac{\partial f}{\partial u'}\right)-\frac{\partial f}{\partial x}=0.

Zbatime[redakto | redakto tekstin burimor]

Në rastin kur funksionali f është i pavarur nga x, atëherë identiteti i Beltarmit mund të thjeshtohet në


\begin{align}
\frac{d}{dx}\left(f-u'\frac{\partial f}{\partial u'}\right) &=0 \\
f-u'\frac{\partial f}{\partial u'} &= \text{constant} \\
\end{align}

Ana e djathte e këtij ekuacioni është transformimi i Lazhandrit i f ne lidhje me u '.

Po te marrim parasysh pavarësinë e f nga x duke përdorur këtë ekuacion kurdo që është e mundur del që është më e lehte se aplikimi i ekuacionit te Ojler-Lagranzhit.