Teorema e Ehrenfestit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Teorema e Ehrenfestit, e emëruar pas Paul Ehrenfest, jep lidhjen midis derivatit kohor të vlerës mesatare për një operator mekaniko kuantik me komutatorin e atij operatori me Hamiltonianin e sistemit. Ajo është

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle

Ku A është nje operator në MK dhe \langle A\rangle është vlera mesatare. Teorema e Ehrenfestit është dicka që pritet në teorinë e Hajzenbergut te mekanikës kuantike, ku ajo është thjesht vlera mesatare e ekuacionit të lëvizjes së Hajzenbergut.

Teorema e Ehrenfestit është e lidhur ngushtë me teoremë e Ljuvilit nga mekanika e Hamiltonit, e cila përfshin parentezat e Puasonit në vend të komutatorit. Në fakt, është si rregull i përgjithshëm që një teoremë në mekanikën kuantike e cila përmban nje komutator mund të kthehet në një teoremë në mekanikën klasike duke e ndërruar komutatorin me parantezat e Puasonit dhe duke e shumëzuar me i\hbar.

Derivimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Supozoni se kemi një sistem në një gjëndje kuantike \Phi. Nëqoftëse duam të dimë derivatin kohor të çastit për vlerën mesatare të A, pra , nga përcaktimi

 \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx^3 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx^3 +\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3
 = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx^3,

ku po integrojmë mbi të gjithë hapësiren. Shpesh (por jo gjithmonë) operatori A është i pavarur nga koha, kështu që derivati i tij është zero dhe ne mund ta neglizhojmë termin e mesit. Po të aplikojmë ekuacionin e Shrodingerit, gjejmë se

\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}H\Phi

dhe

\frac{\partial \Phi^*}{\partial t} = \frac{-1}{i\hbar}\Phi^*H^* = \frac{-1}{i\hbar}\Phi^*H.[1]

Vini re qe H=H^* sepse Hamiltoniani është hermitian. Duke e vendosur këtë në ekuacionin e mësipërm kemi

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx^3 + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle.

Shembull i përgjithshëm[redakto | redakto tekstin burimor]

Për një shembull të përgjithshëm të një thërrmije masive që lëviz në një potencial, Hamiltoniani është thjesht

 H(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t)

ku x është thjesht pozicioni i thërrmijës. Supozoni se duam të dimë ndyshimin e çastit të momentit p. Duke përdorur teoremën e Ehrenfestit, kemi

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle

meqënëse p komuton me vetveten dhe meqënëse kur paraqitet në hapesiren kordinative, operatori i momentit p = -i\hbar\nabla then  \frac{\partial p}{\partial t} = 0. Gjithashtu

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3.

Pasi zbatojmë rregullin e prodhimit, marrim

 \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,

të cilin e njohim menjëherë si ligjin e dyte te Njutonit. Kjo është një shembull i parimit të korrespondencës, rezultati shfaqet si ligji i dytë i Njutonit në rastin kur ka shume thërrmija saqë lëvizja totale e trupit jepet nga vlera mesatare e një thërrmije të vetme.

Shënime[redakto | redakto tekstin burimor]

  1. Në notacionin Bra-ket
 \frac{\partial}{\partial t}\langle \phi |x\rangle =\frac{-1}{i\hbar}\langle \phi |\hat{H}|x\rangle =\frac{-1}{i\hbar}\langle \phi |x \rangle H=\frac{-1}{i\hbar}\Phi^*H
ku \hat{H} është operatori Hamiltonian , dhe H është Hamiltoniani i cili paraqitet në hapësiren kordinative (si në rastin e derivimit më lart). Në fjalë të tjera, pasi aplikuam operatorin e adjuguar mbi të gjithë ekuacionin e Shrodingerit, kjo ndryshoi radhen e zbatimit për H dhe \Phi.