Numrat kompleksë

Numri kompleks është përgjithësim i numrit real me ndihmën e një numri special i cili shënohet me i dhe quhet njësi imagjinare i cili sipas përkufizimit e plotëson kushtin

$i^2=-1.\,$

Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e kuaternioneve.

Përkufizimi

Bashkësia e numrave kompleks shënohet me C, ndërsa numri kompleks në trajtën

$a + bi \,$

ku $a\,$ dhe $b$ janë numra real dhe $i\,$ njësia imagjinare e cila e plotëson vetinë :$i^2=-1.\,$. Numri real $a$ është pjesa reale dhe $b$ është pjesa imagjinare.

P.sh. për numrin kompleks 3 + 2i numri 3 është pjesa reale dhe 2 është pjesa imagjinare. Nëse $z=a+bi$, atëherë zakonisht shënojmë a = Re(z) dhe b = Im(z)

Bashkësia e numrave real R mund të kuptohet si nënbashkësi e bashkësisë së numrave kompleks C sepse ç'do numër real mund të shkruhet si numër kompleks i cili pjesën imagjinare e ka të barabartë me 0.

Përkufizimi formal

Është e papranueshme rigorozisht që thjesht të supozojmë se ekziston një lloj numri katrori i të cilit është i barabartë me -1. Përkufizimi i tillë është intuitiv ne më poshtë do të japim përkufizimin formal apo aksiomatik. Themi se bashkësia e numrave kompleks është bashkësi e dysheve të renditura të numrave real e cila në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin e këtyre dysheve të renditura i plotëson kushtet

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b)·(c, d) = (a·c − b·d, b·c + a·d)

Pasi sipas përkufizimit të shumëzimit vlen se (0, 1)·(0, 1) = (−1, 0), ne e gjejmë i në mënyrë konstruktive duke ia shoqëruar atij dyshen e renditur (0, 1). Numrit real $a$ ia shoqërojmë dyshen (a, 0) dhe numrit real $b$ ia shoqërojmë dyshen e renditur (0, b) prandaj në përgjithësi kemi

(a, b) =(a, 0)+(0, b)= a + ib.

Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks

Paraqitja gjeometrike e $z$ dhe të konjuguarit të tij $\bar{z}$ në rrafshin kompleks.

Sipas përkufizimit të numrit kompleks si dyshe e renditur konkludojmë se numri kompleks mund të shikohet si pikë në rrafsh koordinativ këndrejt të cilin e quajmë rrafsh kompleks. Koordinatat e numrit janë x = Re(z) dhe y = Im(z)

Vlera absolute ose moduli i numrit kompleks

Vlerë absolute ose modul i numrit kompleks $z=x+yi$, është $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Vetitë kryesore janë:

$| z | \geq 0, \,$ ku $| z | = 0 \,$ , poqese $z = 0 \,$

$| z + w | \leq | z | + | w | \,$ (Jobarazimi i trekëndëshit)

$| z \cdot w | = | z | \cdot | w | \,$

Konjugacioni

I konjuguar i numrit kompleks $z=x+yi$ është numri $x-yi$, shënojmë $\bar{z}$. Sipas figurës, $\bar{z}$ është simetrik me z ndaj boshtit $x$

Disa nga vetitë e konjugacionit:

$\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$

$\overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}$

$\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$

$\bar{\bar{z}}=z$

$\operatorname{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z})$

$\operatorname{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z})$

$|z|=|\bar{z}|$

$|z|^2 = z\cdot\bar{z}$

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}$   ku z është i ndryshëm nga 0

Forma polare e numrit kompleks

Figura 2: Argumenti φ dhe moduli r e përcaktojnë pozitën e pikës në një diagram të Arg dhe; $r(\cos \phi + i \sin \phi)$ ose $r e^{i\phi}$ janë format polare për paraqitjen e pikës gjegjësisht numrit kompleks.

Diagrami nga figura djathtas sugjeron veti të ndryshme.

