Ekuacionet e lëvizjes

Ekuacionet e levizjes janë ekuacione që përshkruajnë sjelljen e një sistemi (p.sh., lëvizjen e një grimce nën ndikimin e një force) si një funksion të kohës. Zakonisht termi i referohet ekuacioneve diferenciale që përshkruajnë sistemin (p.sh., Ligji i dytë i Njutonit ose ekuacionet e Ojler-Lagranzhit), si dhe zgjidhjeve të atyre ekuacioneve. Për çdo trup në lëvizje analizimi i forcave jep një ekuacion të caktuar i cili përmban terma që lidhen me nxitimin dhe shpejtësinë e trupit që po studiohet. Bashkësia e këtyre ekuacioneve njihen me emrin e përgjithshëm si ekeuacionet e lëvizjes.

Ekuacionet e lëvizjes drejtvizore të njëtrajtshme të përshpejtuara

Ekuacionet që vlejnë për trupat në lëvizje drejtvizore (në një dimension), me nxitim konstant janë të dhëna më poshtë . Pesë variablat janë të përfaqësuara nga ato letra (s = distanca, u = shpejtësia fillestare, v = shpejtësia në fund të intervalit,a= nxitimi ,t = koha). Duhet të theksohet se në këtë notacion përdorim shkronjën d për zhvendosjen e cila është madhësi vektoriale, dhe shkronjën s për distancën e cila është madhësi skalare.

Trupi analizohet mes dy çasteve kohore: në një pikë fillestare dhe në një pikë të tanishme (ose finale) . Problemet në kinematikë mund të merret në më shumë se dy caste, dhe disa zbatime të ekuacioneve janë të nevojshme në atë rast. Nëse a (nxitimi) është konstant, një diferencial , dt, mund të integrohet mbi një interval nga 0 në $\Delta t$ ($\Delta t = t - t_i$), për të marrë një marrëdhënie lineare për vektorin e shpejtësisë. Integrimi i vektorit të shpejtësisë jep një marrëdhënie kuadratike për pozicionin në fund të intervalit.

$v = v_i + a \Delta t \,$ $s = s_i + v_i\Delta t + \tfrac{1}{2} a(\Delta t)^2 \,$ $s = s_i + \tfrac{1}{2} (v + v_i)\Delta t \,$ $v^2 = v_i^2 + 2a(s - s_i) \,$

ku ... $v_i \,$ është vektori fillestar i shpejtësisë $s_i \,$ është pozicioni fillestar i trupit dhe gjëndja e tanishme jepet nga : $v \,$, vektori i shpejtësisë në fund të intervalit $s \,$, pozicioni në fund të intervalit të (zhvendosjes) $\Delta t \,$, intervali kohor midis gjndjes fillestare dhe asaj të tanishme $a \,$, nxitimi konstant, ose në rastin e trupave nën influencën e gravitetit , g.

Vini re se seicila nga ekuacionet ka katër nga pesë variablat e duhura. Pra në një situatë të tillë është e mjaftueshme të dimë tre nga variablat për të gjetur dy të tjerat.

Ekuacionet klasike

Ekuacionet e mëposhtme përshkruajnë lëvizjen drejtvizore me përshpejtim të njëtrajtshëm këto ekuacione shkruhen në formën e mëposhtme :

$\begin{alignat}{3} & v && = u+at \qquad & \text{(1)} \\ & s && = \tfrac12(u+v)t \qquad & \text{(2)} \\ & s && = ut + \tfrac12 at^2 \qquad & \text{(3)} \\ & s && = vt - \tfrac12 at^2 \qquad & \text{(4)} \\ & v^2 && = u^2 + 2as \qquad & \text{(5)} \\ & a && = \frac{v-u}{t} \qquad & \text{(6)} \\ \end{alignat}$

Duke zëvendësuar (1) tek (2), marrim (3), (4) dhe (5). (6) mund të merret duke rirregulluar (1).

ku

s = distanca midis pozicionit fillestar dhe atij final (zhvendosja) (në disa literatura mund ta gjeni si R ose x)

u = shpejtësia fillestar (vlera e shpejtësisë në çdo drejtim)

v = shpejtësia finale

a = nxitimi konstant

t = koha që duhet për të kaluar nga gjenda fillestare tek ajo përfundimtare

Shembuj

Shumë shembuj në kinematikë përfshinë studimin e predhës, për shembull një top i hedhur në ajër në një kënd të caktuar. Po të kemi vlerën e shpejtësisë fillestare u, ne mund të llogaritim se sa lart topi do të arrijë para se të bjerrë.

Nxitimi në këtë rast është nxitimi i fushës gravitacionale lokale të gravitetit g. Tani duhet të vemë në dukje faktin se këto madhësi janë madhësi skalare, drejtimi i zhvendosjes, vlerës së shpejtësisë dhe nxitimit janë të rëndësishme . Po të zgjedhim s si simbolin për matjen e distancës nga dheu, nxitimi a duhet të jetë −g, meqënëse forca e gravitetit vepron drejt qendrës së tokës .

Tek pika më e lartë topi do qëndrojë në prehje: pra v = 0. Duke përdorur ekuacionin e pestë , marrime:

$s= \frac{v^2 - u^2}{-2g}.$

Zgjerime

Versione më të zgjeruara të këtyre ekuacioneve përfshijnë madhësinë Δs , ku zhvendosja përcaktohet si diferenca e vektorit fillestar të zhvendosjes me atë final (s − s₀), s₀ për pozicionin fillestar të trupit , si dhe përdorimin e v₀ për u që simbolet të jenë më konsistente.

$v = v_0 + at \,$

$s = s_0 + \tfrac{1}{2} (v_0 + v)t \,$

$s = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} at^2 \,$

$v^2 = v_0^2 + 2a\Delta s \,$

$s = s_0 + vt - \tfrac{1}{2} at^2 \,$

Duke zhvendosur termat brenda dhe eliminuar shenjën minus marrim:

$s = \frac{u^2}{2g}.$

Lidhje të jashtme

• Ekuacionet e lëvizjes