Ekuacionet diferenciale të pjesshme

Një vizualizimi i një zgjidhjeje për ekuacionin e nxehtësisë dy-dimensional me temperaturën e përfaqësuar nga drejtimi vertikal dhe ngjyra.

Në matematikë, një ekuacion diferencial i pjesshëm ( EDP ) është një ekuacion i cili njehson një funksion midis derivateve të ndryshme të pjesshme të një funksioni shumëndryshor .

Funksioni shpesh mendohet si një "e panjohur" për t'u zgjidhur. Megjithatë, zakonisht është e pamundur të shkruhen formula të qarta për zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale të pjesshme. Ekziston përkatësisht një sasi e madhe kërkimesh moderne matematikore dhe shkencore mbi metodat për të përafruar numerikisht zgjidhjet e disa ekuacioneve diferenciale të pjesshme duke përdorur kompjuterë. Ekuacionet diferenciale të pjesshme zënë gjithashtu një sektor të madh të kërkimit të pastër matematikor, në të cilin pyetjet e zakonshme janë, në përgjithësi, në identifikimin e veçorive të përgjithshme cilësore të zgjidhjeve të ekuacioneve të ndryshme diferenciale të pjesshme, si ekzistenca, uniteti, rregullsia dhe qëndrueshmëria. Ndër shumë pyetjet e hapura janë ekzistenca dhe lëmimi i zgjidhjeve për ekuacionet Navier-Stokes, të quajtur si një nga Problemet e Çmimit të Mijëvjeçarit në 2000.

Ekuacionet diferenciale të pjesshme janë të kudondodhura në fusha shkencore të orientuara nga matematika, si fizika dhe inxhinieria . Për shembull, ato janë themelore në kuptimin shkencor modern të zërit, nxehtësisë, difuzionit, elektrostatikës, elektrodinamikës, termodinamikës, dinamikës së lëngjeve, elasticitetit, relativitetit të përgjithshëm dhe mekanikës kuantike ( ekuacioni i Shrodingerit, ekuacioni i Paulit etj.). Ato gjithashtu lindin nga shumë konsiderata thjesht matematikore, të tilla si gjeometria diferenciale dhe llogaritja e variacioneve ; ndër aplikime të tjera të dukshme, ato janë mjeti themelor në vërtetimin e konjekturës së Poincare-së nga topologjia gjeometrike .

Ekuacionet diferenciale të zakonshme formojnë një nënklasë ekuacionesh diferenciale të pjesshme, që korrespondojnë me funksionet e një ndryshoreje të vetme. Ekuacionet diferenciale të pjesshme stokastike dhe ekuacionet jovendore janë, që nga viti 2020, zgjerime veçanërisht të studiuara gjerësisht të nocionit "EDP". Temat më klasike, mbi të cilat ka ende shumë kërkime aktive, përfshijnë ekuacionet diferenciale të pjesshme eliptike dhe parabolike, mekanikën e lëngjeve, ekuacionet e Boltzmann-it dhe ekuacionet diferenciale të pjesshme dispersive .

Prezantimi

Një funksion $u(x,y,z)$ i tre ndryshoreve është " harmonik " ose "një zgjidhje e ekuacionit të Laplasit " nëse plotëson kushtin

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$$

Funksione të tilla u studiuan gjerësisht në shekullin e nëntëmbëdhjetë për shkak të rëndësisë së tyre për mekanikën klasike, për shembull shpërndarja e temperaturës baraspeshë të një trupi të ngurtë homogjen është një funksion harmonik. Nëse i jepet në mënyrë eksplicite një funksion, zakonisht bëhet fjalë për një llogaritje të drejtpërdrejtë për të kontrolluar nëse është apo jo harmonik. Për shembull

$$u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}$$

dhe

$$u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}$$

janë të dyja harmonike ndërsa

$$u(x,y,z)=\sin(xy)+z$$

nuk eshte. Mund të jetë befasuese që dy shembujt e dhënë të funksioneve harmonike janë të një forme kaq të habitshme të ndryshme nga njëri-tjetri. Ky është një pasqyrim i faktit se ato nuk janë të dyja rastet e veçanta të një "formule të zgjidhjes së përgjithshme" të ekuacionit të Laplasit. Kjo është në kontrast të mrekullueshëm me rastin e ekuacioneve diferenciale të zakonshme (ODE) afërsisht të ngjashme me ekuacionin e Laplasit, me qëllimin e shumë teksteve hyrëse për të gjetur algoritme që çojnë në formulat e zgjidhjeve të përgjithshme.