• Së pari distanca e pikës z nga origjina (i shënuar me r në figurën 2) njihet si vlerë absolute ose modul dhe shënohet me $|z|$. Nga Teorema e Pitagorës,

$|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Në përgjithësi largësia mes numrave kompleks jepet me $d(z,w)=|z-w|$, e cila e kthen bashkësinë e numrave kompleks në hapësirë metrike dhe këtu mund të fusim konceptin e limitit dhe të vazhdueshmërisë së funksioneve. Të gjitha vetitë standarde të hapësirës dydimensionale plotësohen për rrafshin kompleks duke përfshirë atë se moduli i numrit kompleks është jonegativ dhe plotësimin e jobarazimit të trkëndëshit ($| z + w | \leq | z | + | w |$ for all z, w).

• Së dyti argumenti i numrit kompleks $z=x+yi$ është këndi φ i dhënë në figurën 2, shënohet si $\arg(z)$. Si edhe me modulin argumenti mund të gjindet nga $x+iy$:

$\varphi = \pm\arctan\frac{y}{x}$ pra $x+iy=\cos \phi + i \sin \phi$).

Vlera e φ ndryshon për një shumfish të 2π dhe përsëri jep këndin e njejtë.

Së bashku këto spjegime japin një mënyrë të re për paraqitjen e numrit kompleks në formën polare, si kombinim i vlerës së modulit këndit që ai formon me boshtin x $(x,y)=(r \cos\varphi,r\sin\varphi)$ from the polar pair (r,φ)). Këto fakte mund të shënohen në mënyra të ndryshme si p.sh

$z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,$

forma trigonometrike, dhe sipas Formulës së Eulerit

$z = r e^{i \varphi},$

e cila quhet forma eksponenciale.

Operacionet në formën polare

Operacionet si Shumëzimi, pjestimi fuqizimi dhe rrënjëzimi kur një numër kompleks është shënuar në formën polare janë mjaft të thjeshta:

• Shumëzimi

$(r_1e^{i\varphi_1}) \cdot (r_2e^{i\varphi_2}) = (r_1r_2)e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$

• Pjestimi

$\frac{(r_1\,e^{i\varphi_1})}{(r_2\,e^{i\varphi_2})} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}.$

• Fuqizimi

Fuqizimi i numrit kompleks me një eksponent numër të plotë n bëhet sipas formulës:

$(r(\cos\varphi + i\sin\varphi))^n = r^n\,(\cos n\varphi + i \sin n \varphi)$ .........Formula e De Moivreit

• Rrënjëzimi

Rrënjëzimi i numrit kompleks në formën polare gjithashtu është mjaft i thjeshtë. Ç'do numër kompleks z i cili e plotëson barazimin zⁿ = c (për n numër i plotë pozitiv) quhet rrënja e ntë e numrit kompleks c. Nëse c nuk është i barabartë me 0, atëherë ekzistojnë gjithsejt n rrënjë të nta të numrit c. Le të jetë c = re ^iφ dhe $r>0$; atëherë bashkësia e rrënjëve të nta të c është:

$\left\{ \sqrt[n]r\,e^{i\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)} \mid k\in\{0,1,\ldots,n-1\} \, \right\},$

këtu $\sqrt[n]{r}$ paraqet rrënjën e ntë numrit real r. Nëse c = 0, atëherë e vetmja rrënjë e ntë e c është vetë 0. Vërejmë se rrënjët ndryshojnë vetëm për një rrotullim për një kënd prej $e^{2k\pi i/n}$, rrënjët e nta të njëshit pra të gjitha rrënjët e c i takojnë një rreti me qendër në origjinën e sistemit koordinativ.

Lidhje të jashtme

• Euler's work on Complex Roots of Polynomials
• John and Betty's Journey Through Complex Numbers
• MathWorld articles Complex number and Argand Diagram, and demonstration "Argand Diagram".
• Dimensions: a math film. Kapitulli 5 jep një hyrje në aritmetikën komplekse dhe për projeksionin stereografik. Kapitulli 6 diskuton për transformimet e rrafshit kompleks.